全国卷1理科.docx

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全国卷1理科

2014·全国新课标卷Ⅰ（理科数学）

1．A1[2014·新课标全国卷Ⅰ]已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x<2}，则A∩B＝（　　）

A．[－2，－1]B．[－1，2）

B．[－1，1]D．[1，2）

1．A　[解析]集合A＝（－∞，－1]∪[3，＋∞），所以A∩B＝[－2，－1]．

2．L4[2014·新课标全国卷Ⅰ]＝（　　）

A．1＋iB．1－i

C．－1＋iD．－1－i

2．D　[解析]＝＝＝－1－i.

3．B4[2014·新课标全国卷Ⅰ]设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论中正确的是（　　）

A．f（x）g（x）是偶函数

B．|f（x）|g（x）是奇函数

C．f（x）|g（x）|是奇函数

D．|f（x）g（x）|是奇函数

3．C　[解析]由于偶函数的绝对值还是偶函数，一个奇函数与一个偶函数之积为奇函数，故正确选项为C.

4．H6[2014·新课标全国卷Ⅰ]已知F为双曲线C：

x2－my2＝3m（m>0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（　　）

A.B．3

C.mD．3m

4．A　[解析]双曲线的一条渐近线的方程为x＋y＝0.根据双曲线方程得a2＝3m，b2＝3，所以c＝，双曲线的右焦点坐标为（，0）．故双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为＝.

5．K2[2014·新课标全国卷Ⅰ]4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（　　）

A.B.

C.D.

5．D　[解析]每位同学有2种选法，基本事件的总数为24＝16，其中周六、周日中有一天无人参加的基本事件有2个，故周六、周日都有同学参加公益活动的概率为1－＝.

图11

6．C1、C3[2014·新课标全国卷Ⅰ]如图11，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示成x的函数f（x），则y＝f（x）在[0，π]上的图像大致为（　　）

　　　A　　　　　　　　　B

　　　C　　　　　　　　　D

6．C　[解析]根据三角函数的定义，点M（cosx，0），△OPM的面积为|sinxcosx|，在直角三角形OPM中，根据等积关系得点M到直线OP的距离，即f（x）＝|sinxcosx|＝|sin2x|，且当x＝时上述关系也成立，故函数f（x）的图像为选项C中的图像．

7．L1[2014·新课标全国卷Ⅰ]执行如图12所示的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M＝（　　）

图12

A.B.C.D.

7．D　[解析]逐次计算，依次可得：

M＝，a＝2，b＝，n＝2；M＝，a＝，b＝，n＝3；M＝，a＝，b＝，n＝4.此时输出M，故输出的是.

8．C5[2014·新课标全国卷Ⅰ]设α∈，β∈，且tanα＝，则（　　）

A．3α－β＝B．3α＋β＝

C．2α－β＝D．2α＋β＝

8．C　[解析]tanα＝＝＝

＝＝tan，因为β∈，所以＋∈，又α∈且tanα＝tan，所以α＝，即2α－β＝.

9．E5、A3[2014·新课标全国卷Ⅰ]不等式组的解集记为D，有下面四个命题：

p1：

∀（x，y）∈D，x＋2y≥－2，

p2：

∃（x，y）∈D，x＋2y≥2，

p3：

∀（x，y）∈D，x＋2y≤3，

p4：

∃（x，y）∈D，x＋2y≤－1.

其中的真命题是（　　）

A．p2，p3B．p1，p2

C．p1，p4D．p1，p3

9．B　[解析]不等式组表示的区域D如图中的阴影部分所示，设目标函数z＝x＋2y，根据目标函数的几何意义可知，目标函数在点A（2，－1）处取得最小值，且zmin＝2－2＝0，即x＋2y的取值范围是[0，＋∞），故命题p1，p2为真，命题p3，p4为假．

10．H7[2014·新课标全国卷Ⅰ]已知抛物线C：

y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点．若＝4，则|QF|＝（　　）

A.B．3

C.D．2

10．B　[解析]由题知F（2，0），设P（－2，t），Q（x0，y0），则FP＝（－4，t），＝（x0－2，y0），由FP＝4FQ，得－4＝4（x0－2），解得x0＝1，根据抛物线定义得|QF|＝x0＋2＝3.

11．B12[2014·新课标全国卷Ⅰ]已知函数f（x）＝ax3－3x2＋1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0>0，则a的取值范围是（　　）

A．（2，＋∞）B．（1，＋∞）

C．（－∞，－2）D．（－∞，－1）

11．C　[解析]当a＝0时，f（x）＝－3x2＋1，存在两个零点，不符合题意，故a≠0.

由f′（x）＝3ax2－6x＝0，得x＝0或x＝.

