17 两个重要极限练习题.docx
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17两个重要极限练习题
1-7两个重要极限练习题
教学过程：
引入：
考察极限
问题1：
观察当x→0时函数的变化趋势：
x（弧度）
0.50
0.10
0.05
0.04
0.03
0.02
...
0.9585
0.9983
0.9996
0.9997
0.9998
0.9999
...
当x取正值趋近于0时，
→1，即
=1；
当x取负值趋近于0时，-x→0,-x>0,sin（-x）>0．于是
．
综上所述，得
一．
．
的特点：
（1）它是“
”型，即若形式地应用商求极限的法则，得到的结果是
；
（2）在分式中同时出现三角函数和x的幂．
推广 如果
ϕ（x）=0,（a可以是有限数x0,±∞或∞），
则
=
=1．
例1求
．
解
=
．
例2求
．
解
=
．
例3求
．
解
=
．
例4求
．
解 令arcsinx=t，则x=sint且x→0时t→0．
所以
=
．
例5求
．
解
=
=
．
考察极限
问题2：
观察当x→+∞时函数的变化趋势：
x
1
2
10
1000
10000
100000
100000
...
2
2.25
2.594
2.717
2.7181
2.7182
2.71828
...
当x取正值并无限增大时，
是逐渐增大的，但是不论x如何大，
的值总不会超过3．实际上如果继续增大x．即当x→+∞时，可以验证
是趋近于一个确定的无理数e＝2.718281828...．
当x→-∞时，函数
有类似的变化趋势，只是它是逐渐减小而趋向于e．
综上所述，得
二．
=e．
=e的特点：
（１）lim（1+无穷小）
；
（２）“无穷小”与“无穷大”的解析式互为倒数．
推广 （１）若
ϕ（x）=∞,（a可以是有限数x0,±∞或∞），则
=e；
（２）若
ϕ（x）=0,（a可以是有限数x0,±∞或∞），则
=e．
变形 令
=t，则x→∞时t→0，代入后得到
．
如果在形式上分别对底和幂求极限，得到的是不确定的结果1∞，因此通常称之为1∞不定型．
例6求
．
解 令－
=t，则x=－
．
当x→∞时t→0，
于是
=
=e–2．
例7求
．
解 令
=1+u，则x=2－
．
当x→∞时u→0，
于是
=
=
=e-1．
例8求
．
解 设t=tanx，则
＝cotx．
当x→0时t→0，
于是
=
=e．
小结：
两个重要极限在求极限过程中有着很重要的作用，特别要注意其变式。
作业：
见首页
§2-1导数的概念
教学过程：
引入：
一、两个实例
实例1瞬时速度
考察质点的自由落体运动．真空中，质点在时刻t=0到时刻t这一时间段下落的路程s由公式s=
gt2来确定．现在来求t=1秒这一时刻质点的速度．
当∆t很小时，从1秒到1+∆t秒这段时间，质点运动的速度变化不大，可以这段时间的平均速度作为质点在t=1时速度的近似．
∆t（s）
∆s（m）
（m/s）
0.1
1.029
10.29
0.01
0.09849
9.849
0.001
0.0098049
9.8049
0.0001
0.000980049
9.80049
0.00001
0.
9.800049
上表看出，平均速度
随着∆t变化而变化，当∆t越小时，
越接近于一个定值—9.8m/s．考察下列各式：
∆s=
g⋅（1+∆t）2－
g⋅12=
g[2⋅∆t+（∆t）2]，
=
g⋅
=
g（2+∆t），
思考：
当∆t越来越接近于0时，
越来越接近于1秒时的“速度”．现在取∆t→0的极限，得
g=9.8（m/s）．
为质点在
=1秒时速度为瞬时速度．
一般地，设质点的位移规律是s=f（t），在时刻t时时间有改变量∆t，s相应的改变量为∆s=f（t+∆t）-f（t），在时间段t到t+∆t的平均速度为
=
，
对平均速度取∆t→0的极限，得
v（t）=
，
称v（t）为时刻t的瞬时速。
研究类似的例子
实例2曲线的切线
设方程为y=f（x）曲线为L．其上一点A的坐标为（x0,f（x0））．在曲线上点A附近另取一点B，它的坐标是（x0+∆x,f（x0+∆x））．直线AB是曲线的割线，它的倾斜角记作β．由图中的Rt∆ACB，可知割线AB的斜率
tanβ=
．
在数量上，它表示当自变量从x变到x+∆x时函数f（x）
关于变量x的平均变化率（增长率或减小率）．
现在让点B沿着曲线L趋向于点A，此时∆x→0，
过点A的割线AB如果也能趋向于一个极限位置——
直线AT，我们就称L在点A处存在切线AT．记AT
的倾斜角为α，则α为β的极限，若α≠90︒，得切线AT
的斜率为
tanα=
tanβ=
．
在数量上，它表示函数f（x）在x处的变化率．
上述两个实例，虽然表达问题的函数形式y=f（x）和自变量x具体容不同，但本质都是要求函数y关于自变量x在某一点x处的变化率．
1.自变量x作微小变化∆x，求出函数在自变量这个段的平均变化率
=
，作为点x处变化率的近似；
2.对
求∆x→0的极限
，若它存在，这个极限即为点x处变化率的的精确值．
二、导数的定义
1.函数在一点处可导的概念
