第一章 数的整除.docx
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第一章数的整除
第一章数的整除
第1节整数和整除
1.1整数和整除的意义
教学要求:
1、从数的类型认识整数及整数的分类、自然数的意义。
2、从整数的运算结果看、领会、理解整除的意义和条件
教学重点:
整除的意义和整除的条件。
教学难点:
理解整除的意义和条件。
教学过程:
1、数的产生
你们知道自然数是怎样产生的吗?
自然数是在人类的生产劳动中逐渐产生的。
人类是在生产劳动中,形成“有”和“无”的存在概念;“多”和“少”的比较概念的。
在长期、重复进行的“有”和“无”、“多”和“少”的存在和比较的过程中,人们逐渐认识到有很多物体的数量集合可以“一一对应”,这些“一一对应”的集合中的物体是同样多的。
例如,三头牛和三只羊,在数量上是同样多,人一只手的五个手指,既可以用来表示五个人,也可以用来表示五匹马。
于是自然数就从事物集合中被抽象出来,自然数也就产生了。
以后随着社会的发展,数的概念逐渐推广。
例如,由于生产的发展,自然数已不能满足需要,因而引人了分数。
如,一片草地的一半是
,一半的一半就是
。
自然数:
人们在数物体的时候,用来表示物体个数的数,例如0、1、2、3、4、5、……叫做自然数。
相邻的两个自然数间不再有自然数,不相邻的两个自然数之间,有有限个自然数存在。
2、自然数的单位
任何一个非0自然数都是由若干个“1”组成的,所以“1”是自然数的单位。
任意一个非0自然数
,都是
个1相加的结果。
由0开始,逐次进行“加1”运算,可以得到顺序排列(连续)的各个自然数。
自然数的个数是无限的,最小的自然数是“0”,没有最大的自然数。
3、整数
整数;正整数、零、负正整统称为整数。
正整数:
非0自然数也叫正整数,即1,2,3,4,……
负整数:
小于0的整数叫负整数。
负整数的表示方法是在整数前面加上“–”(读作负)号。
最大的负整数是–1,没有最小的负整数,没有最大的整数。
4、零
现在我们知道0是一个数,是最小的自然数。
那么,你们有谁知道零有哪些性质和作用?
零的性质:
1)0是一个自然数,并且是一个整数,且小于一切非0自然数。
2)0是偶数;在十进制记数法中起占位作用。
3)0可以表示一个物体都没有,也可以表示确定的内容,例如:
飞机零点起飞。
4)0是任意非0自然数的倍数(0除以任意非0自然数的结果为0)5)任何数与0相加,值不变。
6)任何数与0相乘,积等于0。
7)任何数减去0它的值不变。
8)相同的两个数相减,差等于0。
9)0不能作除数。
10)0是唯一的一个中性数,既不是正数也不是负数。
11)0被非0的数除商等于0。
零的作用:
1)表示数位。
如:
304、0.07中“0”是表示数位的。
2)记帐的需要。
如:
5元通常记作5.00元,以防止错位。
3)用于编号。
如:
00045使人知道最大的号数是五位数。
4)0可以表示起点。
如:
刻度尺上的刻度以0为起点。
5)0可以表示精确度。
如:
近似数3.50表示精确到百分之一。
6)0可以作为某些数量的界限。
如:
数轴上它是界其左边的数(负数)与其右边的数(正数)的界限;在摄氏湿度计上,0上温度与0下温度的分界。
7)表示关节点。
如:
水结冰,这个关节温度用“0”表示。
5、整除的意义
1)思考:
15名学生参加夏令营,他们想分成相等的几个小组进行活动,可以怎样分组呢?
2)观察:
下面两组算式卡片中的被除数和除数都是整数,它们的运算结果有仕么不同?
