不等式的性质教案.docx

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不等式的性质教案

不等式的性质教案

教学设计

3．1.2不等式的性质

整体设计

教学分析

本节将在初中学习的不等式的三条基本性质的基础上，系统归纳整理不等式的其他性质，这是进一步学习不等式的基础．要求学生掌握不等式的基本性质与推论，并能用这些基本性质证明简单不等式，进而更深层地从理性角度建立不等观念．对不等式的基本性质，教师应指导学生用数学的观点与等式的基本性质作类比、归纳逻辑分析，并鼓励学生从理性角度去分析量与量之间的比较过程．

基本性质2、3、4在初中是由实例验证，在高中里要进行逻辑证明．教学中教师一定要认识到对学生进行逻辑训练的必要性，注意启发学生要求证明的欲望．

在中学数学中，不等式的地位不仅特殊，而且重要，它与中学数学几乎所有章节都有联系，因此，不等式才自然而然地成为高考中经久不衰的热点、重点，有时也是难点．为此，在进行本节教学时，教材中基本性质的推论可由学生自己证明，课后的练习A、B要求学生全做．

三维目标

1．通过对初中三条基本性质的回忆，以及上节学习的知识，证明不等式的基本性质和推论．

2．在了解不等式的基本性质的基础上，利用它们来证明一些简单的不等式．

3．通过本节的学习，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度．体会数学的结构美和系统美，激发学生学习数学更大的热情．

重点难点

教学重点：

理解并证明不等式的基本性质与推论，并能用基本性质证明一些简单的不等式．

教学难点：

不等式基本性质的灵活应用．

课时安排

1课时

教学过程

导入新课

思路1.（复习导入）让学生回忆并叙述初中所学的不等式的三条基本性质，即不等式的两边都加上（或减去）同一个数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．让学生根据上一节的学习将上面的文字语言用不等式表示出来，并进一步探究，由此而展开新课．

思路2.（类比导入）等式具有许多性质，其中有：

在等式的两边都加上，或都减去，或都乘以，或都除以（除数不为零）同一个数，所得的仍是等式．我们自然会联想到，不等式是否也会有此同样的性质呢？

学生会进一步探究验证这个联想，由此而展开新课．

推进新课

新知探究

提出问题

1怎样比较两个实数或代数式的大小？

2初中都学过不等式的哪些基本性质？

你能给出证明吗？

3不等式有哪些基本性质和推论？

这些性质有哪些作用？

活动：

教师引导学生一起回忆等式的性质：

等式的两边都加上，或都减去，或都乘以，或都除以（除数不为零）同一个数，所得到的仍是等式．利用这些性质，我们可以对等式进行化简、变形或证明．那么不等式会不会也有类似的性质呢？

也就是说，如果在不等式的两边都加上，或都减去，或都乘以，或都除以（除数不为零）同一个数，结果会不会不变呢？

为此教师引导学生回忆上节课学过的实数的基本性质（或用多媒体展示），即a－b＞0a＞b；a－b＜0a＜b；a－b＝0a＝b.

根据实数的基本性质，要比较两个实数的大小，可以考察这两个实数的差．这是我们研究不等关系的一个出发点．

从实数的基本性质，我们可以证明下列常用的不等式性质：

性质1，如果a＞b，那么b＜a；如果b＜a，那么a＞b，即a＞bb＜a.这种性质称为不等式的对称性．

性质2，如果a＞b，b＞c，那么a＞c，即a＞b，b＞ca＞c.这种性质称为不等式的传递性．

性质3，如果a＞b，那么a＋c＞b＋c，

即不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向．

由此得到推论1，不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边．这个推论称为不等式的移项法则．

推论2，如果a＞b，c＞d，则a＋c＞b＋d.

这类不等号方向相同的不等式，叫做同向不等式，同向不等式可以相加，这个推论可以推广为更一般的结论．

性质4，如果a＞b，c＞0，则ac＞bc；如果a＞b，c＜0，则ac＜bc.

推论1，如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd.

