},
要使B⊆∁RA,需
≤
,解得-
≤a<0.
综上可得,实数a的取值范围是a≥-
.
题型四 集合中的新定义问题
例4
(2011·广东)设S是整数集Z的非空子集,如果∀a,b∈S,有ab∈S,则称S关于数的乘法是封闭的.若T,V是Z的两个不相交的非空子集,T∪V=Z,且∀a,b,c∈T,有abc∈T;∀x,y,z∈V,有xyz∈V,则下列结论恒成立的是( )
A.T,V中至少有一个关于乘法是封闭的
B.T,V中至多有一个关于乘法是封闭的
C.T,V中有且只有一个关于乘法是封闭的
D.T,V中每一个关于乘法都是封闭的
思维启迪:
本题是一道新定义问题试题,较为抽象,题意难以理解,但若“以退为进”,取一些特殊的数集代入检验,即可解决.
答案 A
解析 不妨设1∈T,则对于∀a,b∈T,∵∀a,b,c∈T,都有abc∈T,不妨令c=1,则ab∈T,故T关于乘法是封闭的,故T、V中至少有一个关于乘法是封闭的;若T为偶数集,V为奇数集,则它们符合题意,且均是关于乘法是封闭的,从而B、C错误;若T为非负整数集,V为负整数集,显然T、V是Z的两个不相交的非空子集,T∪V=Z,且∀a,b,c∈T,有abc∈T,∀x,y,z∈V,有xyz∈V,但是对于∀x,y∈V,有xy>0,xy∉V,D错误.故选A.
探究提高 本题旨在考查我们接受和处理新信息的能力,解题时要充分理解题目的含义,进行全面分析,灵活处理.
已知集合S={0,1,2,3,4,5},A是S的一个子集,当x∈A时,若有x-1∉A,且x+1∉A,则称x为A的一个“孤立元素”,那么S中无“孤立元素”的4个元素的子集共有________个.
答案 6
解析 由成对的相邻元素组成的四元子集都没有“孤立元素”,如{0,1,2,3},{0,1,3,4},{0,1,4,5},{1,2,3,4},{1,2,4,5},{2,3,4,5},这样的集合共有6个.
易错题训练
典例1:
(5分)(2012·课标全国)已知集合A={1,2,3,4,5},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},则B中所含元素的个数为( )
A.3 B.6 C.8 D.10
易错分析 本题属于创新型的概念理解题,准确地理解集合B是解决本题的关键,该题解题过程易出错的原因有两个,一是误以为集合B中的元素(x,y)不是有序数对,而是无序的两个数值;二是对于集合B的元素的性质中的“x∈A,y∈A,x-y∈A”,只关注“x∈A,y∈A”,而忽视“x-y∈A”的限制条件导致错解.
解析 ∵B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},A={1,2,3,4,5},
∴x=2,y=1;x=3,y=1,2;x=4,y=1,2,3;x=5,y=1,2,3,4.
∴B={(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4)},
∴B中所含元素的个数为10.
答案 D
温馨提醒 判断集合中元素的性质时要注意两个方面:
一是要注意集合中代表元素的字母符号,区分x、y、(x,y);二是准确把握元素所具有的性质特征,如集合{x|y=f(x)}表示函数y=f(x)的定义域,{y|y=f(x)}表示函数y=f(x)的值域,{(x,y)|y=f(x)}表示函数y=f(x)图象上的点.
遗忘空集致误
典例2:
(5分)若集合P={x|x2+x-6=0},S={x|ax+1=0},且S⊆P,则由a的可取值组成的集合为__________.
易错分析 从集合的关系看,S⊆P,则S=∅或S≠∅,易遗忘S=∅的情况.
解析
(1)P={-3,2}.当a=0时,S=∅,满足S⊆P;
当a≠0时,方程ax+1=0的解集为x=-
,
为满足S⊆P可使-
=-3或-
=2,
即a=
或a=-
.故所求集合为
.