①24÷2=12②6÷5=1.2
21÷3=717÷10=1.7
84÷21=435÷6=5……5
第①组算式中的商都是整数,余数为0。
第②组算式中的商是小数,或者除不尽。
整除:
整数
除以整数
(
≠0),如果除得的商是整数而余数为零,我们就说数
能被数
整除或
能整除
。
确定整除的条件:
1、除数、被除数都是整数;2、被除数除以除数,商是整数而且余数为零。
除尽:
在整数或小数除法中,如果商是整数或有限小数,则叫做能够除尽。
例如21÷3=7,10÷8=1.25,0.3÷0.4=0.75,等等。
除不尽:
数
除以数
(
≠0),当所得的商是一个无限循环小数时,我们就说数
除不尽数
,或者说数
不能被数
除尽。
例如4÷3=1.333……,24÷11=2.1818……,都是除不尽的例子。
6、整除与除尽的区别
整除概念如前,它一般只在整数范围内讨论,并且被除数和除数要求是整数,商必须是“整数而没有余数”;而除尽的情况,并未限制在这一数域范围内,也未规定商必须是“整数而没有余数”。
它的被除数、除数(不等于0)和商,既可以是整数,也可以是有限小数,只要除完后没有余数就可以了。
例如17÷4=4.25,24÷4=6,0.12÷0.04=3,这三个算式的被除数都能被除数除尽。
但是能说被除数被除数整除的,却只有一个——24能被4整除。
1.2因数和倍数
【知识要点】
1、如果a×b=c(a,b,c都是不为0的整数),那么a,b就是c的因数,c就是a,b的倍数。
2、找一个数的因数的方法:
(1)列乘法算式找
(2)列除法算式找
3、表示一个数的因数的方法:
(1)列举法
(2)用集合圈表示
4、一个数的因数的特征:
一个数的因数的个数是有限的,其中最小的因数是1,最大的因数是它本身。
5、找一个数的倍数的方法:
(1)列乘法算式找
(2)列除法算式找
6、一个数的倍数的表示方法:
(1)列举法
(2)用集合圈表示
7、一个数的倍数的特征:
一个数的倍数的个数是无限的,其中最小的倍数是它本身,没有最大的倍数。
8、倍数、因数的关系
倍数与因数是相互依存的关系。
没有倍数就不存在因数,没有因数也就不存在倍数,不能单独说一个数是倍数或因数。
【例题详解·基础篇】
例124的因数有哪几个?
例2你能找出多少个3的倍数?
【例题详解·提高篇】
例3一个数是36的因数,但不是36的最大因数,还是9的倍数,但不是9的最小倍数,这个数是几呢?
例4一个数的最大因数和最小倍数都是45,这个数是几?
例5一个数只有两个因数,且这个数的2倍在25和30之间,这个数是几?
例6幼儿园阿姨买来一些糖果,平均分给5个小朋友,正好分完。
如果阿姨买的糖果总数比5多,比100少,那么阿姨可能买来多少块糖?
【课堂训练】
一、填空题。
1、一个数的因数的个数是()的,其中最小的因数是(),最大的因数是()。
2、一个数的倍数的个数是()的,其中最小的倍数是(),()最大的倍数。
3、一个非零自然数,既是它本身的(),又是它本身的()。
4、()和()是相互依存的。
5、12的因数有(),其中最小的因数是(),最大的因数是()。
6、一个数的最大因数和最小倍数相加等于62,这个数是()。
7、一个数是18的倍数,它又是18的因数,这个数是()。
8、36的全部因数有()个。
2、判断题
1、5是5的倍数,但不是5的因数。
()
2、甲数×3=乙数,所以乙数是甲数的倍数。
()
3、任何一个自然数的因数都比它本身小。
()
4、5是因数,35是倍数。
()
5、51是3的倍数。
()
6、100以内5的倍数有无限个。
()
3、选择题
1、一个数的最大因数是21,则这个数的最小倍数()21.
A大于B小于C等于
2、a,b,c都是非零自然数,且a=b×c,那么一定有()。
Aa是b的倍数
Bb是a的倍数
Cc是a的倍数
3、已知A是19的因数,那么A()
A必定是19
B必定是1
C是1或者19
4、一个数的因数的个数至少有()
A1个B2个C3个以上
1.3能被2,5整除的数
第2节分解素因数
1.4素数、合数与分解素因数
教学目标:
1、理解素数、合数、素因数、分解素因数的概念,掌握分解素因数的几种方法,熟练掌握用短除法分解素因数。
2、通过学习,进一步加深对整数的认识,理解整数的多种分类方法的异同,体现分类思想。
教学重点:
分解素因数
教学难点:
素数与分数、合数与偶数概念的辨析
教学过程:
(一)创设问题情境引入新课
1.先复习,引发素数、合数的概念:
1)写几个整数,并让学生写出它们的因数;
2)提问:
它们各自有几个因数?
例如:
写出1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,……..的因数,并写出有一个因数的数是哪些?
有两因数的数是哪些?
有两个以上因数的数是那些?
