最新初中中考数学云南版题型专项研究平行四边形矩形菱形正方形的判定与性质精讲教学案.docx

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最新初中中考数学云南版题型专项研究平行四边形矩形菱形正方形的判定与性质精讲教学案

题型6　平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定与性质

备考攻略）

1．简单的应用平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质或判定解答证明题．

2．四边形动态问题——旋转变换类、平移变换类、折叠变换类，运动问题类，利用折叠（翻折）、轴对称解答最值问题．

3．平行四边形的存在性问题．

4．四边形与二次函数的综合题．

1．折叠、轴对称及特殊平行四边形的性质应用出错．

2．平行四边形的存在性问题中解有遗漏．

3．很难解答四边形与二次函数的综合题，无从下手．

1．四边形是几何知识中非常重要的一块内容，因其“变化多端”更是成为中考数学考试的一个热门考点．近几年随着新课改的不断深入，中考题更加考查学生思维能力，如出现一些图形折叠、翻转等问题．这类问题的实践性强，要利用图形变化前后线段、角的对应相等关系，构造一些特殊三角形等知识来求解．

2．中考还常把四边形与平面直角坐标系结合起来考查，这类题目不仅仅把“数”与“形”联系起来思考，更提高同学们综合运用知识的能力．数形结合题目可以考查学生对“新事物”“新知识”的接受和理解能力，也考查学生运用所学知识来解决“新事物”“新知识”的能力．

3．四边形作为特殊的四边形，一直是中考试题中的主角．尤其是在综合了函数知识后动态研究它的存在性问题，对学生分析问题和解决问题的要求较高．此类题目主要考查平行四边形的判定与性质、函数解析式的确定与性质，考查识图作图、运算求解、数学表达等能力，数形结合、分类讨论、函数与方程等数学思想．

1．简单的应用平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质或判定解答证明题：

平行四边形具有对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分等性质，它们在计算、证明中都有广泛的应用：

（1）求角的度数；

（2）求线段的长；（3）求周长；（4）求第三边的取值范围．

2．四边形动态问题——旋转变换类、平移变换类、折叠变换类，运动问题类，利用折叠（翻折）、轴对称解答最值问题：

有关矩形纸片折叠的问题，通过动手操作去发现解决问题的方法．其规律为利用折叠前后线段、角的对应相等关系，构造直角三角形，利用勾股定理来求解．折叠问题数学思想：

（1）思考问题的逆向（反方向），

（2）转化与化归思想；（3）归纳与分类的思想；（4）从变寻不变性的思想．

3．综合了函数知识后动态研究平行四边形的存在性问题：

此类题目主要考查平行四边形的判定与性质、函数解析式的确定与性质，考查识图作图、运算求解、数学表达等能力，数形结合、分类讨论、函数与方程等数学思想．学生在处理问题的时候，往往不能正确分类，导致漏解．此外，在解题时一般需要添设辅助线，利用平行四边形的性质，转化为全等进行计算，学生顺利完成的难度就更大．如何才能让他们有目的的进行分类、简单明了的给出解答，从而减轻学习负担呢？

借助平行四边形的对角线性质，来探究平行四边形的存在性问题就是一个很好的途径．

4．四边形与二次函数的综合题是压轴题：

综合考查了二次函数，一次函数，尺规作图，勾股定理，平面直角坐标系，一元二次方程，轴对称——翻折，最值问题．读懂题目、准确作图、熟悉二次函数及其图象是解题的关键．解决压轴题关键是找准切入点，如添辅助线，构造定理所需的图形或基本图形；紧扣不变量，并善于使用前题所采用的方法或结论；深度挖掘题干，反复认真的审题，在题目中寻找多解的信息，等等．压轴题牵涉到的知识点较多，知识转化的难度较高，除了要熟知各类知识外，平时要多练，提高知识运用和转化的能力．

典题精讲）

◆简单的应用平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质或判定解答证明题

【例1】（成都中考）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则AD的长为________．

【解析】由矩形的性质和线段垂直平分线的性质证出OA＝AB＝OB＝3，得出BD＝2OB＝6，由勾股定理求出AD即可．

【答案】3

1．（巴中中考）如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE，如果∠ADB＝30°，则∠E＝__15__°.

2．（2017甘肃中考）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F.

（1）求证：

四边形BEDF是平行四边形；

（2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．

解：

（1）∵四边形ABCD是矩形，O是BD的中点，

∴∠A＝90°，AD＝BC＝4，AB∥DC，OB＝OD,

∴∠OBE＝∠ODF.

在△BOE和△DOF中，

∴△BOE≌△DOF（ASA）,

∴EO＝FO,

∴四边形BEDF是平行四边形；

（2）当四边形BEDF是菱形时，BD⊥EF,

设BE＝x，则DE＝x，AE＝6－x.

在Rt△ADE中，DE2＝AD2＋AE2,

∴x2＝42＋（6－x）2,

解得：

x＝

.

∵BD＝

＝2

，

∴OB＝

BD＝

.

∵BD⊥EF,

∴EO＝

＝

，

∴EF＝2EO＝

.

◆四边形动态问题——旋转变换类、平移变换类、折叠变换类，运动问题类，利用折叠（翻折）、轴对称解答最值问题

【例2】（宿迁中考）如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE.若AB的长为2，则FM的长为（　　　）

A．2B.

C.

