矩形的判定和性质.docx
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矩形的判定和性质
矩形的性质和判定
一、基础知识
（一）矩形的定义
有一个内角为直角的平行四边形叫做矩形。
（二）矩形的性质：
1.矩形具有平行四边形的一切性质；
2.矩形的对角线相等；
3.矩形的四个角都是900；
4.矩形是轴对称图形；
边
角
对角线
对称性
矩形
对边平行且相等
四个角都是直角
互相平分且相等
轴对称，中心对称
（三）矩形的判定：
1.有一个角是直角的平行四边形是矩形；
2.对角线相等的平行四边形是矩形；
3.有三个角是直角的四边形是矩形；
4.对角线相等且互相平分的四边形是矩形。
（四）直角三角形的性质
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
（如图：
OB=OC=OA=
AC）
二、例题讲解
考点一：
矩形的基本性质
例1：
如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD，垂足为E，∠DAE=2∠BAE，那么，∠BAE=________，
∠EAO=________，若EO=1，则OD=______，AB=________，AD=________．
练习1：
矩形ABCD中,,对角线AC与BD相交于点O,BC的长为6,△OBC的周长是15,求矩形的对角线的长度.
练习2：
如图，在矩形ABCD中，CE⊥BD，E为垂足，∠DCE∶∠ECB＝3∶1，求∠ACD.
例2：
如图，矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86cm，对角线长是13cm，那么矩形的周长是多少?
练习1：
矩形ABCD中,,对角线AC与BD相交于点O,已知矩形ABCD的面积是12cm2，AB=4cm，求矩形的对角线长。
例3：
如图，在矩形ABCD中，相邻两边AB、BC分别长15cm和25cm，内角∠BAD的角平分线与边BC交于点E．试求BE与CE的长度．
练习1：
如图，在矩形ABCD中，E是边AD上的一点．试说明△BCE的面积与矩形ABCD的面积之间的关系．
例4：
（2009年广西钦州）已知：
如图1，在矩形ABCD中，AF＝BE．求证：
DE＝CF；
练习1：
如图，矩形ABCD中，E为AD中点，∠BEC为直角，矩形ABCD的周长是20，求AD、AB的长。
练习2：
（2009年衢州）如图，四边形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等边三角形，且点P在矩形上方，点Q在矩形内．
求证：
（1）∠PBA=∠PCQ=30°；
（2）PA=PQ．
考点二：
面积法
例1：
如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，BE⊥AC于E．试求出BE的长．
练习1：
如图，矩形ABCD中，E点在BC上，且AE平分BAC。
若BE=4，AC=15，则AEC面积为（）
A.15B.30C.45D.60。
练习2：
如图：
在矩形ABCD中，两条对角线AC、BD相交于点O，AB=4cm,AD=
cm.
（1）判定△AOB的形状.
（2）计算△BOC的面积.
练习3：
如图，将矩形ABCD沿着直线BD折叠使点C落在点C＇处，BC＇交AD于E，AD=8，AB=4，BE=5,求△BED的面积。
考点三：
矩形对角线平分且相等
例1：
矩形的两条对角线相交成60°角，较短边与一条对角线之和为15cm，则矩形的对角线长为
cm。
练习1：
矩形的对角线所成的角之一是65°，则对角线与各边所成的角度是（）．
A．57.5°B．32.5°
C．57.5°、33.5°D．57.5°、32.5°
练习2：
矩形两条对角线的夹角是120°，短边长4cm；则矩形的对角线长；
练习3：
如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，∠AOB＝120°，AD＝5cm，则AC＝。
考点四：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
例1：
如图，△ABC中，∠A=2∠B，CD是△ABC的高，E是AB的中点，求证：
DE=
AC．
练习1：
如图，矩形ABCD的对角线AC交BD于D，E为CB延长线上一点，连接AE，M为AE中点且BM⊥DM于点M，
（1）连接OM，若AD=8，CD=6，求OM的长。
（2）求证：
AD+BE=2AO
考点四：
角平分线
例1：
已知，四边形ABCD是矩形，CH⊥BD，H为垂足，AE是∠BAD的平分线，交HC的延长线于E。
求证：
CE=BD。
AD
O
BEC
例2：
矩形ABCD，AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于E，若∠CAE=15°，求∠BOE的度数；
例3：
（2009年佳木斯中考卷第25题）如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B′的位置，AB′与CD交于点E.
（1）试找出一个与△AED全等的三角形，并加以证明.
（2）若AB=8，DE=3，P为线段AC上的任意一点，PG⊥AE于G，PH⊥EC于H，试求PG+PH的值，并说明理由.
练习1：
如图，E为矩形ABCD边AD上一点，BE=DE，P为BD上一点，PF⊥BE于F，PG⊥AD于G。
求证：
PF+PG=AB。
课后练习：
1、矩形的两条对角线的夹角为60°，一条对角线与短边的和为15，对角线长是________，两边长分别等于________
2、矩形周长为36cm，一边中点与对边两顶点的连线所夹的角是直角，则矩形各边长是______．
3、如图，矩形ABCD中，E是BC中点，∠BAE=30°，AE=4，则AC=______．
4、如图，矩形ABCD中，AB=2BC，在CD上取上一点M，使AM=AB，则∠MBC=_______．
5、已知：
如图，矩形ABCD中，EF⊥CE，EF=CE，DE=2，矩形的周长为16，求AE的长．
6、将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB＝3，则BC的长为（）
A．1 B．2
C．
D．
7、如图1，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC，CD，DA运动至点A停止．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则△ABC的面积是（）
A．10
y
x
图1
O
A
B
D
C
P
4
9
图2
B．16
C．18
D．20
8、（2009年遂宁）如图，已知矩形ABCD中，AB=4cm，AD=10cm，点P在边BC上移动，点E、F、G、H分别是AB、AP、DP、DC的中点.
⑴求证：
EF+GH=5cm；
⑵求当∠APD=90o时，
的值．
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