第一章 数的整除.docx

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第一章数的整除

第一章数的整除

第1节整数和整除

1.1整数和整除的意义

教学要求：

1、从数的类型认识整数及整数的分类、自然数的意义。

2、从整数的运算结果看、领会、理解整除的意义和条件

教学重点：

整除的意义和整除的条件。

教学难点：

理解整除的意义和条件。

教学过程：

1、数的产生

你们知道自然数是怎样产生的吗？

自然数是在人类的生产劳动中逐渐产生的。

人类是在生产劳动中，形成“有”和“无”的存在概念；“多”和“少”的比较概念的。

在长期、重复进行的“有”和“无”、“多”和“少”的存在和比较的过程中，人们逐渐认识到有很多物体的数量集合可以“一一对应”，这些“一一对应”的集合中的物体是同样多的。

例如，三头牛和三只羊，在数量上是同样多，人一只手的五个手指，既可以用来表示五个人，也可以用来表示五匹马。

于是自然数就从事物集合中被抽象出来，自然数也就产生了。

以后随着社会的发展，数的概念逐渐推广。

例如，由于生产的发展，自然数已不能满足需要，因而引人了分数。

如，一片草地的一半是

，一半的一半就是

。

自然数：

人们在数物体的时候，用来表示物体个数的数，例如0、1、2、3、4、5、……叫做自然数。

相邻的两个自然数间不再有自然数，不相邻的两个自然数之间，有有限个自然数存在。

2、自然数的单位

任何一个非0自然数都是由若干个“1”组成的，所以“1”是自然数的单位。

任意一个非0自然数

，都是

个1相加的结果。

由0开始，逐次进行“加1”运算，可以得到顺序排列（连续）的各个自然数。

自然数的个数是无限的，最小的自然数是“0”，没有最大的自然数。

3、整数

整数；正整数、零、负正整统称为整数。

正整数：

非0自然数也叫正整数，即1，2，3，4，……

负整数：

小于0的整数叫负整数。

负整数的表示方法是在整数前面加上“–”（读作负）号。

最大的负整数是–1，没有最小的负整数，没有最大的整数。

4、零

现在我们知道0是一个数，是最小的自然数。

那么，你们有谁知道零有哪些性质和作用？

零的性质：

1）0是一个自然数，并且是一个整数，且小于一切非0自然数。

2）0是偶数；在十进制记数法中起占位作用。

3）0可以表示一个物体都没有，也可以表示确定的内容，例如：

飞机零点起飞。

4）0是任意非0自然数的倍数（0除以任意非0自然数的结果为0）5）任何数与0相加，值不变。

6）任何数与0相乘，积等于0。

7）任何数减去0它的值不变。

8）相同的两个数相减，差等于0。

9）0不能作除数。

10）0是唯一的一个中性数，既不是正数也不是负数。

11）0被非0的数除商等于0。

零的作用：

1）表示数位。

如：

304、0.07中“0”是表示数位的。

2）记帐的需要。

如：

5元通常记作5.00元，以防止错位。

3）用于编号。

如：

00045使人知道最大的号数是五位数。

4）0可以表示起点。

如：

刻度尺上的刻度以0为起点。

5）0可以表示精确度。

如：

近似数3.50表示精确到百分之一。

6）0可以作为某些数量的界限。

如：

数轴上它是界其左边的数（负数）与其右边的数（正数）的界限；在摄氏湿度计上，0上温度与0下温度的分界。

7）表示关节点。

如：

水结冰，这个关节温度用“0”表示。

5、整除的意义

1）思考：

15名学生参加夏令营，他们想分成相等的几个小组进行活动，可以怎样分组呢？

2）观察：

下面两组算式卡片中的被除数和除数都是整数，它们的运算结果有仕么不同？

①24÷2=12②6÷5=1.2

21÷3=717÷10=1.7

84÷21=435÷6=5……5

第①组算式中的商都是整数，余数为0。

第②组算式中的商是小数，或者除不尽。

整除：

整数

除以整数

（

≠0），如果除得的商是整数而余数为零，我们就说数

能被数

整除或

能整除

。

确定整除的条件：

1、除数、被除数都是整数；2、被除数除以除数，商是整数而且余数为零。

除尽：

在整数或小数除法中，如果商是整数或有限小数，则叫做能够除尽。

例如21÷3=7，10÷8=1.25，0.3÷0.4=0.75，等等。

除不尽：

数

除以数

（

≠0），当所得的商是一个无限循环小数时，我们就说数

除不尽数

，或者说数

不能被数

除尽。

例如4÷3=1.333……，24÷11=2.1818……，都是除不尽的例子。

6、整除与除尽的区别

整除概念如前，它一般只在整数范围内讨论，并且被除数和除数要求是整数，商必须是“整数而没有余数”；而除尽的情况，并未限制在这一数域范围内，也未规定商必须是“整数而没有余数”。