由此可以发现,有些整数只有一个因数,有些有2个因数,即1和本身,有些有3个、4个………
2.素数、合数概念的形成:
概念:
一个正整数,如果只有1和它本身两个因数,这样的数叫做素数,也叫做质数;如果除了1和它本身以外还有别的因数,这样的数叫做合数。
例:
判断27,29,35和37是素数还是合数?
通过检查每个数的因数的个数,可以知道29,37是素数,27,35是合数。
(二)层层递进、探索新知
1.讨论:
1)1是素数还是合数?
2是素数还是合数?
1既不是素数也不是合数2是素数
2)除1外你能举出一个既不是素数也不是合数的整数吗?
没有
3)是否存在这样的正整数,既是素数,又是合数?
不存在
4)按素数、合数对正整数分类,可分为几类?
素数合数1
(1既不是素数,也不是合数。
这样,正整数又可以分为1、素数和合数三类。
)
3.判断一个100以内的数是不是素数,还可以查以下的素数表:
2 3 5 7 11 13 17 19 23
29 31 37 41 43 47 53 59 61
67 71 73 79 83 89 97
(三)练习,巩固新知
练1.在自然数1到10中:
奇数有哪些?
13579偶数有哪些?
246810
素数有哪些?
2357合数有哪些?
468910
练2.下面的说法对吗?
1)一个合数至少有3个因数;对比如4,9,25
2)所有的奇数都是素数;错25949
3)所有的偶数都是合数错2
4)在正整数中,除了素数都是合数。
错1
分解素因数
每位同学写出几个合数,然后再将它们写成几个素数相乘的形式。
例:
将6、28、60分解素因数
62860
2×34×76×10
2×2×72×3×2×5
6=2×328=2×2×760=2×2×3×5
(形状很像树枝,俗称“树枝分解法”)
说明:
先将该合数分解成两个因数之积,再将其中的合数分解,一直分到不能再分为止
从以上例子可以看出:
每个合数都可以写成几个素数相乘的形式,其中每个素数都是这个合数的因数,叫做这个合数的素因数。
把一个合数用素因数相乘的形式表示出来,叫做分解素因数
例2:
把48、35、60分解素因数
248535260
2247230
212315
265
3
48=2×2×2×2×335=5×760=2×2×3×5
这种在左侧写除数,下方写商的除法格式叫做“短除法”
用短除法分解素因数的步骤如下:
1先用一个能整除这个合数的素数(通常从最小的开始)去除
2得出的商如果是合数,再按照上面的方法继续除下去,直到得出的商是素数为止
3然后把各个除数和最后的商按从小到大的顺序写成连乘的形式
计算器分解法
例:
将1334分解素因数
用计算器计算得1334÷2=667再把667依次除以素数2,3,5,7,11,13,17,19,都有余数,说明它们都不是667的素因数而667÷23=29,29是素数所以1334=2×23×29
说明:
首先用计算器将合数分成两个整数之积,再分别对两个整数进行分解,最终化为素数之积的形式。
1.5公因数与最大公因数
学前思考:
一张长方形的纸长36cm,宽20cm,要把它裁成大小相等的正方形小纸片而没有剩余,裁出的正方形纸片最少有多少张?
教学内容:
1、公因数和最大公因数的概念
几个数的公有的因数,叫做这几个数的公因数,其中最大的一个,称为这几个数的最大公因数
2、互素
公因数只有1的两个数叫着互素
注:
互素是指两个数之间的关系,与素数没有互为因果的关系,在下列情况可以直接判断两个数是互素的
(1)两个不同的素数是互素;
(2)1和任何正整数是互素;
(3)两个相邻的正整数是互素;
(4)一个素数和一个合数,且没有倍数关系,它们是互素
例1、求下列各组数的最大公因数
(1)17和51
(2)23和32(3)24和60
例2、说出下面哪一组中的两个数是互素的
9和1227和287和2211和19
例3、数字1、11、14、16能组成几对互素
3、求最大公因数的方法
(1)列举法:
分别列出两个数的因数,从公因数中找出它们的最大公因数
(2)分解素因数法:
把两个数分解素因数,最大公因数就是它们公有素因数的乘积
(3)短除法:
用两个数的公因数去除,除到商互素为止,所有除数的乘积就是这两个数的最大公因数
(4)特征法:
如果两个数是互素,那么最小数就是这个数的最大公因数。
例4、求18和42的最大公因数
应用与提高
例5、下列说法中,正确的个数为:
()
(1)2是4和16的一个公因数;
(2)12是24和36的最大公因数
(3)如果两个数互素,那么这两个数一定都是素数
(4)1和任何正整数互素
A、0B、1C、2D、3
例6、两个数的和是60,它们的最大公因数是12,这两个数是多少?
