K12配套北师大版高中数学必修二学案第一章 62 垂直关系的性质.docx

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K12配套北师大版高中数学必修二学案第一章62垂直关系的性质

6．2　垂直关系的性质

学习目标

　1.掌握直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质定理.2.能运用性质定理解决一些简单问题.3.了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系．

知识点一　直线与平面垂直的性质定理

思考　在日常生活中常见到一排排和地面垂直的电线杆．一排电线杆中的每根电线杆都与地面垂直，这些电线杆之间的位置关系是什么？

梳理　性质定理

文字语言

如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线________

符号语言

⇒a∥b

图形语言

知识点二　平面与平面垂直的性质

思考　黑板所在平面与地面所在平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？

梳理　性质定理

文字语言

如果两个平面互相垂直，那么在______________垂直于它们________的直线________于另一个平面

符号语言

α⊥β，α∩β＝l，________，________⇒a⊥β

图形语言

类型一　线面垂直的性质及应用

例1　如图所示，正方体A1B1C1D1－ABCD中，EF与异面直线AC，A1D都垂直相交．求证：

EF∥BD1.

反思与感悟　证明线线平行的常用方法

（1）利用线线平行定义：

证共面且无公共点．

（2）利用三线平行公理：

证两线同时平行于第三条直线．

（3）利用线面平行的性质定理：

把证线线平行转化为证线面平行．

（4）利用线面垂直的性质定理：

把证线线平行转化为证线面垂直.

（5）利用面面平行的性质定理：

把证线线平行转化为证面面平行．

跟踪训练1　如图，α∩β＝l，PA⊥α，PB⊥β，垂足分别为A、B，aα，a⊥AB.求证：

a∥l.

类型二　面面垂直的性质及应用

例2　如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.

求证：

BC⊥AB.

反思与感悟　证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理．本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理．利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：

（1）两个平面垂直；

（2）直线必须在其中一个平面内；（3）直线必须垂直于它们的交线．

跟踪训练2　如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G为AD边的中点．

求证：

（1）BG⊥平面PAD；

（2）AD⊥PB.

类型三　垂直关系的综合应用

例3　如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点，求证：

（1）PA⊥底面ABCD；

（2）BE∥平面PAD；

（3）平面BEF⊥平面PCD.

反思与感悟　

（1）证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理，本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理．

（2）利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：

①两个平面垂直；②直线必须在其中一个平面内；③直线必须垂直于它们的交线．

跟踪训练3　如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面BCD，AB⊥AC，DC⊥BC.求证：

平面ABD⊥平面ACD.

例4　已知在三棱锥A－BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E，F分别是AC，AD上的动点，且＝＝λ（0＜λ＜1）．

（1）求证：

不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；

（2）当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD?

反思与感悟　解决开放性问题一般先从结论入手，分析得到该结论所需的条件或与其等价的条件，此种类型题考查空间想象能力、推理论证能力、分析问题和解决问题的能力．

跟踪训练4　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱C1D1的中点，F为棱BC的中点．

（1）求证：

AE⊥DA1；

（2）在线段AA1上是否存在一点G，使得AE⊥平面DFG？

并说明理由．

1．在空间中，下列命题正确的是（　　）

A．垂直于同一条直线的两直线平行

B．平行于同一条直线的两个平面平行

C．垂直于同一平面的两个平面平行

D．垂直于同一平面的两条直线平行

2．平面α⊥平面β，直线a∥α，则（　　）

A．a⊥βB．a∥β

C．a与β相交D．以上都有可能

3．已知直线l⊥平面α，直线m平面β.有下面四个命题：

①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；

③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β.

其中正确的两个命题是（　　）

A．①②B．③④C．①③D．②④

4．如图，在三棱锥P－ABC中，侧面PAC⊥底面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，则PB＝________.

5.如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是矩形，侧面SDC⊥底面ABCD，求证：

平面SCD⊥平面SBC.

