高教社杯全国大学生数学建模竞赛 B题论文.docx
《高教社杯全国大学生数学建模竞赛 B题论文.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高教社杯全国大学生数学建模竞赛 B题论文.docx（32页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
高教社杯全国大学生数学建模竞赛B题论文
碎纸片的拼接复原
摘要
本文利用Manhattan距离，聚类分析，图像处理等方法解决了碎纸片的拼接复原问题。
由于碎纸机产生的碎纸片是边缘规则且等大的矩形，此时碎纸片拼接方法就不能利用碎片边缘的尖角特征等基于边界几何特征的拼接方法，而要利用碎片内的字迹断线或碎片内的文字位置搜索与之匹配的相邻碎纸片。
拼接碎片前利用数学软件MATLAB软件对碎片图像进行数据化处理，得到对应的像素矩阵，后设置阈值对像素矩阵进行二值化处理，得到相应的0-1矩阵。
下面分别对三个问题的解决方法和算法实现做简单的阐述：
问题一，分别对附件1和附件2的碎片数据进行处理得到相应的0-1矩阵，依次计算某个0-1矩阵最右边一列组成向量与其他所有0-1矩阵的最左边向量的Manhattan距离，可以得到某个最小距离值、说明最小距离值对应的碎片是可与基准碎片拼接的，最终得到碎片拼接完整的图像。
问题二，同样对于附件3和附件4中的碎片数据进行处理得到相应的数值矩阵，并计算得到每个碎片顶部空白高度和文字高度，即指每行像素点都为255的行数、一行中存在像素点为非255的行数，根据空白高度和文字高度对碎片进行聚类分类，聚类阀值取3像素，得到11组像素矩阵，进而得到11类可能在同一行的碎片类。
其中对附件4中的英文的处理中，我们还采用水平像素投影累积的方法，进一步分类出可能在同一行的碎片类。
用问题一的方法，计算Manhattan距离可以对每一类碎片按次序排列好，得到11行已经排列好的碎片，再应用曼哈顿距离在竖直方向上进行聚合得到完整的图像。
问题三，首先，对于附件5中的碎片数据我们采用正反相接，本文将b面最左边的一列像素拼接到a面最右边的一列像素的下面，构成360×1的向量，再把其他的碎片采用相同的办法得到360×1的向量，再用问题一的方法，计算出各碎片之间的Manhattan距离。
其次，根据每个碎片顶部的空白高度或者文字高度对碎片进行区间分类，得到22组矩阵，然后应用曼哈顿距离将得到的22组矩阵聚成两类，每类各包含两面的11组矩阵，最后利用Manhattan距离在竖直方向上进行聚合得到完整的图像。
本文最后，我们根据算法的效率实现进行了改进和优化，实现算法的移植性、灵活性、运行效率等得以提升。
关键词：
曼哈顿距离，聚类分析，二值化处理
一、问题重述
破碎文件的拼接在司法物证复原、历史文献修复以及军事情报获取等领域都有着重要的应用。
传统上，拼接复原工作需由人工完成，准确率较高，但效率很低。
特别是当碎片数量巨大，人工拼接很难在短时间内完成任务。
随着计算机技术的发展，人们试图开发碎纸片的自动拼接技术，以提高拼接复原效率。
请讨论以下问题：
1.对于给定的来自同一页印刷文字文件的碎纸机破碎纸片（仅纵切），建立碎纸片拼接复原模型和算法，并针对附件1、附件2给出的中、英文各一页文件的碎片数据进行拼接复原。
如果复原过程需要人工干预，请写出干预方式及干预的时间节点。
复原结果以图片形式及表格形式表达。
2.对于碎纸机既纵切又横切的情形，请设计碎纸片拼接复原模型和算法，并针对附件3、附件4给出的中、英文各一页文件的碎片数据进行拼接复原。
如果复原过程需要人工干预，请写出干预方式及干预的时间节点。
复原结果表达要求同上。
3.上述所给碎片数据均为单面打印文件，从现实情形出发，还可能有双面打印文件的碎纸片拼接复原问题需要解决。
附件5给出的是一页英文印刷文字双面打印文件的碎片数据。
请尝试设计相应的碎纸片拼接复原模型与算法，并就附件5的碎片数据给出拼接复原结果，结果表达要求同上。
二、问题分析
我们从附件中的碎片数据可知由于碎纸机产生的碎纸片边缘是规则的，此时碎纸片计算机拼接方法就不能利用碎片边缘的尖点特征、尖角特征、面积特征等基于边界几何特征的拼接方法，而要利用碎片内的字迹断线或碎片内的文字内容是否匹配搜索与之匹配的相邻碎纸片并进行拼接。
首先，我们对碎片内图像进行数据化处理，得到对应的像素值矩阵；然后，我们设置阈值对像素值矩阵进行二值化处理得到相应的数值矩阵；最后，由于曼哈顿距离公式计算快、数值小，数值矩阵与数值矩阵之间应用最小曼哈顿距离对碎纸片进行拼接复原。
问题一中碎纸机破碎纸片只有纵切，每页纸被切为19条碎片，经过处理可以得到19个数值矩阵。
对于每个数值矩阵，我们依次取出最左边一列从上至下各格的值组成一个向量，同样我们依次取出最右边一列从上至下各格的值组成一个向量。
计算出每一数值矩阵的左边向量与所有非同源数值矩阵的右边向量的曼哈顿距离，再将得到的距离值进行排序，当某个距离值最小时、说明相应的左边向量与右边向量的匹配率最大，则该距离对应的左、右边认为是可拼接的。
若得到的最小距离值不止一个，则此时需要进行人工干预。