答案
温馨提醒
(1)根据集合间的关系求参数是高考的一个重点内容.解答此类问题的关键是抓住集合间的关系以及集合元素的特征.
(2)在解答本题时,存在两个典型错误.一是忽略对空集的讨论,如S=∅时,a=0;二是易忽略对字母的讨论.如-
可以为-3或2.因此,在解答此类问题时,一定要注意分类讨论,避免漏解.
方法与技巧
1.集合中的元素的三个特征,特别是无序性和互异性在解题时经常用到.解题后要进行检验,要重视符号语言与文字语言之间的相互转化.
2.对连续数集间的运算,借助数轴的直观性,进行合理转化;对已知连续数集间的关系,求其中参数的取值范围时,要注意单独考察等号.
3.对离散的数集间的运算,或抽象集合间的运算,可借助Venn图.这是数形结合思想的又一体现.
失误与防范
1.空集在解题时有特殊地位,它是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,时刻关注对空集的讨论,防止漏解.
2.解题时注意区分两大关系:
一是元素与集合的从属关系;二是集合与集合的包含关系.
3.解答集合题目,认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.
4.Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法,其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心.
5.要注意A⊆B、A∩B=A、A∪B=B、∁UA⊇∁UB、A∩(∁UB)=∅这五个关系式的等价性.
A组 专项基础训练
(时间:
35分钟,满分:
57分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.(2012·广东)设集合U={1,2,3,4,5,6},M={1,2,4},则∁UM等于( )
A.UB.{1,3,5}C.{3,5,6}D.{2,4,6}
答案 C
解析 ∵U={1,2,3,4,5,6},M={1,2,4},∴∁UM={3,5,6}.
2.(2011·课标全国)已知集合M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},P=M∩N,则P的子集共有( )
A.2个B.4个C.6个D.8个
答案 B
解析 ∵M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},∴M∩N={1,3}.
∴M∩N的子集共有22=4个.
3.(2012·山东)已知全集U={0,1,2,3,4},集合A={1,2,3},B={2,4},则(∁UA)∪B为( )
A.{1,2,4}B.{2,3,4}
C.{0,2,4}D.{0,2,3,4}
答案 C
解析 ∵∁UA={0,4},B={2,4},∴(∁UA)∪B={0,2,4}.
4.已知集合M={x|
≥0,x∈R},N={y|y=3x2+1,x∈R},则M∩N等于( )
A.∅B.{x|x≥1}
C.{x|x>1}D.{x|x≥1或x<0}
答案 C
解析 由
≥0,得
∴x>1或x≤0,∴M={x|x>1或x≤0},N={y|y≥1},
M∩N={x|x>1}.
二、填空题(每小题5分,共15分)
5.已知集合A={1,3,a},B={1,a2-a+1},且B⊆A,则a=__________.
答案 -1或2
解析 由a2-a+1=3,得a=-1或a=2,经检验符合.由a2-a+1=a,得a=1,由于集合中不能有相同元素,所以舍去.故a=-1或2.
6.已知集合A={(0,1),(1,1),(-1,2)},B={(x,y)|x+y-1=0,x,y∈Z},则A∩B=_________.
答案 {(0,1),(-1,2)}
解析 A、B都表示点集,A∩B即是由A中在直线x+y-1=0上的所有点组成的集合,代入验证即可.
7.(2012·天津)已知集合A={x∈R||x+2|<3},集合B={x∈R|(x-m)(x-2)<0},且A∩B=
(-1,n),则m=________,n=________.
答案 -1 1
解析 A={x|-5B={x|(x-m)(x-2)<0},所以m=-1,n=1.
三、解答题(共22分)
8.(10分)已知集合A={x|x2-2x-3≤0},B={x|x2-2mx+m2-4≤0,x∈R,m∈R}.
(1)若A∩B=[0,3],求实数m的值;
(2)若A⊆∁RB,求实数m的取值范围.
解 由已知得A={x|-1≤x≤3},
B={x|m-2≤x≤m+2}.
(1)∵A∩B=[0,3],∴
∴m=2.
