11多姿多彩的图形.docx

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11多姿多彩的图形

11多姿多彩的图形

年级初一学科数学版本通用版内容标题多姿多彩的图形陈明编稿老师【本讲主要内容】多姿多彩的图形（立体图形与平面图形；图形中的点、线、面、体）

（1）认识柱体、锥体与球体等立体图形，并会进行识别与判断；

（2）会画基本几何体组成的简单组合体的三视图，并能根据三视图描述基本几何体或实物模型。

【知识掌握】【知识点精析】1.几何图形的分类、画法几何图形分为立体图形和平面图形两大类，常见的几何立体图形有：

柱体（棱柱体和圆柱体）、锥体（圆锥体和棱锥体）和球体，小学学过的长方形、三角形、圆、梯形、扇形等都是平面图形。

如上图①、②、④、⑥、⑦都是柱体，它们分别是正方体、长方体、圆柱体、四棱柱、三棱柱；图③是球体，图⑤是圆锥，棱柱体简称为棱柱，根据侧棱条数的多少。

可以将棱柱分成三棱柱、四棱柱、五棱柱以此类推，棱锥可以分成三棱锥、四棱锥、五棱锥在画立体图形时，上下底面如果是圆，应画成椭圆；如果是正方形，应画成有个内角是45的平行四边形。

并把看不到的地方用虚线表示。

例1.把下列图形与对应的名称用线相连起来解析：

根据各种立体图形的特征连线。

解：

用线相连是解题规律：

①圆柱、圆锥先找底面有圆的，再由侧面确定是圆柱还是圆锥。

②棱锥侧面是三角形、棱柱侧面是长方形或正方形。

2.立体图形与平面图形的互相转换运用展开视图和截一个几何体等手段，可以把生活中的立体图形（三维空间）转换为平面图形（二维空间）。

（1）展开与折叠是两个相反的过程，许多立体图形是由一些平面图形围成的，将它们适当剪开，就可以展开成平面图形。

正方体的平面展开图是六个相同的正方形，圆柱的侧面展开图是长方形，圆锥的侧面展开图是扇形。

而把棱锥从不同的棱展开，会得到不同的平面展开图，如下图是三棱锥展开而得到的二种不同平面图形。

（2）三视图：

三视图是从物体的正面、上面、侧面（通常是指左面）三个不同的方向描绘的平面图。

其中，从正面看到的图形，称为主视图；从上面看到的图形称为俯视图；从侧面看到的图形称为左视图，下图所示的右边三个平面图形分别是左边这个物体的正视图、俯视图和侧视图。

3.几何体中的点、线、面几何体简称为体（solid）。

长方体、正方体、球、圆柱、棱柱、棱锥等都是几何体，包围着体的是面（surtace），面有平面和曲面之分；面和面相交的地方形成线（1ine），线有直线和曲线两种；线和线相交的地方是点（point）。

因此点、线、面是构成图形的基本元素。

例2.