问题二是对碎纸机既纵切又横切的情形进行讨论，比问题一多了横切条件，此时每页纸被切为209个碎片。
首先，我们利用文件最左边碎片与最上面碎片的特殊性对这209个碎片进行聚类，得到两类特殊的碎片，分别是文件最左边一列碎片和最上面一行碎片，然后类似于问题一的处理方法，应用最小曼哈顿距离对每一类碎片按正确顺序拼接，此后对其余碎片再应用最小曼哈顿距离逐一进行拼接，直至剩余所有的碎片都拼接上。
问题三中，题目要求考虑双面打印文件的碎纸拼接复原问题的解决方案，此时每页纸虽然也是被切为209个碎片，但每个碎片却有正反两面，因此经过处理得到418个数值矩阵，，此时我们分别对每一面各自进行类似问题一的处理，然后综合每一面的聚类情况再应用最小曼哈顿距离对双面碎纸片进行拼接复原。
三、模型假设
1.假设碎纸机破碎纸片（纵切或横切）得到的碎纸片是规则且边缘是整齐的等大的矩形；
2.假设我们对文档碎纸片拼接复原不考虑碎片边缘的尖点特征、尖角特征、面积特征等基于边界几何特征；
3.假设附件中给出的所有中、英文文件中的文字排版是按标准格式排版的。
4.假设附件中给出的所有中、英文字符都是统一格式，且内容为普通文章。
四、符号说明
序号
符号
符号说明
1
数值矩阵
2
数值矩阵
的最左边列向量
3
数值矩阵
的最右边列向量
4
曼哈顿距离
5
隶属函数中的阀值
五、模型建立与求解
5.1问题一（曼哈顿距离）
Ø模型一的建立
题目要求对于给定的来自同一页印刷文字文件的碎纸机破碎纸片（仅纵切）建立碎纸片拼接复原模型和算法，并且要对中、英文各一页文件的碎片数据分别进行拼接复原。
首先，我们利用数学软件MATLAB软件将19条碎片数据化，得到19个像素值矩阵，像素值的变化范围是从0变化到255，此时我们设置
为阈值对像素值矩阵进行二值化处理，当矩阵某位置像素值小于等于
时，则将对应位置的数值设为0；当矩阵某位置像素值大于
时，则将对应位置的数值设为127。
这样我们就得到19个二值化了的数值矩阵
，对于每个数值矩阵
，我们依次取出最左边一列从上至下各格的值组成一个向量，记为
，同样的我们依次取出最右边一列从上至下各格的值组成一个向量，记为
。
计算出每一数值矩阵的左边向量与所有非同源数值矩阵的右边向量的曼哈顿距离
。
Ø模型一的求解
对于得到的向量
和向量
，两向量的曼哈顿距离为
。
可求出附件1碎片与碎片之间的曼哈顿距离，如下表所示。
表1附件1碎片与碎片间的曼哈顿距离
编号
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
编号
6
4
16
10
5
9
8
17
14
13
2
7
15
18
12
3
1
0
11
距离
102
117
48
128
81
113
0
159
112
120
82
84
34
77
78
97
124
102
105
从而可得到附件1碎片序号按复原后顺序如下表所示。
表2附件1碎片序号复原后顺序
8
14
12
15
3
10
2
16
1
4
5
9
13
18
11
7
17
0
6
附件1碎片复原图片如附录中图8.1所示。
同法可求出附件2碎片与碎片之间的曼哈顿距离，如下表所示。
表3附件2碎片与碎片间的曼哈顿距离
编号
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
编号
5
9
7
6
3
1
2
15
12
13
8
0
14
10
17
18
4
16
11
距离
96
65
82
102
0
71
67
120
87
128
82
54
75
133
107
54
93
52
90
从而可得到附件2碎片序号按复原后顺序如下表所示。
表4附件2碎片序号复原后顺序
3
6
2
7
15
18
11
0
5
1
9
13
10
8
12
14
17
16
4
附件2碎片复原图片如附录中图8.2所示。
问题一人工干预情况如下表所示。
表5问题一人工干预情况
人工干预
图像
干预时间
干预方式
干预次数
附件1图像
无
无
0
附件2图像
无
无
0
5.2问题二（Manhattan距离）
Ø模型二的建立
在中文文件中，两个连续的汉字中间的空白间隔所占像素宽度与其左边或者右边的汉字所占像素宽度的比值最大的约为
，则对于每一行文字，碎纸机纵切未切到文字的概率为
，对于每两行文字碎纸机纵切未切到文字的概率为
，而对于每三行文字碎纸机纵切未切到文字的概率更小，可以忽略不计，所以对于总共209个碎片，每个碎片上面的文字至少有两行（碎片上不完整的一行也算一行），所以出现某个碎片上面的文字完全没被碎纸机切割到（即文字完整无缺）的概率至多为
，我们把这样的碎片称之为干扰碎片。
我们知道，整篇文件的最上面一行字的上边缘是空白的，我们可以利用此特殊性对209个碎纸片进行聚类，可以得到一个特殊的类，即碎纸片上边缘为空白的类，此类碎纸片个数大于等于11；出现个数大于11的情形即为混入上面提到的干扰碎片，此概率最大不超过
，可知此类碎纸片应该拼接在文件最上面一行，应用最小曼哈顿距离对此类碎片按正确顺序拼接。
