考研数一真题及解析资料.docx
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考研数一真题及解析资料
2003
2003年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
一、填空题：
本题共
6小题，每小题
4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.
1
（1）
lim（cosx）ln（1
x2）
x0
（2）
曲面zx2
y2与平面2x4y
z0平行的切平面的方程是
.
（3）
设x2
an
cosnx（
x
），则a2=
.
n0
（4）
从R2
的基
1
1
2
1
到基
1
1
2
1
的过渡矩阵为
.
0
1
1
2
（5）
（X,Y）的概率密度为
f（x,y）
6x,0
xy1,
1}
设二维随机变量
0,
则P{XY
其他，
.
（6）
已知一批零件的长度
X
（单位：
cmcm）服从正态分布
N（
1），从中随机地抽取
16个
零件，得到长度的平均值为
40（cm），则
的置信度为
0.95的置信区间是
.
（注：
标准正态分布函数值（1.96）0.975,（1.645）0.95.）
二、选择题：
本题共6小题，每小题4分，共24分，下列每小题给出的四个选项中，只有
一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.
（1）设函数f（x）在（,）内连续，其导函数的图形如图所示，
y
则f（x）有（）
（A）一个极小值点和两个极大值点.
（B）两个极小值点和一个极大值点.
（C）两个极小值点和两个极大值点.x
（D）三个极小值点和一个极大值点.
（2）设{an},{bn},{cn}均为非负数列，且liman0,limbn1,limcn,则必有（）
nnn
（A）anbn对任意n成立.（B）bncn对任意n成立.
（C）极限limancn不存在.（D）极限limbncn不存在.
nn
21
2003
（3）已知函数f（x,y）在点（0,0）
f（x,y）xy
1
，则（）
的某个邻域内连续，且lim
2
y2）2
x0,y0（x
（A）点（0,0）不是f（x,y）的极值点.
（B）点（0,0）是f（x,y）的极大值点.
（C）点（0,0）是f（x,y）的极小值点.
（D）根据所给条件无法判断点（0,0）是否为f（x,y）的极值点.
（4）
设向量组I：
1,2,,
r
可由向量组II：
1,
2,,
s线性表示，则（
）
（A）
当r
s时，向量组
II
必线性相关.
（B）
当r
s时，向量组II必线性相关.
（C）
当r
s时，向量组
I必线性相关.
（D）
当r
s时，向量组I必线性相关.
（5）
设有齐次线性方程组Ax
0和Bx
0
其中A,B均为mn矩阵，现有
4个命题：
①若Ax
0的解均是Bx
0的解，则秩（
A）
秩（B）；
②若秩（
A）
秩（B），则Ax0的解均是Bx
0的解；
③若Ax
0
与Bx0同解，则秩（A）=秩（B）；
④若秩（A）=秩（B），则Ax0与Bx0同解.
以上命题中正确的是（
）
（A）
①
②.
（B）
①
③.
（C）
②
④.
（D）
③
④.
（6）
设随机变量X~t（n）（n
1
，则（
）
1）,Y
2
X
（A）
Y~
2（n）.
（B）
Y~
2（n1）.
（C）Y~F（n,1）.
（D）
Y~F（1,n）.
三、（本题满分10分）
过坐标原点作曲线ylnx的切线，该切线与曲线ylnx及x轴围成平面图形D.
（1）求D的面积A;
（2）求D绕直线x
e旋转一周所得旋转体的体积V.
四、（本题满分12
分）
将函数f（x）
arctan1
2x
展开成x的幂级数，并求级数
（1）n
的和.
1
2x
n02n1
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2003
五、（本题满分10
分）
已知平面区域
D{（x,y）0
x
0y
}，L为D的正向边界.试证：
（1）
xesinydy
yesinxdx
xesinydy
yesinxdx;
L
L
（2）
xesinydy
yesinxdx
2
2.