若a<0，则函数f（x）的极大值点为x＝0，且f（x）极大值＝f（0）＝1，极小值点为x＝，且f（x）极小值＝f＝，此时只需>0，即可解得a<－2；

若a>0，则f（x）极大值＝f（0）＝1>0，此时函数f（x）一定存在小于零的零点，不符合题意．

综上可知，实数a的取值范围为（－∞，－2）．

12．G2[2014·新课标全国卷Ⅰ]如图13，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（　　）

图13

A．6B．6C．4D．4

12．B　[解析]该几何体是如图所示的棱长为4的正方体内的三棱锥E　CC1D1（其中E为BB1的中点），其中最长的棱为D1E＝＝6.

13．J3[2014·新课标全国卷Ⅰ]（x－y）（x＋y）8的展开式中x2y7的系数为________．（用数字填写答案）

13．－20　[解析]（x＋y）8的展开式中xy7的系数为C＝8，x2y6的系数为C＝28，故（x－y）（x＋y）8的展开式中x2y8的系数为8－28＝－20.

14．M1[2014·新课标全国卷Ⅰ]甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，

甲说：

我去过的城市比乙多，但没去过B城市；

乙说：

我没去过C城市；

丙说：

我们三人去过同一城市．

由此可判断乙去过的城市为________．

14．A　[解析]由于甲没有去过B城市，乙没有去过C城市，但三人去过同一个城市，故三人去过的城市为A城市．又由于甲最多去过两个城市，且去过的城市比乙多，故乙只能去过一个城市，这个城市为A城市．

15．F1[2014·新课标全国卷Ⅰ]已知A，B，C为圆O上的三点，若＝（＋），则与的夹角为________．

15．90°　[解析]由题易知点O为BC的中点，即BC为圆O的直径，故在△ABC中，BC对应的角A为直角，即AC与AB的夹角为90°.

16．C8[2014·新课标全国卷Ⅰ]已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2，且（2＋b）·（sinA－sinB）＝（c－b）sinC，则△ABC面积的最大值为________．

16.　[解析]根据正弦定理和a＝2可得（a＋b）（a－b）＝（c－b）c，故得b2＋c2－a2＝bc，根据余弦定理得cosA＝＝，所以A＝.根据b2＋c2－a2＝bc及基本不等式得bc≥2bc－a2，即bc≤4，所以△ABC面积的最大值为×4×＝.

17．D1、D2[2014·新课标全国卷Ⅰ]已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ为常数．

（1）证明：

an＋2－an＝λ.

（2）是否存在λ，使得{an}为等差数列？

并说明理由．

17．解：

（1）证明：

由题设，anan＋1＝λSn－1，an＋1an＋2＝λSn＋1－1，

两式相减得an＋1（an＋2－an）＝λan＋1.

因为an＋1≠0，所以an＋2－an＝λ.

（2）由题设，a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1，

由

（1）知，a3＝λ＋1.

若{an}为等差数列，则2a2＝a1＋a3，解得λ＝4，故an＋2－an＝4.

由此可得{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列，

a2n－1＝4n－3；

{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1.

所以an＝2n－1，an＋1－an＝2.

因此存在λ＝4，使得数列{an}为等差数列．

18．I2、I3[2014·新课标全国卷Ⅰ]从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如图14所示的频率分布直方图：

图14

（1）求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

（2）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2.

（i）利用该正态分布，求P（187.8

（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX.

附：

≈12.2.

若Z～N（μ，σ2），则p（μ－σ

p（μ－2σ

18．解：

（1）抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为

＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200.

s2＝（－30）2×0.02＋（－20）2×0.09＋（－10）2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.

（2）（i）由

（1）知，Z～N（200，150），从而P（187.8

（ii）由（i）知，一件产品的质量指标值位于区间（187.8，212.2）的概率为0.6826，依题意知X～B（100，0.6826），所以EX＝100×0.6826＝68.26.

19．G5、G11[2014·新课标全国卷Ⅰ]如图15，三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C.

图15

（1）证明：

AC＝AB1；

（2）若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，AB＝BC，求二面角AA1B1C1的余弦值．

19．解：

（1）证明：

连接BC1，交B1C于点O，连接AO，因为侧面BB1C1C为菱形，所以B1C⊥BC1，且O为B1C及BC1的中点．

又AB⊥B1C，所以B1C⊥平面ABO.

由于AO⊂平面ABO，故B1C⊥AO.

又B1O＝CO，故AC＝AB1.

（2）因为AC⊥AB1，且O为B1C的中点，所以AO＝CO.

又因为AB＝BC，所以△BOA≌△BOC.故OA⊥OB，从而OA，OB，OB1两两垂直．

以O为坐标原点，OB的方向为x轴正方向，|OB|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O　xyz.

