第十三讲估计与估算.docx
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第十三讲估计与估算
第十三讲估计与估算
1992年小学数学奥林匹克初赛(B)卷第3题是:
1919191919
(1+—+—X2)+(]+—X3)+—X10)+(!
+—XII)
的结果是X。
那么,与x最接近的整数是。
这道题并不要求求X,而求“与X最接近的整数”,这就是估计或估算。
估计与估算是一种十分重要的算法,在生活实践和数学解题中有广泛的应用,其表现形式通常有以下两种:
(1)省略尾数取近似值,即观其“大概”;
(2)用放大或缩小的方法来确定某个数或整个算式的取值范围,即估计范围。
例1A=1234567891011121®31211101987654321,求A的小数点后前3位数字。
解:
A>1234-3122=0.3952,
Av1235+3121=0.3957,
所以0.3952vAv0.3957,A的小数点后前3位数是395
说明:
上述解法是采用放缩法估计范围解答的,本题还可
采用取近似值的办法求解。
解法如下:
将被除数、除数同时舍去13位,各保留4位,则有
1234-3121〜0.3953〜0.395。
例2在1,1需拾中选岀若干个数.使
2jyyiuu
得它们的和大于3,至少要选多少个数?
解:
要使所选的数尽量少,所选用的数就应尽量大,所以
应从开头依次选。
首先注意到:
11111
1+—+1-—H
23456
11
=2+—+-
45
=2.45<3,
_11[”]
ffn-=0.142---t-=0.125,—=0,1t—=0lt所以
/oy1u
+命二0.478*",
从而
=2+
269
280
332
111111111
1+—+—+—I-一+_十一+—+_+._.
2345678910
=2.928-"<3,
_-1■■_
而—=0.09,则有
11111111111+—+-+—+—+—+-+—+—+—
234567391011
=301*">3.
所以,至少应选11个数。
说明:
(1)上述解答是采用取近似值的办法估值的,也可
以利用放缩法估值解答。
解法如下:
3X35+3X28+2X40
230
^1111111111
[TT114-—+—+—+—+—+—十_+_+-—
234567891011
1111111111
V1+(—+—+―]■+f—+-—\+f—+'ll+!
—+f—+——J
‘236」‘4"S891?
…,X320
=1+1+(—4一)+——+—
9H1099
4320
2—+"-+—
81099
1320
vz卡一+—+
210100
=3,
所以,至少应选11个数。
(2)以上解答过程中包括两个方面,其一是确定选数的原则;其二是验算找到“分界声、”,而这里的验算只是一种估计或估算,并不要求精确。
(3)类似的问题是
有10个小数:
0.3,0.33,0.333,0.3?
-3,从这些数中,
:
「'至少取
出多少个数,才能使取出的数的和大于2?
答案是乙请读者自己练习。
例3右面的算式里,每个方框代表一个数字。
问:
这6个方框中的数字的总和是多少?
□1
1II1
+111
1|[1
1997
解:
每个方框中的数字只能是0〜9,因此任两个方框中的数字之和最多是18。
现在先看看被加数与加数中处于百位的两个数字之和,这个和不可能小于18,因为不管它们后面的两个二位数是什么,相加后必小于200,也就是说最多只能进1。
这样便可断定,处于百位的两个数字之和是18,而且后面两位数相加进1。
同样理由,处于十位的两个数字之和也是18,而且两个个位数字相加后进1。
因此,处于个位的两个数字之和必是17。
所以,6个方框中数字之和为18+18+17=53。
例4如果两个四位数的差等于8921,就说这两个四位数组成一个数对,那么这样的数对共有多少个,
解:
最小的四位数是1000,与1000组成一个数对的另一个四位数是8921+1000=9921,也就是最小一个数对是9921与1000。
同时由最大的四位数是9999,可知共有
9999-(9921—1)=79(个)
不同的被减数。
所以,这样的数对共有79个。
说明:
解答的关键在于确定符合条件的的最小数对(9921,
1000),同时因为有几个不同的被减数,就有几个不同的减数相对应地存在,所以我们只要考虑有几个不同的被减数即可。
例5七位数175口62□的未位数字是几时,不管千位上是
0〜9中的哪一个数字,这个七位数都不是11的倍数?
解:
因为1750620-11=159147,,3,
1759629-11=159966,,3,
所以这个七位数是11的倍数的最小值是1750628,最大值
是1759626c
又因为1001=7X11X13,由数的整除性质,可知1750628
加上若干个1001,或1759626减去若干个1001后,其值也是1
1的倍数。
这样1750628,1751629,1759626,1758625,1757624,1756623,1755622,1754621,1753620都是11的倍数。
由上述讨论可知七位数175口62□的末位数字是7时,不管其千位上是0到9中的哪一个数字,这个七位数都不是11的倍数。
说明:
上述解法是利用估算确定出取值范围再进行讨论。
此题也可由能被11整除的数的特征入手解决。
留给读者思考。
例6小明的两个衣服口袋中各有13张卡片,每张卡片上
分别写着1,2,3,,,13。
从这两个口袋中各拿出1张卡片并计算2张卡片上的数的乘积,可以得到许多不相等的乘积。
那么,其中能被6整除的乘积共有多少个?
解:
根据题意可知,在所得到的许多不相等的乘积中,最小值是1X仁1,最大值是13X13=169,并且1与169都不能被6整除,这样,在得到的许多不相等的积中,能被6整除的最小值是1X6=6,最大值是13X12=26X6,而介于1X6与26X6之间的能被6整除的数并非每个都是2张卡片上的数的积,如25X6,23X6,21X6,19X6,17X6这五个就不是。
所以,这些积中能被6整除的数共有
26-5=21(个)。
说明:
解答这类问题要特别注意:
不能简单地根据最小值
是6的1倍,最大值是6的26倍,就错误地下结论是26个
例7有?