它的被除数、除数（不等于0）和商，既可以是整数，也可以是有限小数，只要除完后没有余数就可以了。

例如17÷4=4.25，24÷4=6，0.12÷0.04=3，这三个算式的被除数都能被除数除尽。

但是能说被除数被除数整除的，却只有一个——24能被4整除。

1.2因数和倍数

【知识要点】

1、如果a×b=c（a，b，c都是不为0的整数），那么a,b就是c的因数，c就是a,b的倍数。

2、找一个数的因数的方法：

（1）列乘法算式找

（2）列除法算式找

3、表示一个数的因数的方法：

（1）列举法

（2）用集合圈表示

4、一个数的因数的特征：

一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。

5、找一个数的倍数的方法：

（1）列乘法算式找

（2）列除法算式找

6、一个数的倍数的表示方法：

（1）列举法

（2）用集合圈表示

7、一个数的倍数的特征：

一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。

8、倍数、因数的关系

倍数与因数是相互依存的关系。

没有倍数就不存在因数，没有因数也就不存在倍数，不能单独说一个数是倍数或因数。

【例题详解·基础篇】

例124的因数有哪几个？

例2你能找出多少个3的倍数？

【例题详解·提高篇】

例3一个数是36的因数，但不是36的最大因数，还是9的倍数，但不是9的最小倍数，这个数是几呢？

例4一个数的最大因数和最小倍数都是45，这个数是几？

例5一个数只有两个因数，且这个数的2倍在25和30之间，这个数是几？

例6幼儿园阿姨买来一些糖果，平均分给5个小朋友，正好分完。

如果阿姨买的糖果总数比5多，比100少，那么阿姨可能买来多少块糖？

【课堂训练】

一、填空题。

1、一个数的因数的个数是（）的，其中最小的因数是（），最大的因数是（）。

2、一个数的倍数的个数是（）的，其中最小的倍数是（），（）最大的倍数。

3、一个非零自然数，既是它本身的（），又是它本身的（）。

4、（）和（）是相互依存的。

5、12的因数有（），其中最小的因数是（），最大的因数是（）。

6、一个数的最大因数和最小倍数相加等于62，这个数是（）。

7、一个数是18的倍数，它又是18的因数，这个数是（）。

8、36的全部因数有（）个。

2、判断题

1、5是5的倍数，但不是5的因数。

（）

2、甲数×3=乙数，所以乙数是甲数的倍数。

（）

3、任何一个自然数的因数都比它本身小。

（）

4、5是因数，35是倍数。

（）

5、51是3的倍数。

（）

6、100以内5的倍数有无限个。

（）

3、选择题

1、一个数的最大因数是21，则这个数的最小倍数（）21.

A大于B小于C等于

2、a，b，c都是非零自然数，且a=b×c,那么一定有（）。

Aa是b的倍数

Bb是a的倍数

Cc是a的倍数

3、已知A是19的因数，那么A（）

A必定是19

B必定是1

C是1或者19

4、一个数的因数的个数至少有（）

A1个B2个C3个以上

1.3能被2,5整除的数

第2节分解素因数

1.4素数、合数与分解素因数

教学目标：

1、理解素数、合数、素因数、分解素因数的概念，掌握分解素因数的几种方法，熟练掌握用短除法分解素因数。

2、通过学习，进一步加深对整数的认识，理解整数的多种分类方法的异同，体现分类思想。

教学重点：

分解素因数

教学难点：

素数与分数、合数与偶数概念的辨析

教学过程：

（一）创设问题情境引入新课

1.先复习，引发素数、合数的概念：

1）写几个整数，并让学生写出它们的因数；

2）提问：

它们各自有几个因数？

例如：

写出1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，……..的因数，并写出有一个因数的数是哪些？

有两因数的数是哪些？

有两个以上因数的数是那些？

由此可以发现，有些整数只有一个因数，有些有2个因数，即1和本身，有些有3个、4个………

2.素数、合数概念的形成：

概念：

一个正整数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做素数，也叫做质数；如果除了1和它本身以外还有别的因数，这样的数叫做合数。