因为∠CBB1＝60°，所以△CBB1为等边三角形，又AB＝BC，则A，B（1，0，0），B1，C.

＝，

＝AB＝，

1＝BC＝.

设n＝（x，y，z）是平面AA1B1的法向量，则

即

所以可取n＝（1，，）．

设m是平面A1B1C1的法向量，

则

同理可取m＝（1，－，）．

则cos〈n，m〉＝＝.

所以结合图形知二面角AA1B1C1的余弦值为.

20．H5、H8、H10[2014·新课标全国卷Ⅰ]已知点A（0，－2），椭圆E：

＋＝1（a>b>0）的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．

（1）求E的方程；

（2）设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．

20．解：

（1）设F（c，0），由条件知，＝，得c＝.

又＝，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1.

故E的方程为＋y2＝1.

（2）当l⊥x轴时不合题意，

故可设l：

y＝kx－2，P（x1，y1），Q（x2，y2）．

将y＝kx－2代入＋y2＝1得（1＋4k2）x2－16kx＋12＝0，

当Δ＝16（4k2－3）>0，即k2>时，

x1，2＝，

从而|PQ|＝|x1－x2|

＝.

又点O到直线l的距离d＝.

所以△OPQ的面积

S△OPQ＝d·|PQ|＝.

设＝t，则t>0，S△OPQ＝＝.

因为t＋≥4，当且仅当t＝2，即k＝±时等号成立，满足Δ>0，

所以，当△OPQ的面积最大时，k＝±，l的方程为y＝x－2或y＝－x－2.

21．B12、B14[2014·新课标全国卷Ⅰ]设函数f（x）＝aexlnx＋，曲线y＝f（x）在点（1，f

（1））处的切线方程为y＝e（x－1）＋2.

（1）求a，b；

（2）证明：

f（x）>1.

21．解：

（1）函数f（x）的定义域为（0，＋∞），

f′（x）＝aexlnx＋ex－ex－1＋ex－1.

由题意可得f

（1）＝2，f′

（1）＝e，故a＝1，b＝2.

（2）证明：

由

（1）知，f（x）＝exlnx＋ex－1，

从而f（x）>1等价于xlnx>xe－x－.

设函数g（x）＝xlnx，

则g′（x）＝1＋lnx，

所以当x∈时，g′（x）<0；

当x∈时，g′（x）>0.

故g（x）在上单调递减，在上单调递增，从而g（x）在（0，＋∞）上的最小值为g＝－.

设函数h（x）＝xe－x－，则h′（x）＝e－x（1－x）．

所以当x∈（0，1）时，h′（x）>0；

当x∈（1，＋∞）时，h′（x）<0.

故h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减，从而h（x）在（0，＋∞）上的最大值为h

（1）＝－.

因为gmin（x）＝g＝h

（1）＝hmax（x），

所以当x>0时，g（x）>h（x），即f（x）>1.

22．N1[2014·新课标全国卷Ⅰ]选修41：

几何证明选讲

如图16，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB＝CE.

图16

（1）证明：

∠D＝∠E；

（2）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，证明：

△ADE为等边三角形．

22．证明：

（1）由题设知A，B，C，D四点共圆，所以∠D＝∠CBE.由已知得∠CBE＝∠E，故∠D＝∠E.

（2）设BC的中点为N，连接MN，则由MB＝MC知MN⊥BC，故O在直线MN上．

又AD不是⊙O的直径，M为AD的中点，故OM⊥AD，即MN⊥AD，

所以AD∥BC，故∠A＝∠CBE.

又∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E，由

（1）知，∠D＝∠E，所以△ADE为等边三角形．

23．N3[2014·新课标全国卷Ⅰ]选修44：

坐标系与参数方程

已知曲线C：

＋＝1，直线l：

（t为参数）．

（1）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；

（2）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．

23．解：

（1）曲线C的参数方程为（θ为参数），

直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.

（2）曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）到l的距离

d＝|4cosθ＋3sinθ－6|，

则|PA|＝＝|5sin（θ＋α）－6|，

其中α为锐角，且tanα＝.

当sin（θ＋α）＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为.

当sin（θ＋α）＝1时，|PA|取得最小值，最小值为.

24．N4[2014·新课标全国卷Ⅰ]选修45：

不等式选讲

若a>0，b>0，且＋＝.

（1）求a3＋b3的最小值．

（2）是否存在a，b，使得2a＋3b＝6？

并说明理由.24.解：

（1）由＝＋≥，得ab≥2，当且仅当a＝b＝时等号成立．

故a3＋b3≥2≥4，当且仅当a＝b＝时等号成立．

所以a3＋b3的最小值为4.

（2）由

（1）知，2a＋3b≥2≥4.

由于4>6，从而不存在a，b，使2a＋3b＝6.