第十三讲估计与估算.docx
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第十三讲估计与估算
第十三讲估计与估算
1992年小学数学奥林匹克初赛（B）卷第3题是：
1919191919
（1+—+—X2）+（]+—X3）+—X10）+（!
+—XII）
的结果是X。
那么，与x最接近的整数是。
这道题并不要求求X,而求“与X最接近的整数”，这就是估计或估算。
估计与估算是一种十分重要的算法，在生活实践和数学解题中有广泛的应用，其表现形式通常有以下两种：
（1）省略尾数取近似值，即观其“大概”；
（2）用放大或缩小的方法来确定某个数或整个算式的取值范围，即估计范围。
例1A=1234567891011121®31211101987654321,求A的小数点后前3位数字。
解：
A>1234-3122=0.3952,
Av1235+3121=0.3957,
所以0.3952vAv0.3957,A的小数点后前3位数是395
说明：
上述解法是采用放缩法估计范围解答的，本题还可
采用取近似值的办法求解。
解法如下：
将被除数、除数同时舍去13位，各保留4位，则有
1234-3121〜0.3953〜0.395。
例2在1,1需拾中选岀若干个数.使
2jyyiuu
得它们的和大于3,至少要选多少个数？
解：
要使所选的数尽量少，所选用的数就应尽量大，所以
应从开头依次选。
首先注意到：
11111
1+—+1-—H
23456
11
=2+—+-
45
=2.45<3,
_11[”]
ffn-=0.142---t-=0.125,—=0,1t—=0lt所以
/oy1u
+命二0.478*",
从而
=2+
269
280
332
111111111
1+—+—+—I-一+_十一+—+_+._.
2345678910
=2.928-"<3,
_-1■■_
而—=0.09,则有
11111111111+—+-+—+—+—+-+—+—+—
234567391011
=301*">3.
所以，至少应选11个数。
说明：
（1）上述解答是采用取近似值的办法估值的，也可
以利用放缩法估值解答。
解法如下：
3X35+3X28+2X40
230
^1111111111
[TT114-—+—+—+—+—+—十_+_+-—
234567891011
1111111111
V1+（—+—+―]■+f—+-—\+f—+'ll+!
—+f—+——J
‘236」‘4"S891?
…,X320
=1+1+（—4一）+——+—
9H1099
4320
2—+"-+—
81099
1320
vz卡一+—+
210100
=3,
所以，至少应选11个数。
（2）以上解答过程中包括两个方面，其一是确定选数的原则；其二是验算找到“分界声、”，而这里的验算只是一种估计或估算，并不要求精确。
（3）类似的问题是
有10个小数：
0.3,0.33,0.333,0.3?
-3,从这些数中，
：
「'至少取
出多少个数，才能使取出的数的和大于2？
答案是乙请读者自己练习。
例3右面的算式里，每个方框代表一个数字。
问：
这6个方框中的数字的总和是多少？
□1
1II1
+111
1|[1
1997
解：
每个方框中的数字只能是0〜9,因此任两个方框中的数字之和最多是18。
现在先看看被加数与加数中处于百位的两个数字之和，这个和不可能小于18,因为不管它们后面的两个二位数是什么，相加后必小于200,也就是说最多只能进1。
这样便可断定，处于百位的两个数字之和是18,而且后面两位数相加进1。
同样理由，处于十位的两个数字之和也是18,而且两个个位数字相加后进1。
因此，处于个位的两个数字之和必是17。
所以，6个方框中数字之和为18+18+17=53。
例4如果两个四位数的差等于8921,就说这两个四位数组成一个数对，那么这样的数对共有多少个，
解：
最小的四位数是1000,与1000组成一个数对的另一个四位数是8921+1000=9921,也就是最小一个数对是9921与1000。
同时由最大的四位数是9999,可知共有
9999-（9921—1）=79（个）
不同的被减数。
所以，这样的数对共有79个。
说明：
解答的关键在于确定符合条件的的最小数对（9921,
1000）,同时因为有几个不同的被减数，就有几个不同的减数相对应地存在，所以我们只要考虑有几个不同的被减数即可。
例5七位数175口62□的未位数字是几时，不管千位上是
0〜9中的哪一个数字，这个七位数都不是11的倍数？
解：
因为1750620-11=159147,,3,
1759629-11=159966,,3,
所以这个七位数是11的倍数的最小值是1750628,最大值
是1759626c
又因为1001=7X11X13，由数的整除性质，可知1750628
加上若干个1001,或1759626减去若干个1001后，其值也是1
1的倍数。
这样1750628,1751629,1759626,1758625,1757624,1756623,1755622,1754621,1753620都是11的倍数。
由上述讨论可知七位数175口62□的末位数字是7时，不管其千位上是0到9中的哪一个数字，这个七位数都不是11的倍数。
说明：
上述解法是利用估算确定出取值范围再进行讨论。
此题也可由能被11整除的数的特征入手解决。
留给读者思考。
例6小明的两个衣服口袋中各有13张卡片，每张卡片上
分别写着1,2,3,,,13。
从这两个口袋中各拿出1张卡片并计算2张卡片上的数的乘积，可以得到许多不相等的乘积。
那么，其中能被6整除的乘积共有多少个？
解：
根据题意可知，在所得到的许多不相等的乘积中，最小值是1X仁1,最大值是13X13=169,并且1与169都不能被6整除，这样，在得到的许多不相等的积中，能被6整除的最小值是1X6=6,最大值是13X12=26X6,而介于1X6与26X6之间的能被6整除的数并非每个都是2张卡片上的数的积，如25X6，23X6，21X6，19X6，17X6这五个就不是。
所以，这些积中能被6整除的数共有
26-5=21（个）。
说明：
解答这类问题要特别注意：
不能简单地根据最小值
是6的1倍，最大值是6的26倍，就错误地下结论是26个
例7有?