同理可聚类出另一个特殊的类，即碎纸片左边缘为空白、拼接在文件最左边一列的类，并且也应用最小曼哈顿距离对此类碎片按正确顺序拼接。
然后以此拼接好的第一行和第一列碎片为基准，再应用最小曼哈顿距离拼接其余剩下的碎片，最后拼接复原出原中文文件。
在英文文件中，一个英文单词中两个连续的英文字母中间的空白间隔所占像素宽度与其左边或者右边的英文字母所占像素宽度的比值最大的约为
，则对于每一行英文单词，碎纸机纵切未切到英文单词的概率为
，对于每两行英文单词碎纸机纵切未切到英文单词的概率为
，而对于每三行英文单词碎纸机纵切未切到英文单词的概率为
，然后同上述中文文件的分析过程可知，此时对拼接在文件最左边一列归类时混入上面提到的干扰碎片的概率最大不超过
，最后拼接复原出原英文文件。
Ø模型二的求解
我们利用SPSS软件根据每个碎片顶部空白高度或者文字高度的不同，应用聚类分析方法将碎片聚成11类，结果如下图所示。
图1根据碎片顶部文字高度聚类
图2根据碎片顶部空白高度聚类
结合上面的聚类图，可得出附件3的乱序矩阵，如下表所示。
表6附件3的乱序矩阵
49
22
129
178
118
143
188
192
57
141
91
190
28
186
2
54
11
95
65
61
79
116
78
72
20
69
52
163
177
36
99
96
19
67
63
162
131
6
168
179
1
30
23
142
191
87
147
62
76
86
195
18
26
120
100
41
50
38
167
74
46
103
148
88
35
9
8
24
193
161
105
189
25
130
122
81
71
205
27
200
60
85
15
33
156
170
198
132
17
202
152
83
165
133
80
14
115
159
128
199
12
107
176
82
160
73
31
51
203
169
3
135
39
134
94
58
90
149
77
42
34
112
144
136
124
84
164
97
47
127
121
183
43
125
13
187
173
139
66
150
197
182
16
106
181
145
109
21
110
184
157
204
29
10
104
172
55
48
171
5
98
37
206
59
92
201
64
44
180
111
75
7
0
93
32
56
175
153
166
196
137
45
208
174
68
158
138
53
70
126
89
151
114
140
102
207
155
101
146
194
119
4
117
40
123
108
154
185
113
同样的方法可得出附件4的乱序矩阵，如下表所示。
表7附件4的乱序矩阵
191
147
11
67
204
106
104
2
184
190
154
65
39
180
149
75
4
64
32
201
80
91
101
198
100
94
6
26
196
103
113
17
28
148
78
146
164
170
86
59
51
117
24
29
92
58
186
107
46
158
127
40
98
37
5
30
150
19
121
114
57
88
176
82
194
151
22
155
182
126
141
105
93
202
71
165
159
203
187
53
1
120
160
153
85
31
97
138
129
50
139
123
63
38
175
20
136
76
135
36
43
143
41
173
79
199
179
161
45
73
207
116
108
15
208
189
168
49
112
118
169
33
142
119
54
197
61
62
7
133
21
192
162
70
23
68
109
195
60
84
99
174
90
137
8
96
156
47
172
14
122
185
132
163
181
110
25
188
206
27
95
166
69
178
3
111
130
34
167
13
144
171
16
74
134
152
35
83
55
9
157
205
42
145
44
66
56
18
183
10
81
177
52
72
48
12
89
102
140
87
128
125
0
115
193
77
200
131
124
然后我们先求出附件3碎片与碎片之间的曼哈顿距离，从而得到附件3碎片序号按复原后顺序如下表所示。
表8附件3碎片序号复原后顺序
49
54
65
143
186
2
57
192
178
118
190
95
11
22
129
28
91
188
141
61
19
78
67
69
99
162
96
131
79
63
116
163
72
6
177
20
52
36
168
100
76
62
142
30
41
23
147
191
50
179
120
86