例：

判断27，29，35和37是素数还是合数？

通过检查每个数的因数的个数，可以知道29，37是素数，27，35是合数。

（二）层层递进、探索新知

1.讨论：

1）1是素数还是合数？

2是素数还是合数？

1既不是素数也不是合数2是素数

2）除1外你能举出一个既不是素数也不是合数的整数吗？

没有

3）是否存在这样的正整数，既是素数，又是合数？

不存在

4）按素数、合数对正整数分类，可分为几类？

素数合数1

（1既不是素数，也不是合数。

这样，正整数又可以分为1、素数和合数三类。

）

3.判断一个100以内的数是不是素数，还可以查以下的素数表：

2   3   5   7   11   13   17   19   23

29  31  37  41  43   47   53   59   61

67  71  73  79  83   89   97

（三）练习，巩固新知

练1.在自然数1到10中：

奇数有哪些？

13579偶数有哪些？

246810

素数有哪些？

2357合数有哪些？

468910

练2.下面的说法对吗？

1）一个合数至少有3个因数；对比如4，9，25

2）所有的奇数都是素数；错25949

3）所有的偶数都是合数错2

4）在正整数中，除了素数都是合数。

错1

分解素因数

每位同学写出几个合数，然后再将它们写成几个素数相乘的形式。

例：

将6、28、60分解素因数

62860

2×34×76×10

2×2×72×3×2×5

6=2×328=2×2×760=2×2×3×5

（形状很像树枝，俗称“树枝分解法”）

说明：

先将该合数分解成两个因数之积，再将其中的合数分解，一直分到不能再分为止

从以上例子可以看出：

每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫做这个合数的素因数。

把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫做分解素因数

例2：

把48、35、60分解素因数

248535260

2247230

212315

265

3

48=2×2×2×2×335=5×760=2×2×3×5

这种在左侧写除数，下方写商的除法格式叫做“短除法”

用短除法分解素因数的步骤如下：

1先用一个能整除这个合数的素数（通常从最小的开始）去除

2得出的商如果是合数，再按照上面的方法继续除下去，直到得出的商是素数为止

3然后把各个除数和最后的商按从小到大的顺序写成连乘的形式

计算器分解法

例：

将1334分解素因数

用计算器计算得1334÷2=667再把667依次除以素数2，3，5，7，11，13，17，19，都有余数，说明它们都不是667的素因数而667÷23=29，29是素数所以1334=2×23×29

说明：

首先用计算器将合数分成两个整数之积，再分别对两个整数进行分解，最终化为素数之积的形式。

1.5公因数与最大公因数

学前思考：

一张长方形的纸长36cm,宽20cm,要把它裁成大小相等的正方形小纸片而没有剩余，裁出的正方形纸片最少有多少张？

教学内容:

1、公因数和最大公因数的概念

几个数的公有的因数，叫做这几个数的公因数，其中最大的一个，称为这几个数的最大公因数

2、互素

公因数只有1的两个数叫着互素

注：

互素是指两个数之间的关系，与素数没有互为因果的关系，在下列情况可以直接判断两个数是互素的

（1）两个不同的素数是互素；

（2）1和任何正整数是互素；

（3）两个相邻的正整数是互素；

（4）一个素数和一个合数，且没有倍数关系，它们是互素

例1、求下列各组数的最大公因数

（1）17和51

（2）23和32（3）24和60

例2、说出下面哪一组中的两个数是互素的

9和1227和287和2211和19

例3、数字1、11、14、16能组成几对互素

3、求最大公因数的方法

（1）列举法：

分别列出两个数的因数，从公因数中找出它们的最大公因数

（2）分解素因数法：

把两个数分解素因数，最大公因数就是它们公有素因数的乘积

（3）短除法：

用两个数的公因数去除，除到商互素为止，所有除数的乘积就是这两个数的最大公因数

（4）特征法：

如果两个数是互素，那么最小数就是这个数的最大公因数。

例4、求18和42的最大公因数

应用与提高

例5、下列说法中，正确的个数为：

（）

（1）2是4和16的一个公因数；

（2）12是24和36的最大公因数

（3）如果两个数互素，那么这两个数一定都是素数

（4）1和任何正整数互素

A、0B、1C、2D、3

例6、两个数的和是60，它们的最大公因数是12，这两个数是多少？

例7、去世博园游览这天，老师带领24名女生和18名男生，老师把这些学生分成人数相等大的男、女生均有的若干小组，每个小组中女生人数和男生人数相等，请问：

这42名同学最多分成几组？

例8、有12分米长的铁丝8根，18分米长的铁丝7根，要把它们截成一样长的铁丝，不能浪费，截下的铁丝要最长

铁丝长几分米？

可以截成多少根？

1.6公倍数与最小公倍数

教学目标：

1、让学生理解公倍数，最小公倍数的定义。

2、使学生能够快速求出一组数的最小公倍数和公倍数。

3、培养学生的独立探索、发现、解决实际问题的能力。

4、让学生感悟数学与生活的紧密联系，领悟数学的美感，提高数学学习兴趣。

重点：

理解公倍数，最小公倍数的概念。

几个整数的公有的倍数叫做它们的公倍数，其中最小的一个叫做它们的最小公倍数。

难点：

1、求出一组数的最小公倍数和公倍数；

以及公倍数在实际问题中的应用。

5、核心定义（对比）

最大公约数：

如果一个自然数能被自然数整除，则称为的倍数，为的约数。

几个自然数公有的约数，叫作这几个数的公约数。

公约数中最大的一个公约数，称为这几个数的最大公约数。

最小公倍数：

如果一个自然数能被自然数整除，则称为的倍数，为的约数。

几个自然数公有的倍数，叫作这几个数的公倍数。

公约数中最大的一个公倍数，称为这几个数的最大公倍数。

重难点：

求两个整数的最小公倍数，只要取它们所有公有的素因数，再取它们各自剩余的素因数，将这些数连乘，所得的积就是这两个数的最小公倍数。

如果两个整数中某一个数是另一个数的倍数，那么这个数就是它们的最小公倍数。

如果两个数互素，那么它们的乘积就是它们的最小公倍数。

一、新课导入：

1、师：

王老师上个月买了两盆花，月季花每四天浇一次，君子兰每六天浇一次，那本月你浇月季花的日期有？

浇君子兰的日期有？

同时浇良种花的日期有？

2、浇君子兰和月季花的日期和4、6有什么关系？

3、同时给君子兰和月季花浇水的日期和4、6又有什么关系？

二、新课讲解：

1、用长3cm宽2cm的长方形铺正方形（用整张纸）你能铺成边长时多少的正方形？

2、怎样铺边长是6cm的正方形？

能不能铺成边长为8cm的正方形？

9cm的正方形？

3、铺成的正方形的边长与长方形的边长有什么关系？

4、根据你的发现想一想还能铺成边长是多少的正方形？

有什么规律吗？

5、师：

6、12、18、24这些数既是2的倍数，也是3的倍数，他们是2和3的，其中最小的是6，那么6就叫做2、3的最小公倍数。

三、课堂巩固：

1、求出6、9的公倍数，最小公倍数，并找出公倍数和最小公倍数之间的关系？

2、求出下列数的最小公倍数：

8和2（8）3和9（9）5和7（35）8和3（24）

5和10（10）12和24（24）9和2（18）5和6（30）

四、例题

【例题1】

三位采购员定期去某商店，小王每隔9天去一次，大刘每隔11天去一次，老杨每隔7天去一次，三人星期二第一次在商店相会，下次相会是星期几？

A.星期一B.星期二C.星期三D.星期四

【解析】

这道题乍看上去像是求9、11、7的最小公倍数，但如果再细点心就会发现“每个”两个字，意思也就是“每隔9天”是第10天，“每隔11天”就是第12天，“每隔7天”就是第8天，因此这道题实际上是求10、12、8的最小公倍数即120.120÷7=17余1，所以，下一次相会是在星期三。

正确答案为C。

【例题2】

甲每5天进城一次，乙每9天进城一次，丙每12天进城一次，某天，三人在城里相遇，那么下次相遇至少要（）。

A.60天B.180天C.540天D.1620天

【解析】

下次相遇需要多少天也就是要求出5、9、12的最小公倍数，可用带入法，也可直接求。

5、9、12的最小公倍数为5×3×3×4=180。

答案为B。