不等式组解决方案设计问题.docx

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不等式组解决方案设计问题

用一元一次不等式组解决案设计问题

一、进货案设计型

1、某厂用甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料中的维生素C含量及每千克原料的价格如下表所示：

 原料项目

 甲种原料

 乙种原料

 维生素C含量（单位/kg）

 600

 100

 原料价格（元/kg）

 8

 4

   现配制这种饮料10kg，要求至少含有4200单位的维生素C，并要求购买甲、乙两种原料的费用不超过72元，请根据以上条件解答下列问题：

（1）设需用xkg甲种原料，写出x所满足的不等式组；

（2）若按上述条件购买甲种原料的质量为整kg数，有几种购买案，请写出购买案．

解：

（1）600x+100（10-x）≥4200

                 8x+4（10-x）≤72  

（2）由

（1）解得　6.4≤x≤8

若按上述的条件购买甲种原料的质量为整kg数，

所以X取整数7、8

有两种购买案：

案一：

甲种原料为7kg，乙种原料为3kg；

案二：

甲种原料为8kg，乙种原料为2kg．

2、某校准备组织290名学生进行野外考察活动，行共有100件．学校计划租用甲、乙两种型号的汽车共8辆，经了解，甲种汽车每辆最多能载40人和10件行，乙种汽车每辆最多能载30人和20件行．

（1）设租用甲种汽车x辆，请你帮助学校设计所有可能的租车案；

（2）如果甲、乙两种汽车每辆的租车费用分别为2000元、1800元，请你选择最省的一种租车案

解：

（1）由租用甲种汽车x辆，则租用乙种汽车（8-x）辆，

由题意得：

40x+30（8-x））≥290

                 10x+20（8-x）≥100

解得：

5≤x≤6．

共有2种租车案：

第一种是租用甲种汽车5辆，乙种汽车3辆；

第二种是租用甲种汽车6辆，乙种汽车2辆．

（2）第一种租车案的费用为5×2000+3×1800=15400元；

   第二种租车案的费用为6×2000+2×1800=15600元．

∴第一种租车案——租用甲种汽车5辆，乙种汽车3辆；更省费用．

3、某工厂要用图1所示的长形和正形纸板，经过组合加工成竖式，横式两种长体形状的无盖纸盒．

（1）设加工竖式纸盒x个，横式纸盒y个，根据题意完成下列表格：

纸盒

纸板

竖式纸盒（个）

横式纸盒（个）

X

y

正形纸板（）

X

2y

长形纸板（）

4X

3y

（2）若该厂购进正形纸板1000，长形纸板2000．问竖式纸盒，横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完．

（3）该厂在某一天使用的材料清单上显示，这天一共使用正形纸板50，长形纸板a，全部加工成上述两种纸盒，且120＜a＜136，试问在这一天加工这两种纸盒时，a的所有可能的值．

解：

（1）正形纸板x，长形纸板3y；

（2）设加工竖式纸盒x个，加工横式纸盒y个，

      x=200

      y=400

       x+2y=1000

       4x+3y=2000

依题意，得  

解得：

答：

加工竖式纸盒200个，加工横式纸盒400个；

       x+2y=50

      4x+3y=a

（3）设加工竖式纸盒x个，加工横式纸盒y个，依题意得：

∴y=40－

∵y、a为整数，

∴a为5的倍数，

∵120＜a＜136

∴满足条件的a为：

125，130，．

当a=125时，x=20，y=15；

当a=130时，x=22，y=14；

当a=135时，x=24，y=13据符合题意，

∴a所有可能的值是125，130，．

4、某县筹备20年县庆，园林部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙种花卉搭配A、Ｂ两种园艺造型共50个摆放在迎宾大道两侧，已知搭配一个A种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆，搭配一个种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆．

（1）某校九年级

（1）班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配案的设计，问符合题意的搭配案有几种？

请你帮助设计出来．

（2）若搭配一个种造型的成本是800元，搭配一个种造型的成本是960元，试说明

（1）中哪种案成本最低？

最低成本是多少元？

　　　解：

（1）设搭配A种造型x个，则B种造型为（50-x）个，

　　依题意得

　　 　　　解得：

31≤x≤33

　　∵x是整数，　∴x可取31，32，33

　 ∴可设计三种搭配案

①A种园艺造型31个B种园艺造型19个

②A种园艺造型32个B种园艺造型18个

③A种园艺造型33个B种园艺造型17个．

（2）法一：

案①需成本31×800+19×960=43040（元）

案②需成本32×800+18×960=42880（元）

案③需成本33×800+17×960=42720（元）

∴应选择案③，成本最低，最低成本为42720元

5、某商场经销甲、乙两种商品，甲商品每件进价15元，售价20元．乙商品每件进价35元，售价45元．

（1）若该商场同时购进甲、乙两种商品共100件，恰好用去2700元，求能购进甲、乙两种商品各多少件？

（2）该商场为使甲、乙两种商品共100件的利润不少于750元，且不超过760元，请你帮助该商场设计相应的进货案．

　　分析：

本题第一问中两种商品进货价恰好用去2700元，所以可以列程直接解出．但是第二问中的利润给的是一个围，我们只能列不等式组，找出它们的公共部分（即解集），再分析其全部的案．