（1）正方体是由几个面围成的？

圆柱是由几个面围成的？

它们都是平面吗？

（2）圆柱的侧面和底面相交成几条线？

它们是直的还是曲的？

（3）长方体有几个顶点？

经过每个顶点有几条棱？

解析：

（1）画出正方体、圆柱和长方体的图形，观察图形的特征解题。

解：

（1）正方体是由6个面围成的，它们都是平的；圆柱由三个面围成，其中有两个平面，一个曲面。

（2）圆柱的侧面和底面各交在一条线，它们都是曲的。

（3）长方体有8个顶点，经过每个顶点有3条棱。

解题规则：

图形是由点、线、面构成的，面有平的、也有曲的、面与面相交得到线，线有直的也有曲的。

4.点动成线，线动成面，面动成体点、线、面、体经过运动变化，就能组合成各种各样的几何图形，形成多姿多彩的图形世界。

点通常表示一个物体的位置，运动的点可形成直线或曲线。

例如，在交通图上用点表示城市位置，而电视屏幕上的图像也都是由点组成的，飞机在高空喷出的尾气留下一条直线。

面动成体，就是将平面或曲面经过平移或旋转，可以形成几何体，例如，把圆绕着它的直径旋转180就形成了球。

例3.如图，第一行的图形绕虚线旋转一周，便能形成第二行的某几何体，分别指出A、B、C、D、E由第一行中的哪个图形旋转形成的。

解析：

线动成面，平面图形中的线旋转一周后都可以形成面，再根据这些面围成的几何体的特征判断出是哪一种几何体。

解：

A、B、C、D、E分别是由

（2）、（4）、（3）、（5）、

（1）旋转形成的。

【解题方法指导】例1.生活中需要了解整个立体图形展开的形状。

例如，包装一个正方体的物体，需要根据它的平面展开图来裁剪纸张。

1下图所示的图形

（1）~（11）中，能折成正方体的有____________;2你还能画出正方体的3个展开图吗？

3把一个正方体的表面展成平面图形，需要至少剪开__________条棱。

解析：

正方体的表面是由六个正方形围成的立体图形，如果恰当地剪开正方体的7条棱，就可以把正方体展开成一个平面图形，同一个正方体，按不同的方式展开形成的平面展开图不同。

解：

1能折成正方体的图形有

（1）~（5）和（10）；2正方体共有11种展开图；即：

图

（1）~（5）和（12）这六个图简称为中间三连方，两侧各有一、二个，共3种（如下图（16）所示）；两排各有3个，也只有1种（如图（17）所示）。

因此，下图（12）~（17）都能折成正方体；37条。

因为正方体的一条棱剪开后，变成展开图中小正方形的两条边，从而展开图的外边线共有十四条边，故剪开了七条棱。

方法技巧：

将正方体展开成平面图形时，未剪开的棱有5条，剪开了7条棱。

因此，其展开图的外边线共有14条边，内边线共有5条边，这条规律可以作为判别正方体的展开图是否正确的重要依据。

例2.下图是一天中四个不同时刻两个建筑物的影子。

将它们按时间先后顺序进行排列，正确的是（）A.③④②①B.②④③①C.③④①②D.③①②④解析：

根据光线的方向辨认实物的阴影，早晨太阳从东方升起，建筑物的阴影应指向西方，所以图③表示的是早晨的时刻；相反图②表示的太阳下山前的时刻。

由上图可知建筑物的阴影沿顺时针的方向变化，即顺序应为③④①②。

解：

C例3.如图，在正方体两个相距最远的顶点处分别逗留着一只苍蝇和一只蜘蛛，蜘蛛可以从哪条最短的路径爬到苍蝇处？

说明你的理由。

解析：

把立体图形转化为平面图形，再根据两点之间线段最短就可以确定蜘蛛的路径。

解：

由于蜘蛛只能在正方体的表面爬行，所以只需作出这个正方体的展开图并用点标出苍蝇和蜘蛛的位置，根据两点之间线段最短这一常识可知，连结这两个点的线段就是最短的路径。

方法技巧：

由于可以从不同的角度展开正方体，因此作展开图有6种不同的方法选取最短的路径，而其中每一条都通过连结正方体两个顶点的棱的中点。

例4.有一个正方体，红、黄、蓝色的面各有两面，在这个正方体中，有一些顶点颜色都不同的面的交点，这种顶点最多有多少个？

最少有多少个？

解析：

正确利用正方体的面、顶点、棱的概念解答。

解：

颜色相同的面两两相对时，符合题意的顶点最多有8个；颜色相同的面两两相邻时，符合题意的顶点最少有2个。

方法技巧：

要使与同一个顶点相邻的面颜色都不相同，只要使颜色相同的面两两相对即可；要使三种颜色不同的面的交点数最少，只要使颜色相同的面两两相邻即可。

例5.如图所示的长方体木箱，其长、宽、高分别为5cm、4cm、3cm，有一只昆虫从箱的顶点A出发沿棱爬行，每条棱都不得重复爬过，则昆虫回到点A时，最多爬____cm。

EDBCFGAH解析：

依题意知，昆虫应爬过长为5cm的四条棱，并尽可能多地爬过4cm的棱，以3cm的棱作为过渡。

解：

34cm。

可以设计最长的爬行线路如下：

ABCDEFGHA从而AB+BC+CD+DE+EF+FG+GH+HA=3+5+4+5+3+5+4+5=34cm。

方法技巧：

要使昆虫爬行的线路最长，应通盘考虑：

舍去几条棱？

留下的棱能否构成一个连贯的通路？

【考点突破】【考点指要】本节主要的考点要求对空间图形有较准确的认识和感受，中考重在考查学生空间想象能力，从丰富的立体图形中抽象出几何体，画简单组合体的从不同方向看而得到的平面图形及简单的立体图形的展开图。