L
六、（本题满分10分）
某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层.汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻
力而作功.设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比（比例系数为k,k0）.汽
锤第一次击打将桩打进地下am.根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次
击打时所作的功之比为常数r（0r1）.问
（1）汽锤击打桩3次后，可将桩打进地下多深？
（2）若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？
（注：
m表示长度单位米.）
七、（本题满分12分）
设函数yy（x））在（,）内具有二阶导数，且y0,xx（y）是yy（x）的反函
数.
（1）试将x
x（y）所满足的微分方程
d2x
（ysinx）（dx）3
0变换为y
y（x）满足
dy2
dy
的微分方程；
3
（2）求变换后的微分方程满足初始条件y（0）0,y（0）的解.
2
八、（本题满分12分）
设函数f（x）连续且恒大于零，
f（x2
y2
z2）dv
f（x2
y2）d
F（t）
（t）
，G（t）
D（t）
，
f（x2
y
2）d
t
2）dx
f（x
D（t）
1
其中
（
）{（,
）
2
2
2
2
}，
2
2
2
t
xyz
x
y
z
tD（t）
{（x,y）x
y
t}.
（1）
讨论F（t）在区间（0,
）内的单调性.
（2）
证明当t
0时，F（t）
2G（t）.
21
2003
九、（本题满分10分）
3
2
2
0
1
0
设矩阵A
2
3
2
，P
1
0
1
，B
P1A*P，求B
2E的特征值与特征
2
2
3
0
0
1
向量，其中A*
为A的伴随矩阵，
E为3阶单位矩阵.
十、（本题满分8分）
已知平面上三条不同直线的方程分别为
l1:
ax2by3c0，l2:
bx2cy3a0，l3:
cx2ay3b0.
试证:
这三条直线交于一点的充分必要条件为abc0.
十一、（本题满分10分）
已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装
有3件合格品.从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求：
（1）乙箱中次品件数X的数学期望；
（2）从乙箱中任取一件产品是次品的概率.
十二、（本题满分8分）
设总体X的概率密度为
2e2（x
）,x
f（x）
x
0,
其中
0是未知参数.从总体X中抽取简单随机样本
X1,X2,,Xn，记
?
min（X1,X2,,Xn）.
（1）求总体X的分布函数F（x）;
（2）求统计量?
的分布函数F?
（x）；
（3）如果用?
作为的估计量，讨论它是否具有无偏性.
2003年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析
21
2003
一、填空题
1
（1）【答案】
e
【详解】方法1：
求limu（x）v（x）型极限，一般先化为指数形式
limu（x）v（x）limev（x）lnu（x）
然后求limv（x）lnu（x），再回到指数上去．
1
lncosx
lncosx
lim（cosx）ln（1
x2）
x2）
lim
x2）
=limeln（1
ex
0ln（1
x
0
x
0
而
limlncosx
limln（1cosx
1）
limcosx1
（等价无穷小替换
x
0ln（1x2）
x
0
ln（1
x2）
x
0
x2
1x
2
1
lim
2
1
2
2
（等价无穷小替换1cosx
x）
x0
x
2
2
1
1.
故
原式=e2
e
1
lncosx，以下同方法1．
方法2：
令y
（cosx）ln（1
x2），有lny
ln（1x2）
（2）【答案】2x4yz5
【详解】由题意，只要满足所求切平面的法向量与已知平面的法向量平行即可．
平面2x
4y
z0的法向量：
n1
{2,4,
1}；
曲面z
x2
y2在点（x0,y0,z0）的法向量：
n2
{zx（x0,y0）,zy（x0,y0）,1}
由于n1//n2，因此有
2x0
2y0
1
2
4
1
可解得，x0
1,y0
2，相应地有z0
x02
y02
5.