(2)∁RB={x|xm+2},∵A⊆∁RB,
∴m-2>3或m+2<-1,即m>5或m<-3.
9.(12分)设符号@是数集A中的一种运算:
如果对于任意的x,y∈A,都有x@y=xy∈A,则称运算@对集合A是封闭的.设A={x|x=m+
n,m、n∈Z},判断A对通常的实数的乘法运算是否封闭?
解 设x=m1+
n1,y=m2+
n2,那么xy=(m1+
n1)×(m2+
n2)=(m1n2+m2n1)
+m1m2+2n1n2.
令m=m1m2+2n1n2,n=m1n2+m2n1,则xy=m+
n,
由于m1,n1,m2,n2∈R,所以m,n∈R.
故A对通常的实数的乘法运算是封闭的.
B组 专项能力提升
(时间:
25分钟,满分:
43分)
一、选择题(每小题5分,共15分)
1.(2012·湖北)已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0A.1B.2C.3D.4
答案 D
解析 用列举法表示集合A,B,根据集合关系求出集合C的个数.
由x2-3x+2=0得x=1或x=2,∴A={1,2}.
由题意知B={1,2,3,4},∴满足条件的C可为{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}.
2.(2011·安徽)设集合A={1,2,3,4,5,6},B={4,5,6,7,8},则满足S⊆A且S∩B≠∅的集合S的个数是( )
A.57B.56C.49D.8
答案 B
解析 由S⊆A知S是A的子集,又∵A={1,2,3,4,5,6},∴满足条件S⊆A的S共有26=64(种)可能.又∵S∩B≠∅,B={4,5,6,7,8},∴S中必含4,5,6中至少一个元素,而在满足S⊆A的所有子集S中,不含4,5,6的子集共有23=8(种),∴满足题意的集合S的可能个数为64-8=56.
3.(2011·湖北)已知U={y|y=log2x,x>1},P={y|y=
,x>2},则∁UP等于( )
A.
B.
C.(0,+∞)D.(-∞,0]∪
答案 A
解析 ∵U={y|y=log2x,x>1}={y|y>0},
P={y|y=
,x>2}={y|0},
∴∁UP={y|y≥
}=
.
二、填空题(每小题5分,共15分)
4.(2012·陕西改编)集合M={x|lgx>0},N={x|x2≤4},则M∩N=____________.
答案 (1,2]
解析 M={x|lgx>0}={x|x>1},
N={x|x2≤4}={x|-2≤x≤2},
∴M∩N={x|x>1}∩{x|-2≤x≤2}={x|15.已知M={(x,y)|
=a+1},N={(x,y)|(a2-1)x+(a-1)y=15},若M∩N=∅,则a的值为____________.
答案 1,-1,
,-4
解析 集合M表示挖去点(2,3)的直线,集合N表示一条直线,因此由M∩N=∅知,点(2,3)在集合N所表示的直线上或两直线平行,由此求得a的值为1,-1,
,-4.
6.设A={x||x|≤3},B={y|y=-x2+t},若A∩B=∅,则实数t的取值范围是__________.
答案 (-∞,-3)
解析 A={x|-3≤x≤3},B={y|y≤t},
由A∩B=∅知,t<-3.
三、解答题
7.(13分)已知集合A={y|y2-(a2+a+1)y+a(a2+1)>0},B={y|y=
x2-x+
,0≤x≤3}.
(1)若A∩B=∅,求a的取值范围;
(2)当a取使不等式x2+1≥ax恒成立的a的最小值时,求(∁RA)∩B.
解 A={y|ya2+1},B={y|2≤y≤4}.
(1)当A∩B=∅时,
∴
≤a≤2或a≤-
.
(2)由x2+1≥ax,得x2-ax+1≥0,
依题意Δ=a2-4≤0,∴-2≤a≤2.
∴a的最小值为-2.
当a=-2时,A={y|y<-2或y>5}.
∴∁RA={y|-2≤y≤5},∴(∁RA)∩B={y|2≤y≤4}.