195
26
1
87
18
38
148
46
161
24
35
81
189
122
103
130
193
88
167
25
8
9
105
74
71
156
83
132
200
17
80
33
202
198
15
133
170
205
85
152
165
27
60
14
128
3
159
82
199
135
12
73
160
203
169
134
39
31
51
107
115
176
94
34
84
183
90
47
121
42
124
144
77
112
149
97
136
164
127
58
43
125
13
182
109
197
16
184
110
187
66
106
150
21
173
157
181
204
139
145
29
64
111
201
5
92
180
48
37
75
55
44
206
10
104
98
172
171
59
7
208
138
158
126
68
175
45
174
0
137
53
56
93
153
70
166
32
196
89
146
102
154
114
40
151
207
155
140
185
108
117
4
101
113
194
119
123
附件3碎片复原图片如附录中图8.3所示。
同法我们再求出附件4碎片与碎片之间的曼哈顿距离，从而得到附件4碎片序号按复原后顺序如下表所示。
表9附件4碎片序号复原后顺序
191
75
11
154
190
184
2
104
180
64
106
4
149
32
204
65
39
67
147
201
148
170
196
198
94
113
164
78
103
91
80
101
26
100
6
17
28
146
86
51
107
29
40
158
186
98
24
117
150
5
59
58
92
30
37
46
127
19
194
93
141
88
121
126
105
155
114
176
182
151
22
57
202
71
165
82
159
139
1
129
63
138
153
53
38
123
120
175
85
50
160
187
97
203
31
20
41
108
116
136
73
36
207
135
15
76
43
199
45
173
79
161
179
143
208
21
7
49
61
119
33
142
168
62
169
54
192
133
118
189
162
197
112
70
84
60
14
68
174
137
195
8
47
172
156
96
23
99
122
90
185
109
132
181
95
69
167
163
166
188
111
144
206
3
130
34
13
110
25
27
178
171
42
66
205
10
157
74
145
83
134
55
18
56
35
16
9
183
152
44
81
77
128
200
131
52
125
140
193
87
89
48
72
12
177
124
0
102
115
附件4碎片复原图片如附录中图8.4所示。
问题二人工干预情况如下表所示。
表10问题二人工干预情况
人工干预
图像
干预时间
干预方式
干预次数
附件3图像
初始化最左边一列纸片需要人工排序
图像的最左边一列排序出错的地方进行调整
1
初次拼接结束后一小部分位置在水平方向出错
在程序运行初始化中强制将出错的一个图像安排在水平方向的正确位置
2
附件4图像
初始化最左边一列纸片需要人工排序
图像的最左边一列排序出错的地方进行调整
1
初次拼接结束后小部分位置在水平方向出错
在程序运行初始化中强制将出错的一个图像安排在水平方向正确位置
4
5.3问题三（曼哈顿距离）
Ø模型三的建立
问题三在问题二的基础上继续加大碎片拼接复原难度，此时我们对双面碎纸片进行类似问题一的处理，得到418个数值矩阵，我们根据每个碎片顶部的空白高度或者文字高度对碎片进行区间分类，得到22组矩阵，再根据曼哈顿距离将得到的22组矩阵聚成两类，每类各包含某一面的11组矩阵，然后综合每一面的聚类情况再应用最小曼哈顿距离对双面碎纸片进行拼接复原。
然后再利用曼哈顿距离对碎纸片在竖直方向上进行聚合得到最终图像。
Ø模型三的求解
问题三的解决方法与问题二的类似，不过我们分两步进行聚类分析。
第一步，我们根据每个碎片顶部空白高度的不同进行聚类，第二步，我们根据每个碎片底部空白高度的不同进行聚类。
然后我们选取第一、二步聚类产生的公共类，若得到的公共类数量小于22类，则再从单独由第一步聚类产生的类中选取，直到数量达到22类。
对于这22类碎纸片，我们再利用问题二的方法聚成两组，每组数量都为11类。
后面类似模型二的处理过程，结果顺序如下表所示。
表11附件5某一面碎纸的初次拼接位置
078b
153a
036a
157a
030a
058a
025b
179a
166b
061b
165b
043a
096b
051b
194b
16
升级会员 