0个数土1.64;1.&4+—><64+64+乔
。
如果取每个数的整数部分(例如1.64的整数部分是1,
1.64+4;的整数部分是R,并将这些整数相加,那么其和是多少?
解:
关键是判断从哪个数开始整数部分是2。
因为2-1.64=0.36,我们
熟知f二雪二。
弓3…,故先看学,¥=0366…,这说明"分界点"是
53UJU3U
164十牛所以前11个数整数部分为h后19个数整数部分为2。
其和为
11+19X2=49。
例8有一列数,第一个数是105,第二个数是85,从第三个数开始,每个数都是它前面两个数的平均数,那么第19个数的整数部分是几?
91875,9125与91.刃5的整数部分相同.而两个数的平均数
总介于这两个数之间,所以后面各数的整数部分均为91,当然
第19个数的整数部分也为91
说明:
注意到每个正数都介于两个相邻整数n和n+1之间,或者写成nWavn+1,此时n就是a的整数部分。
因此确定某个正数的整数部分,实际上就是去估计它介于哪两个相邻自然数之间。
解:
根据“一个分数,当分子不变而分母变大时,分数值变小;当分子不变,分母变小时,分数值变大”对S的分母进行放缩。
—+—+■■■+1QX—=—*
91921.00909
所以|
9W
说明2这道题如果直接去计算占+占+…+黑,再求它的倒数.十不
但非常麻烦,而且容易出错。
为了求得一个数大概是多少,我们采用放缩法,以确定它的范围,也就是估值。
放缩是解答估值问题的一种常用方法。
在用这种方法时,一定要注意放缩要适当,要合情合理。
一个类似的问题是
设并—i一\,求s的整数Wc
380+381+382++399
答案是19。
例10学校组织若干人参加夏令营。
先乘车,每个人都要有座位,这样需要每辆有60个座位的汽车至少4辆。
而后乘船,需要定员为70人的船至少3条。
到达营地后分组活动,分的组数跟每组的人数恰好相等。
这个学校参加夏令营的人有多少?
解:
由“每辆有60个座位的汽车至少4辆”可知,参加夏令营的人数在(60X3+仁)181〜(60X4=)240人之间。
由“需要定员为70人的船至少3条”可知,参加夏令营人数在(70X2+仁)141〜(70X3=)210人之间。
这样,参加夏令营的人数在181〜210人之间。
又由“分的组数和每组人数恰好相等”可知,参加夏令营的人数一定是一个平方数。
而181〜210之间只有196是平方数,所以参加夏令营的人数是196。
说明:
解答此题的关键是估计人数的范围:
从乘车来看,1W第四辆车人数w60,
从乘船来看,1w第三条船人数w70,
所以,18K夏令营的人数w210。
例11将自然数按如下顺序排列:
I2671516,
3581417,
4913,
1012,
II,
在这样的排列下,数字3排在第2行第1列,数字13排在第3行第3列。
问:
数字168排在第几行第几列?
分析:
我们来分析一下给出数阵中每一斜行的规律。
这里
第2斜行的数字是3,2;第3斜行的数字是4,5,6;余此类推。
仔细观察后我们发现:
奇数斜行中的数字由下向上递增,
偶数斜行中的数字由上向下递增,
第谓行中最犬的数字是Sn=|n(n+1)c
我们只要找出168位于第几斜行,再换算成原数阵中的第
几行第几列,问题便解决了。
解法1:
经试算,第V7斜行中最大的数字是1x17X18=153,第
21
8斜行最大的数字是171,所以168位于第18斜行。
第18斜行中的数字是由上向下递增,因此,168位于第18斜行由上向下数第(168-153=)15位,换算成原数阵的行和列,便是第15
行,第(18-15+1=)4列。
解法2:
为方便起见,可将数阵按顺时针方向旋转45
则原数阵变为
1
32
456
10987
1112131415
设168位于上述数阵的第n行,则
1+2+,+(n—1)v168W1+2+,+n,
22
柿z^18X1718X19
当口=18时,有一-—=153,—-—=17L
可见,n应为18,即168位于上述数阵中的第18行。
又168-153=15,18-15+仁4,由数阵排列次序可知168位于上述数阵的第18行从左数第4个数,从右数第15个数。
将上述数阵还原为题中数阵,168在第15行第4列的位置上。
例12唐老鸭与米老鼠进行万米赛跑,米老鼠每分钟跑125米,唐老鸭每分钟跑100米。
唐老鸭手中掌握着一种迫使米
老鼠倒退的电子遥控器,通过这种遥控器发出第n次指令,米
老鼠就以原来速度的nx10%倒退一分钟,然后再按原来的速度继续前进。
如果唐老鸭想在比赛中获胜,那么它通过遥控器发出指令的次数至少是多少次?
解:
唐老鸭跑完1万米需要100分钟。
设唐老鸭在100分钟内共发出n次迫使米老鼠倒退的指令,则在100分钟内米老鼠有n分钟的时间在倒退,有(100-n)分钟的时间在前进,依题意有
125x(100-n)-125x(0.1+0.1x2+0.1x3+,+0.1xn)
v10000,整理得n(n+21)>400。
当n=12时,n+21=33,12x33=396v400。
当n=13时,n+21=34,12x34=442>400。
所以n至少等于13,即遥控器发出指令的次数至少是13
次。