推论2，如果a＞b＞0，那么an＞bn（n∈N＋，n＞1）．

推论3，如果a＞b＞0，那么na＞nb（n∈N＋，n＞1）．

以上这些不等式的性质是解决不等式问题的基本依据．其中性质1是不等式的对称性；性质2是不等式的传递性；性质3表明不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向，由此可得不等式中任何一项可以改变符号后移到不等号的另一边；性质4表明，不等式两边允许用非零数（或式）去乘，相乘后的不等式的方向取决于乘式的符号，这点与等式的性质不同；性质4的推论1说明两边都是正数的同向不等式可以相乘；性质4的推论2说明两边都是正数的不等式可以乘方；性质4的推论3说明两边都是正数的不等式可以开方．

对以上性质的逻辑证明，教师可与学生一起完成.5个推论可由学生自己完成，教师给予适当点拨．这是训练学生逻辑推理能力的极佳机会，不可错过．

讨论结果：

（1）

（2）略．

（3）4条性质，5个推论．

应用示例

例1（教材本节例题）

活动：

本节教材上共安排了这一个例题，含3个小题，都是不等式性质的简单应用，教师不可忽视本例的训练，过高估计了学生逻辑推理的书写能力．实践证明，学生往往推理不严密．教学时应指导学生根据不等式的性质的条件和结论，强调推理要有理有据，严谨细致，条理清晰．

点评：

应用不等式性质对已知不等式进行变形，从而得出要证的不等式，是证明不等式的常用方法之一.

变式训练

已知a＞b＞0，c＜0，求证：

ca＞cb.

证明：

∵a＞b＞0，∴ab＞0，1ab＞0.

于是a•1ab＞b•1ab，即1b＞1a.

由c＜0，得ca＞cb.

例2已知－π2≤α＜β≤π2，求α＋β2，α－β2的取值范围．

活动：

教师引导学生回忆本题的背景，这类问题是学习三角函数内容时经常遇到的，由于当时所学知识所限，往往容易出错．这里我们在已知的基础上，运用不等式的基本性质得出所要得到的结果．

解：

∵－π2≤α＜β≤π2，

∴－π4≤α2＜π4，－π4＜β2≤π4.

上面两式相加，得－π2＜α＋β2＜π2.

∵－π4＜β2≤π4，

∴－π4≤－β2＜π4.

∴－π2≤α－β2＜π2.

又知α＜β，∴α－β2＜0.

故－π2≤α－β2＜0.

点评：

在三角函数化简求值中，角的范围的确定往往成为正确解题的关键.

变式训练

已知函数f（x）＝x＋x3，x1，x2，x3∈R，x1＋x2＜0，x2＋x3＜0，x3＋x1＜0，那么f（x1）＋f（x2）＋f（x3）的值（）

A．一定大于0B．一定小于0

C．等于0D．正负都有可能

答案：

B

解析：

由题意知f（x）是奇函数，且在R上为单调增函数，

所以f（－x2）＝－f（x2），f（－x3）＝－f（x3），f（－x1）＝－f（x1），

且x1＜－x2，x2＜－x3，x3＜－x1.

所以f（x1）＜－f（x2），f（x2）＜－f（x3），f（x3）＜－f（x1）．

由不等式的性质3推论2知

f（x1）＋f（x2）＋f（x3）＜－f（x1）－f（x2）－f（x3）．

因此，f（x1）＋f（x2）＋f（x3）＜0.

3已知a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：

ea－c＞eb－d.

活动：

教师引导学生观察结论，由于e＜0，因此即证1a－c＜1b－d，引导学生作差，利用本节所学的不等式基本性质．

证明：

c＜d＜0－c>－d>0a>b>0a－c＞b－d＞01a－c点评：

本例是灵活运用不等式的性质．证明时一定要推理有据，思路条理清晰.

变式训练

若1a＜1b＜0，则下列不等式：

①a＋b＜ab；②|a|＞|b|；③a＜b中，正确的不等式有（）

A．0个B．1个C．2个D．3个

答案：

B

解析：

由1a＜1b＜0得b＜a＜0，ab＞0，则①正确，②错误，③错误.

知能训练

1．若a、b、c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是（）

A.1a＜1bB．a2＞b2

C.ac2＋1＞bc2＋1D．a|c|＞b|c|

2．若a＞b＞0，则下列不等式中总成立的是（）

A.ba＞b＋1a＋1B．a＋1a＞b＋1b

C．a＋1b＞b＋1aD.2a＋ba＋2b＞ab

3．有以下四个条件：

①b＞0＞a；②0＞a＞b；③a＞0＞b；④a＞b＞0.