D．1

【解析】根据翻折不变性，AB＝FB＝2，BM＝1，在Rt△BFM中，可利用勾股定理求出FM的值．

【答案】B

3．（咸宁中考）已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A（5，0），OB＝4

，点P是对角线OB上的一个动点，D（0，1），当CP＋DP最短时，点P的坐标为（　D　）

A．（0，0）　B.

　C.

　D.

（第3题图）

（第4题图）

4．（苏州中考）矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（3，4），D是OA的中点，点E在AB上，当△CDE的周长最小时，点E的坐标为（　B　）

A．（3，1）B.

C.

D．（3，2）

5．（黄冈中考）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边CD，BC上，且DC＝3DE＝3a，将矩形沿直线EF折叠，使点C恰好落在AD边上的点P处，则FP＝__2

__.

6．（2017甘肃中考）如图，E，F分别是▱ABCD的边AD，BC上的点，EF＝6，∠DEF＝60°，将四边形EFCD沿EF翻折，得到EFC′D′，ED′交BC于点G，则△GEF的周长为（　C　）

A．6B．12C．18D．24

7．（2017广东中考）如图①，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F.

（1）求证：

△BDF是等腰三角形；

（2）如图②，过点D作DG∥BE，交BC于点G，连接FG交BD于点O.

①判断四边形BFDG的形状，并说明理由；

②若AB＝6，AD＝8，求FG的长．

解：

（1）如图①，根据折叠，∠DBC＝∠DBE,

又AD∥BC,

∴∠DBC＝∠ADB,

∴∠DBE＝∠ADB,

∴DF＝BF,

∴△BDF是等腰三角形；

（2）①∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC,

∴FD∥BG.

∴四边形BFDG是平行四边形．

∵DF＝BF,

∴四边形BFDG是菱形；

②∵AB＝6，AD＝8,

∴BD＝10，

∴OB＝

BD＝5.

假设DF＝BF＝x，∴AF＝AD－DF＝8－x.

∴在Rt△ABF中，AB2＋AF2＝BF2，即62＋（8－x）2＝x2,

解得x＝

，

即BF＝

，

∴FO＝

＝

＝

，

∴FG＝2FO＝

.

◆解决平面直角坐标系中平行四边形存在性问题

【例3】（2017大理中考模拟）如图，A，B，C是平面上不在同一直线上的三个点．

（1）画出以A，B，C为顶点的平行四边形；

（2）若A，B，C三点的坐标分别为（－1，5），（－5，1），（2，2），请写出这个平行四边形第四个顶点D的坐标．

【解析】利用坐标系的知识点解题．

【答案】

（1）如图所示；

（2）第四个顶点D的坐标为（－2，－2）或（6，6）或（－8，4）．

1．（兰州中考）如图所示，菱形ABCD的周长为20cm，DE⊥AB，垂足为E，sinA＝

，则下列结论正确的个数有（　C　）

①DE＝3cm；②BE＝1cm；③菱形的面积为15cm2；④BD＝2

cm.

A．1个B．2个C．3个D．4个

2．（济南中考）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，过对角线交点O作OE⊥AC交AD于E，则AE的长是（　D　）

A．1.6B．2.5C．3D．3.4

（第2题图）

（第3题图）

3．（珠海中考）如图，P是菱形ABCD对角线BD上一点，PE⊥AB于点E，PE＝4cm，则点P到BC的距离是__4__cm.

4．（新疆中考）如图，▱ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠ADC＝60°，将▱ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，折痕交CD边于点E.

（1）求证：

四边形BCED′是菱形；

（2）若点P是直线l上的一个动点，请计算PD′＋PB的最小值．

解：

（1）∵将▱ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，

∴∠DAE＝∠D′AE，∠DEA＝∠D′EA，

∠D＝∠AD′E.

∵DE∥AD′，∴∠DEA＝∠EAD′，

∴∠DAE＝∠EAD′＝∠DEA＝∠D′EA，

∴∠DAD′＝∠DED′，

∴四边形DAD′E是平行四边形，

∴DE＝AD′.

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB＝DC，AB∥DC，

∴CE＝D′B，CE∥D′B，

∴四边形BCED′是平行四边形；

（2）∵AD＝AD′，

∴▱DAD′E是菱形．

∴D与D′关于AE对称．

连接BD交AE于P，则BD的长即为PD′＋PB的最小值，

过D作DG⊥BA于G.

∵CD∥AB，

∴∠DAG＝∠CDA＝60°.

∵AD＝1，

∴AG＝

，DG＝

，BG＝

，

∴BD＝

＝

，

∴PD′＋PB的最小值为

.　

5．（资阳中考）如图，在平行四边形ABCD中，点A，B，C的坐标分别是（1，0），（3，1），（3，3），双曲线y＝

（k≠0，x＞0）过点D.

（1）求双曲线的解析式；

（2）作直线AC交y轴于点E，连接DE，求△CDE的面积．

解：

（1）∵▱ABCD中，点A，B，C的坐标分别是（1，0），（3，1），（3，3），

∴点D的坐标为（1，2）．

∵点D在双曲线y＝

上，

∴k＝1×2＝2，

∴双曲线的解析式为y＝

；

（2）∵直线AC交y轴于点E，

∴点E的横坐标为0.

∵AD＝2，

∵S△ADC＝

·（3－1）·AD＝2，

∴S△CDE＝S△EDA＋S△ADC＝1＋2＝3.