【典型例题分析】例1.（05，丰台）

（1）如下图所示，我是三角形，三根火柴一个我，五根火柴二个我，七根火柴三个我，几个火柴n个我？

（2）用六根火柴棒最多可以搭成______个三角形；（3）用九根火柴棒最多可以搭成______个三角形。

解析：

填写下列表格：

火柴棒根数三角形个数由表中数据知，当火柴的根数分别为3根、5根、7根、9根时，可拼成的三角形个数分别为1个、2个、3个、4个，从中不难发现：

图形中火柴棒的根数依次增加2根，三角形的个数依次增加1，即火柴棒的根数是所拼成的三角形个数的2倍加1（n1），因此，当拼成的三角形个数为n时，所需火柴棒根数为（2n+1）。

答案：

（1）用（2n+1）根火柴棒可拼成n个三角形；

（2）4；（3）735791234n例2.（05，济南）阅读下列短文，并回答有关问题：

一笔画就是指从图形上的某一点出发，笔不离开纸，而又不重复图中任何一条边（准许个别点经过多次），可以一笔画出整个图形，其规律是：

学生宿舍图书馆学生俱乐部计算中心足球场教学楼体育馆

（1）图形必须是连通的，即图形上的任何两点，必定有若干条线连接起来；

（2）一个图形如果都是偶点（一个点，以它为端点的线数是偶数的，称为偶点），能一笔画，画时可以以任何一点为起点，最后仍回到这点；（3）一个图形如果只有两个奇点（一个点，以它为端点的线数是奇数的，称为奇点），能一笔画，画时必须以其中一个奇点为起点，以另一个奇点为终点。

红胜中学七年级三好学生代表团参观了某大学的教学大楼、图书馆、学生宿舍、计算中心、体育馆、学生俱乐部，最后到足球场观看大学生足球比赛，上图是他们的参观路线图，参观时他们没有走重复的路线，请你判断他们是从哪里开始参观的？

并猜出他们走的路线。

解析：

图中的线段表示他们留下的足迹。

因为参观时没有走重复的路线，所以是一笔画问题，图中有两个奇点：

学生宿舍、足球场，它们应看作一笔画的起点和终点。

解：

参观团可能的一条路线是：

学生宿舍学生俱乐部教学楼计算中心学生俱乐部图书馆学生宿舍教学楼体育馆足球场图书馆教学楼足球场。

方法技巧：

凡是与起点和终点相连的线的条数同为偶数或同为奇数；与过路点相连的线的条数为偶数的图形。

都能一笔而画。

例3.（05，南宁）长方形的长宽分别为16，12。

（1）以长方形的长为旋转轴旋转一周，形成的几何体是________，其体积为________；（利用计算器计算，结果保留）

（2）你能利用面动成体的知识，形成三种体积不同的圆柱体吗？

其中体积最大的圆柱体是_________；（3）你能形成其他的几何体吗？

请说明它们的形成过程。

解析：

面动成体，关键抓住三点：

旋转轴、旋转方向（顺时针或逆时针）和旋转角。

解：

（1）以长方形的长为轴旋转一周，形成的几何体是高为16、底面半径为12的圆柱体，其体积12216=2304（如上图

（1）所示）

（2）能形成体积不等的圆柱。

①以长方形的宽为轴旋转一周，形成的几何体是高为12、底面半径为16的圆柱体，其体积为16212=3072（如上图

（2）所示）②以过长方形的宽的中点所在直线为轴旋转180，形成的几何体是高为16、底面半径为6的圆柱体，其体积为6216=576（如上图（3）所示）③以过长方形的中点所在直线为轴旋转180，形成的几何体是高为12、底面半径为8的圆柱体，其体积为8212=768（如上图（4）所示）因此，以长方形的宽为旋转轴旋转一周形成的几何体体积最大，最大体积为3072。

（3）能形成与圆柱体不同的几何体。

例如，以与长方形的长平行的任意一条直线（过宽的中点的直线除外）为旋转轴，旋转一周形成如上图（5）所示的几何体。

方法技巧：

①同一个平面图形，旋转角、旋转轴和旋转方向的不同，可形成不同的几何体。

②不同的平面图形，也可形成同种几何体。

例如，以直角三角形的一条直角边为轴旋转一周；以等腰三角形底上的高为轴旋转180，均可形成圆锥。

例4.（05，德州）红华小区有一块如下图

（1）所示的长方形草地（水平方向的长均为a，竖直方向的长均为b），政府为了居民休闲的方便，准备在草地上修一条如下图

（2）所示的弯曲柏油小路（小路任何地方水平宽度都是1个单位）。

请你猜想空白部分的草地面积是________。

解析：

假设直接用剪刀把这个阴影部分剪去，再把阴影部分两旁的部分拼接在一起，形成上图（3）所示的新长方形，不难发现，这个长方形的长和宽分别为（a-1）、b，因此，可以非常简捷地得到所求图形的面积。