其中能使1a＜1b成立的有__________个条件．

答案：

1．C解法一：

∵a＞b，c2＋1＞0，∴ac2＋1＞bc2＋1.

解法二：

令a＝1，b＝－2，c＝0，代入A、B、C、D中，可知A、B、D均错．

2．C解法一：

由a＞b＞00＜1a＜1ba＋1b＞b＋1a.

解法二：

令a＝2，b＝1，排除A、D，再令a＝12，b＝13，排除B.

3．3解析：

①∵b＞0，∴1b＞0.∵a＜0，∴1a＜0.∴1a＜1b.

②∵b＜a＜0，∴1b＞1a.

③∵a＞0＞b，∴1a＞0，1b＜0.∴1a＞1b.

④∵a＞b＞0，∴1a＜1b.

课堂小结

1．教师与学生共同完成本节的小结．从实数的基本性质与三条基本性质的回顾，到所有性质的推得，推论的证明，以及例题的探究、变式训练等．真正温故知新，将本节课所学内容纳入已有的知识体系．

2．教师进一步强调代数逻辑推理的方法要领，指出利用不等式的性质时容易忽略的地方，以及证明不等式时需要注意的问题．

作业

习题3—1A组4、5；习题3—1B组4.

设计感想

1．本节设计更加关注学生的发展．通过具体问题的解决，让学生去感受、体验，并从理性的角度去思考，鼓励学生用数学观点进行类比、归纳、抽象，培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维习惯．

2．本节设计注重学生的探究活动．学生在学习过程中，通过对问题的探究思考、体验认识、广泛参与，培养学生严谨的思维习惯和积极主动的学习品质，从而提高学习质量．

3．本节设计注重了学生个性品质的发展．通过对富有挑战性问题的解决，激发学生顽强的探索精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘与数学的结构美、数学推理的严谨美，从而激发学生强烈的探究兴趣．

备课资料

备用习题

1．如果a、b、c、d是任意实数，则（）

A．a＞b，c＝dac＞bdB.ac＞bca＞b

C．a3＞b3，ab＞01a＜1bD．a2＞b2，ab＞01a＜1b

2．已知a＋b＞0，b＜0，那么a，b，－a，－b的大小关系是（）

A．a＞b＞－b＞－aB．a＞－b＞－a＞b

C．a＞－b＞b＞－aD．a＞b＞－a＞－b

3．已知－1＜a＜b＜0，则下面不等式中正确的是（）

A.1a＜1b＜b2＜a2B.1a＜1b＜a2＜b2

C.1b＜1a＜a2＜b2D.1b＜1a＜b2＜a2

4．设a、b∈R，若a－|b|＞0，则下列不等式中正确的是（）

A．b－a＞0B．a3＋b3＜0

C．a2－b2＜0D．b＋a＞0

5．若α、β满足－π2＜α＜β＜π2，则α－β的取值范围是（）

A．－π＜α－β＜πB．－π＜α－β＜0

C．－π2＜α－β＜π2D．－π2＜α－β＜0

6．已知60＜x＜84,28＜y＜33，则x－y的取值范围为__________，xy的取值范围为__________．

7．已知a＜b，c＞d，求证：

c－a＞d－b.

8．已知x＞y＞z＞0，求证：

yx－y＞zx－z.

参考答案：

1．CA项中，当c、d为负数时，ac＜bd，A错；B项中，当c为负数时，a＜b，B错；C项中，a3＞b3，得出a＞b，又由ab＞0可得1a＜1b，C项正确；D项中，若a、b均为负数时，由a2＞b2得出a＜b，由ab＞0得出1a＞1b，D错．

2．C由a＋b＞0，b＜0可知a＞0，b＜0，故a，－b为正，－a，b为负，又由a＋b＞0知a＞－b，b＞－a，所以a＞－b＞b＞－a.

3．D由－1＜a＜b＜0知ab＞0，所以1b＜1a＜0，a2＞b2＞0，故1b＜