解：

（1）设该商场购进甲种商品x件，则购进乙商品（100－x）件．

由题意得：

15x+35（100－x）=2700

　　　　　　x=40（件）

　　　　　　100－x＝60（件）

（2）设该商场购进甲商品a件，则购进乙商品（100－a）件．

由题意得：

解这个不等式组得：

48≤a≤50

因为a是正整数　所以a的取值可以取48、49、50三种情况．

所以进货案有三种：

案1：

购进甲商品48件，乙商品52件

案2：

购进甲商品49件，乙商品51件

案3：

购进甲商品50件，乙商品50件

　　例2：

某水果经销商收购苹果20吨，梨12吨，现计划租用甲、乙两种货车共8辆将它们全部运出，已知一辆甲种货车可装苹果4吨和梨1吨，一辆乙种货车可装苹果和梨各2吨．

（1）经销商如安排甲、乙两种货可一次性地将水果全部运出，有几种案？

（2）若甲种货车每辆要付运输费300元，乙种货车每辆要付运输费240元，则经销商选择哪种案才能使运输费用最少？

最少是多少？

分析：

本题中可根据这两种车运输苹果、梨的能力大于或等于货物的重量，列出两个不等式，再找它们的公共部分即可．

解：

（1）设安排甲种货车x辆，则安排乙种货车（8-x）辆．

由题意得：

       　解这个不等式组得：

2≤x≤4

　　∵x是正整数　　∴x可取的值是2，3，4

因此甲、乙两种货车的案有三种即：

甲种货车（辆）

乙种货车（辆）

案一

　　2　

　　6

案二

　　3

　　5

案三

　　4

　　4

（2）案一所需运费：

300×2+240×6=2040元

案二所需运费：

300×3+240×5=2100元

案三所需运费：

　　　　　300×4+240×4=2160元

所以经销商选择案一运输费用最少，最少费用是2040元．

例3 某建筑公司急用普通水泥230吨刚材168吨现有A、B两种型号货车共40辆可供使用每辆A型车最多可装普通水泥6吨和钢材4吨，运费190元；每辆B型车最多可装普通水泥5吨和钢材5吨，运费200元。

（1）要安排A、B两种型号的货车来运输，有几种案？

请你帮该公司设计。

（2）那种运输案的运费最省？

为什么？

解：

（1）设A型货车x辆，则B型货车40-x辆，

　　　根据题意得

　　　6x+5（40-x）≥230    

　　　4x+5（40-x）≥168

　　解得30≤x≤32

　　∴有三种案：

　　　　①A30辆，B10辆；

　　　　②A31辆，B9辆；

　　　　③A32辆，B8辆；

（2）因为A型车便宜，所以用A型车越多越省。

所以案①费用最省，

此时费用是30×190+10×200=7700（元） 

练习、（2007）某商店需要购进一批电视机和洗衣机，根据市场调查，决定电视机进货量不少于洗衣机的进货量的一半．电视机与洗衣机的进价和售价如下表：

类　别

电视机

洗衣机

进价（元/台）

1800

1500

售价（元/台）

2000

1600

计划购进电视机和洗衣机共100台，商店最多可筹集资金161800元．

（1）请你帮助商店算一算有多少种进货案？

（不考虑除进价之外的其它费用）

（2）哪种进货案待商店销售购进的电视机与洗衣机完毕后获得利润最多？

并求出最多利润．（利润＝售价－进价） 

二、租赁案设计型：

例5、（2007）市“全国文明村”江油白玉村果农灿收获枇杷20吨，桃子12吨．现计划租用甲、乙两种货车共8辆将这批水果全部运往外地销售，已知一辆甲种货车可装枇杷4吨和桃子1吨，一辆乙种货车可装枇杷和桃子各2吨．

（1）灿如安排甲、乙两种货车可一次性地运到销售地？

有几种案？

（2）若甲种货车每辆要付运输费300元，乙种货车每辆要付运输费240元，则果农灿应选择哪种案，使运输费最少？

最少运费是多少？

练习某汽车租凭公司要购买轿车和面包车共10辆。

其中轿车至少要购买3辆。

轿车每辆7万元，面包车每辆4万元。

公司可投入的购车款不超过55万元。

（1）符合要求的购车案有几种？

请说明理由。

（2）如果每辆轿车的日租金为200元，每辆面包车的日租金为110元，假设新购买的这10辆车每月都可以出租，要使这10辆车的月租金不低于1500元，那么应选择以上哪种购买案？

　　　分析：

设要购买轿车x辆，则要购买面包车（10-x）辆，题中要求“轿车至少要购买3辆，公司可投入的购车款不超过55万元”列出不等式，然后解出x的取值围，最后根据x的值列出不同案．

解：

（1）设要购买轿车x辆，则要购买面包车（10-x）辆，

　　　由题意得7x+4（10-x）≤55

　　　解得x≤5．　又因为x≥3，　　∴3≤x≤5．

　　∵x为整数　　∴x=3，4，5

　　因此有三种购买案：

①购买轿车3辆，面包车7辆；②购买轿车4辆，面包车6辆；

③购买轿车5辆，面包车5辆．

（2）案一的日租金为：

3×200+7×110=1370（元）

案二的日租金为：

4×200+6×110=1460（元）

案三的日租金为：

5×200+5×110=1550（元）

答：

为保证日租金不低于1500元，应选择案三购买轿车5辆，面包车5辆．

 三、购物案设计型：

 例6、（2007课改）某博物馆的门票每10元，一次购买30到99门票按8折优惠，一次购买100以上（含100）门票按7折优惠．甲班有56名学生，乙班有54名学生．

（1）若两班学生一起前往该博物馆参观，请问购买门票最少共需花费多少元？

（2）当两班实际前往该博物馆参观的总人数多于30人且不足100人时，至少要有多少人，才能使得按7折优惠购买100门票比根据实际人数按8折优惠购买门票更便宜？