0个数土1.64；1.&4+—><64+64+乔
。
如果取每个数的整数部分（例如1.64的整数部分是1,
1.64+4；的整数部分是R,并将这些整数相加，那么其和是多少？
解：
关键是判断从哪个数开始整数部分是2。
因为2-1.64=0.36，我们
熟知f二雪二。
弓3…，故先看学，¥=0366…，这说明"分界点"是
53UJU3U
164十牛所以前11个数整数部分为h后19个数整数部分为2。
其和为
11+19X2=49。
例8有一列数，第一个数是105,第二个数是85,从第三个数开始，每个数都是它前面两个数的平均数，那么第19个数的整数部分是几？
91875,9125与91.刃5的整数部分相同.而两个数的平均数
总介于这两个数之间，所以后面各数的整数部分均为91，当然
第19个数的整数部分也为91
说明：
注意到每个正数都介于两个相邻整数n和n+1之间,或者写成nWavn+1,此时n就是a的整数部分。
因此确定某个正数的整数部分，实际上就是去估计它介于哪两个相邻自然数之间。
解：
根据“一个分数，当分子不变而分母变大时，分数值变小；当分子不变，分母变小时，分数值变大”对S的分母进行放缩。
—+—+■■■+1QX—=—*
91921.00909
所以|9W
说明2这道题如果直接去计算占+占+…+黑，再求它的倒数.十不
但非常麻烦，而且容易出错。
为了求得一个数大概是多少，我们采用放缩法，以确定它的范围，也就是估值。
放缩是解答估值问题的一种常用方法。
在用这种方法时，一定要注意放缩要适当，要合情合理。
一个类似的问题是
设并—i一\，求s的整数Wc
380+381+382++399
答案是19。
例10学校组织若干人参加夏令营。
先乘车，每个人都要有座位，这样需要每辆有60个座位的汽车至少4辆。
而后乘船，需要定员为70人的船至少3条。
到达营地后分组活动，分的组数跟每组的人数恰好相等。
这个学校参加夏令营的人有多少？
解：
由“每辆有60个座位的汽车至少4辆”可知，参加夏令营的人数在（60X3+仁）181〜（60X4=）240人之间。
由“需要定员为70人的船至少3条”可知，参加夏令营人数在（70X2+仁）141〜（70X3=）210人之间。
这样，参加夏令营的人数在181〜210人之间。
又由“分的组数和每组人数恰好相等”可知，参加夏令营的人数一定是一个平方数。
而181〜210之间只有196是平方数，所以参加夏令营的人数是196。
说明：
解答此题的关键是估计人数的范围：
从乘车来看，1W第四辆车人数w60,
从乘船来看，1w第三条船人数w70,
所以，18K夏令营的人数w210。
例11将自然数按如下顺序排列：
I2671516,
3581417,
4913,
1012,
II,
在这样的排列下，数字3排在第2行第1列，数字13排在第3行第3列。
问：
数字168排在第几行第几列？
分析：
我们来分析一下给出数阵中每一斜行的规律。
这里
第2斜行的数字是3，2;第3斜行的数字是4,5，6;余此类推。
仔细观察后我们发现：
奇数斜行中的数字由下向上递增，
偶数斜行中的数字由上向下递增，
第谓行中最犬的数字是Sn=|n（n+1）c
我们只要找出168位于第几斜行，再换算成原数阵中的第
几行第几列，问题便解决了。
解法1：
经试算，第V7斜行中最大的数字是1x17X18=153,第
21
8斜行最大的数字是171,所以168位于第18斜行。
第18斜行中的数字是由上向下递增，因此，168位于第18斜行由上向下数第（168-153=）15位，换算成原数阵的行和列，便是第15
行，第（18-15+1=）4列。
解法2:
为方便起见，可将数阵按顺时针方向旋转45
则原数阵变为
1
32
456
10987
1112131415
设168位于上述数阵的第n行，则
1+2+,+（n—1）v168W1+2+,+n,
22
柿z^18X1718X19
当口=18时，有一-—=153,—-—=17L
可见，n应为18,即168位于上述数阵中的第18行。
又168-153=15，18-15+仁4，由数阵排列次序可知168位于上述数阵的第18行从左数第4个数，从右数第15个数。
将上述数阵还原为题中数阵，168在第15行第4列的位置上。
例12唐老鸭与米老鼠进行万米赛跑，米老鼠每分钟跑125米，唐老鸭每分钟跑100米。
唐老鸭手中掌握着一种迫使米
老鼠倒退的电子遥控器，通过这种遥控器发出第n次指令，米
老鼠就以原来速度的nx10%倒退一分钟，然后再按原来的速度继续前进。
如果唐老鸭想在比赛中获胜，那么它通过遥控器发出指令的次数至少是多少次？
解：
唐老鸭跑完1万米需要100分钟。
设唐老鸭在100分钟内共发出n次迫使米老鼠倒退的指令，则在100分钟内米老鼠有n分钟的时间在倒退，有（100-n）分钟的时间在前进，依题意有
125x（100-n）-125x（0.1+0.1x2+0.1x3+,+0.1xn）
v10000,整理得n（n+21）>400。
当n=12时，n+21=33,12x33=396v400。
当n=13时，n+21=34,12x34=442>400。
所以n至少等于13,即遥控器发出指令的次数至少是13
次。
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