ln（1x）x）
{2x0,2y0,1}
所求切平面过点（1,2,5），法向量为：
n2{2,4,1}，故所求的切平面方程为
2（x1）4（y2）（z5）0，即2x4yz5
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2003
（3）【答案】1
【详解】将
f（x）
x2（
x
）展开为余弦级数
f（x）x2
ancosnx（
x
），其中an
2
0
f（x）cosnxdx．
n0
所以a2
2
x
2
cos2xdx
1
x
2
dsin2x
1
[x
2
sin2x
0
sin2x2xdx]
0
0
0
1
1
1
0
xdcos2x
[xcos2x0
0
cos2xdx]
（4）【答案】
2
3
1
2
【详解】n维向量空间中，从基
1,
2,
n到基
1,
2,
n的过渡矩阵P满足
[
1,
2,
n]=[1,
2,
n]P，
因此过渡矩阵
P为：
P=[
1,
2,
n]1[1,
2,
n]．
根据定义，从
R2的基
1
1
2
1
到基
1
1
2
1
的过渡矩阵为
0
1
1
2
1
11
11
2
3
P=[
1,2]1[
1,2
]
1
1
11
=
.
0
1
1
2
0
1
1
2
1
2
（5）【答案】
1．
4
【分析】本题为已知二维随机变量
（X,Y）的概率密度
f（x,y），求满足一定条件的概率
P{g（X,Y）
z0}．连续型二维随机变量
（X,Y）概率的求解方法
F（x,y）
y
x
f（u,v）dudv,
此题可转化为二重积分
P{g（X,Y）
z0}
f（x,y）dxdy进行计算．
g（x,y）
z0
【详解】图中阴影区域为积分区域
.
由题设，有
P{XY
1}
f（x,y）dxdy
y
xy1
1
1
x
y
x
2dx
1
6xdy
0
x
21
x
y
1
O
1
x
2
2003
1
1
2（6x12x2）dx
0
4
（6）【答案】（39.51,40.49）．
【分析】可以用两种方法求解：
（1）
2
1，对正态总体的数学期望
进行估计.因为
X
N（,1），设有n
已知方差
个样本，样本均值X
1n
1
X
E（X）~N（0,1）
Xi，则X
N（,），将其标准化，由公式
ni1
n
D（X）
n
得：
X
~N（0,1）
1
n
由正态分布分为点的定义P{X
u}1
可确定临界值u
，进而确定相应的
1
2
2
n
置信区间（xu
n
xu
）．
2
2
n
（2）本题是在单个正态总体方差已知条件下，求期望值的置信区间问题．由教材上已
经求出的置信区间
（x
u
n
x
u
），其中P{U
u}
1
U
N（0,1），可以
2
2
n
2
直接得出答案．
【详解】方法
1：
由题设，
1
0.95，可见
0.05.
查标准正态分布表知分位点
u1.96.
本题n
16,
x
40.
2
根据
{
X
1.96}
0.95
，有P{
40
1.96}
0.95
，
P
1
n
1
16
即P{39.51
40.49}
0.95，故
的置信度为
0．95的置信区间是（39.51,40.49）．
方法2：
由题设，
1
0.95
，
P{U
u
}
P{
u
U
u}2
（u
）
1
0.95,
（u）
0.975
2
2
2
2
2
查得
1.96.
将
，
代入
得置信区间
1n16,
x40
（xu
xu
）
u
2
2
n
2
n
（39.51,40.49）
二、选择题
（1）【答案】（C）
y
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2003
【分析】函数的极值点可能是驻点（一阶导数为零）
或导数不存在的点，极值点是极大值点还是极小值
点可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定．
【详解】根据导函数的图形可知，一阶导数为零的
点有3个（导函数与x轴交点的个数）；x0是导数
不存在的点．
对3个一阶导数为零的点左右两侧导数符号均不一致，故必为极值点，其中第一个交点左右两侧
导数符号由正变为负，是极大值点；第二个交点和第三个交点左右两侧导数符号由负变为正，是极小值点，则三个驻点中有两个极小值点，一个极大值点；
对导数不存在的点：
x0．左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见x0为极
大值点．
故f（x）共有两个极小值点和两个极大值点，应选（C）．
（2）【答案】（D）
【详解】方法1：
推理法
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