答案：

ab－b方法技巧：

运用线动成面进行不规则图形的拆分拼接，使之转化为规则图形。

例如，先将小路沿着左右两个边界剪开；再把左右两侧的图形拼接成新的长方形，剪拼图形是处理这类问题的绝佳方法。

它既为我们创设了动手实践的空间，又能在具体操作过程中体验到发现和创造的乐趣，培养了自己的发散思维能力。

例5.同学们可以用瓜果、肥皂、橡皮泥及泡沫塑料等做成柱体（以正方体为主）、锥体。

（1）用小刀去截正方体，看看能否得到你所想象的截面（例如，三角形、正方形、梯形等）；

（2）如何切使截面成为正方形？

（3）如何切使截面成为长方形？

截面面积最大的长方形应如何切？

（4）如何切使截面成为三角形？

能截得等腰三角形吗？

能截得等边三角形吗？

怎样切使等边三角形的面积最大？

解析：

用小刀截一个几何体，实质上是线动成面，只不过运动的线是小刀的刀口。

因此，先自己构想可以截出哪些平面图形，在具体截的过程中，要干净利索，一刀到位，刀口运动的轨迹始终在同一平面上。

解：

（1）截面可以是三角形、四边形、五边形、六边形等平面图形；

（2）当截面与正方体的某一个面平行时，截面是正方形[如上图

（1）]；（3）当截面与正方体的某一条棱平行时，截面是长方形；按上图（4）所示的方法截取，长方形的面积最大（截面过相对两个面的对角线）；（4）当截面与正方体相邻的三个面相交时，其截面是三角形[如上图（5）~（8）]，按图（8）所示的方法截取，三角形面积最大了。

方法技巧：

①不同的几何体，其截面可能相同（例如，圆柱和圆锥的截面可以是圆）；同一几何体，截的方式不同，形成的截面各异。

②在截一个几何体时，想象结果与实际结果有一定的差异，从而更应积极思考，大胆实践。

③截几何体，既是线动成面，又是面与体的转换。

【综合测试】1.如下图，水杯的俯视图是（）2.讲台上放着一本数学书，书上放着一个粉笔盒如

（1），若这个组合图形的俯视下图为

（2），则这个组合图形的左视图是（）3.用一个平面去截一个正方体，其截面的形状不可能是（）A.三角形B.四边形4.如图是一个正四面体，它的四个面都是正三角形，现沿它的三条棱AC、BC、CD剪开展成平面图形，则所得的展开图是（）C.五边形D.六边形E.七边形5.把正方体的表面沿某些棱剪开展成一个平面图形（如下图），请根据各面上的图案判断这个正方体是（）6.由六个正方体摆成如图所示的模型，从各个不同的方向观察，不可能看到的视图是（）7.如图需再添上一个面，折叠后才能围成一个正方体，下面是四位同学补画的情况（图中阴影部分），其中正确的是（）8.由若干个小立方体搭建的几何体的主视图和俯视图如下图所示，则搭建这样的几何体至少用多少个小立方体（）A.5个B.6个C.7个D.8个9.棱长是1cm的小立方体组成如图所示的几何体，那么这个几何体的表面积是（）A.36cm2B.33cm2C.30cm2D.27cm210.面与面相交成__________，面动成____________。

11.圆锥有__________个面，其中侧面是_________，底面是__________。

12.如下图所示，由小正方体组成的模型中白色的面对着你。

图中有________个正方体；并画出它的三视图。

13.雕牌洗衣肥皂的长、宽、高分别是16cm，6cm，3cm。

一箱肥皂30条，请你为雕牌肥皂厂设计一种符合下列要求的包装箱，并使包装箱所用材料最少。

（1）肥皂装箱时，相同的面积要互相对接；

（2）包装箱是一个长方形；（3）装入肥皂后不留空隙。

【综合测试答案】1.D2.A3.E4.B5.C6.A7.B8.C9.A10.线体11.两曲面圆12.10，图略13.可以找到圆、正方形、正六边形、三角形、平行四边形等略