高中数学第一章空间几何体12空间几何体的三视图和直.docx

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高中数学第一章空间几何体12空间几何体的三视图和直

§1.2　空间几何体的三视图和直观图

1.2.1　中心投影与平行投影

1.2.2　空间几何体的三视图学习目标　

1.了解中心投影和平行投影.2.能画出简单空间图形的三视图（重点）.3.能识别三视图所表示的立体模型（难点）．

知识点1　投影的概念及分类

1．投影的定义

由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影．其中，我们把光线叫做投影线，把留下物体影子的屏幕叫做投影面．

2．投影的分类

3．当图形中的直线或线段不平行于投影线时，平行投影都具有下述性质：

①直线或线段的平行投影仍是直线或线段；

②平行直线的平行投影是平行或重合的直线；

③平行于投影面的线段，它的投影与这条线段平行且等长；

④与投影面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等；

⑤在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比．

【预习评价】　（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）平行投影和中心投影都是空间图形的一种画法．（√）

（2）正投影不具有平行投影的性质．（×）

知识点2　三视图

1．三视图

2．三视图的画法要求

（1）三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方看到的几何体的正投影．

（2）一个物体的三视图排放规则是：

俯视图放在正视图的下面，长度与正视图一样，侧视图放在正视图的右面，高度与正视图一样，宽度与俯视图的宽度一样．

（3）在视图中，被遮挡的轮廓线画成虚线，尺寸线用细实线标出．

（4）确定正视、侧视、俯视的方向，同一物体放置的位置不同，所画的三视图可能不同．

特别提醒　画三视图时务必做到“正侧一样高，正俯一样长，俯侧一样宽”．

【预习评价】

1．三视图是平行投影还是中心投影所成的？

提示　平行投影

2．画三视图时一定要求光线与投影面垂直吗？

提示　是．由画三视图的规则要求可知光线与投影面垂直

题型一　中心投影与平行投影

【例1】　下列说法中：

①平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点；②空间图形经过中心投影后，直线还是直线，但平行线可能变成了相交的直线；③两条相交直线的平行投影是两条相交直线．其中正确的个数为（　　）

A．0B．1C．2D．3

解析　由平行投影和中心投影的定义可知①正确；空间图形经过中心投影后，直线可能变成直线，也可能变成一个点，如当投影中心在直线上时，投影为点；平行线有可能变成相交线，如照片中由近到远物体之间的距离越来越近，最后相交于一点，②不正确；两条相交直线的平行投影是两条相交直线或一条直线，③不正确．

答案　B

规律方法　判断几何体投影形状的方法及画投影的方法：

（1）判断一个几何体的投影是什么图形，先分清楚是平行投影还是中心投影，投影面的位置如何，再根据平行投影或中心投影的性质来判断．

（2）画出一个图形在一个平面上的投影的关键是确定该图形的关键点，如顶点、端点等，方法是先画出这些关键点的投影，再依次连接各投影点即可得出此图形在该平面上的投影．

【训练1】　已知△ABC，选定的投影面与△ABC所在平面平行，则经过中心投影后所得的△A′B′C′与△ABC（　　）

A．全等B．相似C．不相似D．以上都不对

解析　本题主要考查对中心投影的理解．根据题意画出图形，如图所示．

由图易得

＝

＝

＝

＝

＝

，则△ABC∽△A′B′C′.

答案　B

互动探究

　题型二　画空间几何体的三视图

【探究1】　如图是按不同方式放置的同一个圆柱，阴影面为正面，画出其三视图．

解　三视图分别如图所示．

【探究2】　螺栓是棱柱和圆柱构成的组合体，如图，画出它的三视图．

解　它的三视图如图所示．

规律方法　画三视图应遵循的原则和注意事项：

（1）务必做到“长对正、高平齐，宽相等”．

（2）三视图的排列方法是正视图与侧视图在同一水平位置，且正视图在左，侧视图在右，俯视图在正视图的正下方．

（3）在三视图中，要注意实、虚线的画法．

（4）画完三视图草图后，要再对照实物图来验证其正确性．

题型三　由三视图联想实物图

【例2】　根据下列图中所给出的几何体的三视图，试画出它们的形状．

解　由三视图的特征，结合柱、锥、台、球及简单组合体的三视图逆推．

图①对应的几何体是一个正六棱锥，图②对应的几何体是一个三棱柱，则所对应的空间几何体的图形分别如下：

规律方法　1.由三视图还原空间几何体的策略

（1）通过正视图和侧视图确定是柱体、锥体还是台体．若正视图和侧视图为矩形，则原几何体为柱体；若正视图和侧视图为等腰三角形，则原几何体为锥体；若正视图和侧视图为等腰梯形，则原几何体为台体．

（2）通过俯视图确定是多面体还是旋转体．若俯视图为多边形，则原几何体为多面体；若俯视图为圆，则原几何体为旋转体．

2．由三视图还原空间几何体的步骤

【训练2】　根据三视图（如图所示）想象物体原形，指出其结构特征并画出物体的实物草图．

解该几何体是由一个圆柱和一个底面为正方形的长方体组合而成，且圆柱下底面圆的直径等于长方体底面正方形的边长，其草图如图所示.

课堂达标

1．中心投影的投影线（　　）

A．相互平行B．交于一点

C．是异面直线D．在同一平面内

解析　由中心投影的定义知，中心投影的投影线交于一点，故选B.