例7、去世博园游览这天,老师带领24名女生和18名男生,老师把这些学生分成人数相等大的男、女生均有的若干小组,每个小组中女生人数和男生人数相等,请问:
这42名同学最多分成几组?
例8、有12分米长的铁丝8根,18分米长的铁丝7根,要把它们截成一样长的铁丝,不能浪费,截下的铁丝要最长
铁丝长几分米?
可以截成多少根?
1.6公倍数与最小公倍数
教学目标:
1、让学生理解公倍数,最小公倍数的定义。
2、使学生能够快速求出一组数的最小公倍数和公倍数。
3、培养学生的独立探索、发现、解决实际问题的能力。
4、让学生感悟数学与生活的紧密联系,领悟数学的美感,提高数学学习兴趣。
重点:
理解公倍数,最小公倍数的概念。
几个整数的公有的倍数叫做它们的公倍数,其中最小的一个叫做它们的最小公倍数。
难点:
1、求出一组数的最小公倍数和公倍数;
以及公倍数在实际问题中的应用。
5、核心定义(对比)
最大公约数:
如果一个自然数能被自然数整除,则称为的倍数,为的约数。
几个自然数公有的约数,叫作这几个数的公约数。
公约数中最大的一个公约数,称为这几个数的最大公约数。
最小公倍数:
如果一个自然数能被自然数整除,则称为的倍数,为的约数。
几个自然数公有的倍数,叫作这几个数的公倍数。
公约数中最大的一个公倍数,称为这几个数的最大公倍数。
重难点:
求两个整数的最小公倍数,只要取它们所有公有的素因数,再取它们各自剩余的素因数,将这些数连乘,所得的积就是这两个数的最小公倍数。
如果两个整数中某一个数是另一个数的倍数,那么这个数就是它们的最小公倍数。
如果两个数互素,那么它们的乘积就是它们的最小公倍数。
一、新课导入:
1、师:
王老师上个月买了两盆花,月季花每四天浇一次,君子兰每六天浇一次,那本月你浇月季花的日期有?
浇君子兰的日期有?
同时浇良种花的日期有?
2、浇君子兰和月季花的日期和4、6有什么关系?
3、同时给君子兰和月季花浇水的日期和4、6又有什么关系?
二、新课讲解:
1、用长3cm宽2cm的长方形铺正方形(用整张纸)你能铺成边长时多少的正方形?
2、怎样铺边长是6cm的正方形?
能不能铺成边长为8cm的正方形?
9cm的正方形?
3、铺成的正方形的边长与长方形的边长有什么关系?
4、根据你的发现想一想还能铺成边长是多少的正方形?
有什么规律吗?
5、师:
6、12、18、24这些数既是2的倍数,也是3的倍数,他们是2和3的,其中最小的是6,那么6就叫做2、3的最小公倍数。
三、课堂巩固:
1、求出6、9的公倍数,最小公倍数,并找出公倍数和最小公倍数之间的关系?
2、求出下列数的最小公倍数:
8和2(8)3和9(9)5和7(35)8和3(24)
5和10(10)12和24(24)9和2(18)5和6(30)
四、例题
【例题1】
三位采购员定期去某商店,小王每隔9天去一次,大刘每隔11天去一次,老杨每隔7天去一次,三人星期二第一次在商店相会,下次相会是星期几?
A.星期一B.星期二C.星期三D.星期四
【解析】
这道题乍看上去像是求9、11、7的最小公倍数,但如果再细点心就会发现“每个”两个字,意思也就是“每隔9天”是第10天,“每隔11天”就是第12天,“每隔7天”就是第8天,因此这道题实际上是求10、12、8的最小公倍数即120.120÷7=17余1,所以,下一次相会是在星期三。
正确答案为C。
【例题2】
甲每5天进城一次,乙每9天进城一次,丙每12天进城一次,某天,三人在城里相遇,那么下次相遇至少要()。
A.60天B.180天C.540天D.1620天
【解析】
下次相遇需要多少天也就是要求出5、9、12的最小公倍数,可用带入法,也可直接求。
5、9、12的最小公倍数为5×3×3×4=180。
答案为B。