定义设函数y=f（x）在x0的某个邻域有定义．对应于自变量x在x0处有改变量∆x，函数y=f（x）相应的改变量为∆y=f（x0+∆x）-f（x0），若这两个改变量的比
当∆x→0时存在极限，我们就称函数y=f（x）在点x0处可导，并把这一极限称为函数y=f（x）在点x0处的导数（或变化率），记作
或f'（x0）或
或
．即
=f'（x0）=
（2-1）
比值
表示函数y=f（x）在x0到x0+∆x之间的平均变化率，导数
则表示了函数在点x0处的变化率，它反映了函数y=f（x）在点x0处的变化的快慢．
如果当∆x→0时
的极限不存在，我们就称函数y=f（x）在点x0处不可导或导数不存在．
在定义中，若设x=x0+∆x，则（2-1）可写成
f'（x0）=
（2-2）
根据导数的定义，求函数y=f（x）在点x0处的导数的步骤如下：
第一步求函数的改变量∆y=f（x0+∆x）-f（x0）；
第二步求比值
；
第三步求极限f'（x0）=
．
例1求y=f（x）=x2在点x=2处的导数．
解∆y=f（2+∆x）-f
（2）=（2+∆x）2-22=4∆x+（∆x）2；
=4+∆x；
=
（4+∆x）=4．
所以y'|x=2=4．
当
存在时，称其极限值为函数y=f（x）在点x0处的左导数，记作
；当
存在时，称其极限值为函数y=f（x）在点x0处的右导数，记作
．
据极限与左、右极限之间的关系
f'（x0）⇔存在
，且
=
=f'（x0）．
2.导函数的概念
如果函数y=f（x）在开区间（a,b）每一点处都可导，就称函数y=f（x）在开区间（a,b）可导．这时，对开区间（a,b）每一个确定的值x0都有对应着一个确定的导数f'（x0），这样就在开区间（a,b），构成一个新的函数，我们把这一新的函数称为f（x）的导函数，记作等f'（x）或y'等．
根据导数定义，就可得出导函数
f'（x）=y'=
（2-3）
导函数也简称为导数．
注意 （１）f'（x）是x的函数，而f'（x0）是一个数值
（２）f（x）在点处的导数f'（x0）就是导函数f'（x）在点x0处的函数值．
例2求y=C（C为常数）的导数．
解 因为∆y=C-C=0，
=0，所以y'=
=0．
即（C）'=0常数的导数恒等于零）．
例3求y=xn（n∈N,x∈R）的导数．
解因为∆y=（x+∆x）n-xn=nxn-1∆x+
xn-2（∆x）2+...+（∆x）n，
=nxn-1+
xn-2⋅∆x+...+（∆x）n-1，
从而有y'=
=
[nxn-1+
xn-2⋅∆x+...+（∆x）n-1]=nxn-1．
即（xn）'=nxn-1．
可以证明，一般的幂函数y=xα,（α∈R,x>0）的导数为
（xα）'=αxα-1．
例如 （
）'=（
）'=
；（
）'=（x-1）'=-x-2=-
．
例4求y=sinx,（x∈R）的导数．
解
=
，在§1-7中已经求得
=cosx，
即（sinx）'=cosx．
用类似的方法可以求得y=cosx,（x∈R）的导数为
（cosx）'=-sinx．
例5求y=logax的导数（a>0,a≠1,x>0）．
解 对a=e、y=lnx的情况，在§1-7中已经求得为
（lnx）'=
．
对一般的a，只要先用换底公式得y=logax=
，以下与§1-7完全相同推导，可得
（logax）'=
．
三、导数的几何意义
方程为y=f（x）的曲线，在点A（x0,f（x0））处存在非垂直切线AT的充分必要条件是f（x）在x0存在导数f'（x0），且AT的斜率k=f'（x0）．
导数的几何意义——函数y=f（x）在x0处的导数f'（x0），是函数图象在点（x0,f（x0））处切线的斜率，另一方面也可立即得到切线的方程为
y-f（x0）=f'（x0）（x-x0） （2-4）
过切点A（x0,f（x0））且垂直于切线的直线，称为曲线y=f（x）在点A（x0,f（x0））处的法线，则当切线非水平（即f'（x0）≠0）时的法线方程为
y-f（x0）=-
（x-x0）（2-5）
例6求曲线y=sinx在点（
）处的切线和法线方程．
解 （sinx）'
=cosx
=
．
所求的切线和法线方程为 y－
=
（x－
），
法线方程 y－
=－
（x－
）．
例7求曲线y=lnx平行于直线y=2x的切线方程．
解 设切点为A（x0,y0），则曲线在点A处的切线的斜率为y'（x0），
y'（x0）=（lnx）'
=
，
因为切线平行于直线y=2x，，所以
=2，即x0=
；又切点位于曲线上，因而y0=ln
=-ln2．
故所求的切线方程为
y+ln2=2（x-
），即y=2x-1-ln2．
四、可导和连续的关系
如果函数y=f（x）在点x0处可导，则存在极限
=f'（x0），则
=f'（x0）+α（
α=0），或∆y=f'（x0）∆x+α⋅∆x（
α=0），
所以
∆y=
[f'（x0）∆x+α⋅∆x]=0．
这表明函数y=f（x）在点x0处连续．
但y=f（x）在点x0处连续，在x0处不一定是可导的．
例如：
（１）y=|x|在x=0处都连续但却不可导．
（２）y=
在x=0处都连续但却不可导．注意在点（0,0）处还存在切线，只是切线是垂直的．
学生思考：
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