答案　B

2．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（　　）

解析　从左往右看，主体的轮廓是一个长方形，长方体的对角线可以看见，且该对角线是从左下角往右上角倾斜的．

答案　D

3．若一个几何体的正视图和侧视图都是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆，则这个几何体可能是________．

解析　由圆锥的三视图可知这个几何体可能是圆锥．

答案　圆锥

4．有一个正三棱柱（俯视图为正三角形）的三视图如图所示，则这个三棱柱的高和底面边长分别为________．

解析　由正三棱柱三视图中的数据，知三棱柱的高为2，底面边长为2

×

＝4.

答案　2，4

5．如图，四棱锥的底面是正方形，顶点在底面上的投影是底面正方形的中心，试画出其三视图．

解　所给四棱锥的三视图如图所示：

课堂小结

1．三视图的正视图、侧视图、俯视图是分别从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线，画几何体三视图的要求是正视图、俯视图长对正，正视图、侧视图高平齐，俯视图、侧视图宽相等，前后对应，画出的三视图要检验是否符合“长对正、高平齐、宽相等”的基本特征．

2．画组合体的三视图的步骤

特别提醒　画几何体的三视图时，能看见的轮廓线和棱用实线表示，看不见的轮廓线和棱用虚线表示．

基础过关

1．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是（　　）

A．棱柱B．棱台C．圆柱D．圆台

解析　先观察俯视图，再结合正视图和侧视图还原空间几何体．

由俯视图是圆环可排除A，B，由正视图和侧视图都是等腰梯形可排除C，故选D.

答案　D

2．某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（　　）

A．圆柱B．圆锥C．四面体D．三棱柱

解析　由三视图知识，知圆锥、四面体、三棱柱（放倒看）都能使其正视图为三角形，而圆柱的正视图不可能为三角形，故选A.

答案　A

3．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为（　　）

解析　正视图中小长方形在左上方，对应俯视图应该在左侧，排除B，D，侧视图中小长方形在右上方，排除A，故选C.

答案　C

4．下列物品：

①探照灯；②车灯；③太阳；④月亮；⑤台灯中，所形成的投影是中心投影的是________（填序号）．

解析　探照灯、车灯、台灯的光线是由光源发出的光线，是中心投影；太阳、月亮距离地球很远，我们认为是平行光线，因此不是中心投影，故答案为①②⑤.

答案　①②⑤

5．一几何体的直观图如图所示，下列给出的四个俯视图中正确的是________（填序号）．

解析　该几何体是组合体，上面的几何体是一个五面体，下面是一个长方体，且五面体的一个面即为长方体的一个面，五面体最上面的棱的两端点在底面的射影距左右两边距离相等，因此填②.

答案　②

6．根据以下三视图想象物体原形，并画出物体的实物草图．

解　

（1）此几何体上面为圆柱，下面为圆台，实物草图如图①.

（2）此几何体上面为圆锥，下面为圆柱，实物草图如图②.

能力提升

7．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（　　）

A．3

B．2

C．2

D．2

解析　由三视图知可把四棱锥放在一个正方体内部，四棱锥为D－BCC1B1，最长棱为DB1＝

＝

＝2

.故选B.

答案　B

8．如图，E，F分别为正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是（　　）

A．①②③B．②③C．①②④D．②④

解析　因为正方体是对称的几何体，所以四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可分为：

自上而下、自左至右、由前及后三个方向的射影，

也就是在面ABCD、面BCC1B1、面DCC1D1上的射影．

四边形BFD1E在面ABCD和面DCC1D1上的射影相同，如图②所示；

四边形BFD1E在该正方体的对角面ABC1D1内，它在面BCC1B1上的射影显然是一条线段，如图③所示．故②③正确．

答案　B

9．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P是上底面A1B1C1D1内一动点，则三棱锥P－ABC的正视图与侧视图的面积的比值为________．

解析　依题意得三棱锥P－ABC的正视图与侧视图分别是一个三角形，且这两个三角形的底边长都等于正方体的棱长，底边上的高也都等于正方体的棱长，因此三棱锥P－ABC的正视图与侧视图的面积的比值为1.

答案　1

10．一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于________．

解析　由图可得该几何体为三棱柱，因为正视图、侧视图、俯视图的内切圆最小的是正视图（直角三角形）所对应的内切圆，所以最大球的半径为正视图中直角三角形的内切圆的半径r.

由题意，得8－r＋6－r＝

.解得r＝2.

答案　2

11．画出下列几何体的三视图．

解　题图①为正六棱柱，可按棱柱的画法画出，其三视图如图a；题图②为一个圆锥与一个圆台的组合体，按圆锥、圆台的三视图画出它们的组合形状，其三视图如图b.

12．（选做题）一个物体由几块相同的小正方体组成，其三视图如图所示，试据图回答下列问题：

（1）该物体有多少层？

（2）该物体的最高部分位于哪里？

（3）该物体一共由几个小正方体构成？

解　

（1）该物体一共有两层，从正视图和侧视图都可以看出来．

（2）该物体最高部分位于左侧第一排和第二排．

（3）从侧视图及俯视图可以看出，该物体前后一共三排，第一排左侧2个，右侧1个；第二排左侧2个，右侧没有；第三排左侧1个，右侧1个．该物体一共由7个小正方体构成．