1．线面垂直的性质定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据．

2．面面垂直的性质定理揭示了“面面垂直、线面垂直及线线垂直”间的内在联系，体现了数学中的转化与化归思想，其转化关系如下：

答案精析

问题导学

知识点一

思考　平行．

梳理　平行

知识点二

思考　容易发现墙壁与墙壁所在平面的交线与地面垂直，因此只要在黑板上画出一条与这条交线平行的直线，则所画直线必与地面垂直．

梳理　一个平面内　交线　垂直　aα

a⊥l

题型探究

例1　证明　如图，连接AB1，B1C，BD，B1D1.

∵DD1⊥平面ABCD，AC平面ABCD，

∴DD1⊥AC.

又AC⊥BD，DD1∩BD＝D，∴AC⊥平面BDD1B1，

∴AC⊥BD1.

同理，BD1⊥B1C，∴BD1⊥平面AB1C.

∵EF⊥A1D，且A1D∥B1C，

∴EF⊥B1C.

又∵EF⊥AC，AC∩B1C＝C，

∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1.

跟踪训练1　证明　∵PA⊥α，lα，

∴PA⊥l.

同理PB⊥l.∵PA∩PB＝P，

∴l⊥平面PAB.

又∵PA⊥α，aα，∴PA⊥a.

∵a⊥AB，PA∩AB＝A，

∴a⊥平面PAB.∴a∥l.

例2　证明　如图，在平面PAB内，

作AD⊥PB于点D.

∵平面PAB⊥平面PBC，

且平面PAB∩平面PBC＝PB.

∴AD⊥平面PBC.

又BC平面PBC，

∴AD⊥BC.

又∵PA⊥平面ABC，BC平面ABC，

∴PA⊥BC，又∵PA∩AD＝A，∴BC⊥平面PAB.

又AB平面PAB，

∴BC⊥AB.

跟踪训练2　证明　

（1）平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，

又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，

∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD.

∴BG⊥平面PAD.

（2）由

（1）可知BG⊥AD，由题意知△PAD为正三角形，G是AD的中点，

∴PG⊥AD.又BG∩PG＝G，

∴AD⊥平面PBG，又PB平面PBG，

∴AD⊥PB.

例3　证明　

（1）∵PA⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，由平面和平面垂直的性质定理可得PA⊥平面ABCD.

（2）∵AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，E和F分别是CD和PC的中点，故四边形ABED为平行四边形，故有BE∥AD.

又AD平面PAD，BE

平面PAD，

∴BE∥平面PAD.

（3）在平行四边形ABED中，由AB⊥AD，可得ABED为矩形，故有BE⊥CD.①

由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥AB，再由AB⊥AD可得AB⊥平面PAD，

∴CD⊥平面PAD，故有CD⊥PD.

再由E、F分别为CD和PC的中点，可得EF∥PD，

∴CD⊥EF.②

而EF和BE是平面BEF内的两条相交直线，故有CD⊥平面BEF.

由于CD平面PCD，

∴平面BEF⊥平面PCD.

跟踪训练3　证明　∵平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，在平面ABC内，作AE⊥BC于点E，

如图，则AE⊥平面BCD.

又CD平面BCD，

∴AE⊥CD.又BC⊥CD，

AE∩BC＝E，

AE，BC平面ABC，

∴CD⊥平面ABC，

又AB平面ABC，∴AB⊥CD.

又AB⊥AC，AC∩CD＝C，

AC、CD平面ACD.

∴AB⊥平面ACD.又AB平面ABD，

∴平面ABD⊥平面ACD.

例4　

（1）证明　∵∠BCD＝90°，

∴BC⊥CD.

∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD.

又∵AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC.

∵＝，∴EF∥CD，

∴EF⊥平面ABC.

又∵EF平面BEF，

∴平面BEF⊥平面ABC.

故不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC.

（2）解　由

（1），得EF⊥平面ABC，BE平面ABC，

∴EF⊥BE.

要使平面BEF⊥平面ACD，只需BE⊥AC.

∵∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，∴BD＝.

又∵AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，

∴AB＝，AC＝，

∴BE＝＝，∴AE＝，

∴λ＝＝.

故当λ＝时，平面BEF⊥平面ACD.

跟踪训练4　

（1）证明　连接AD1，BC1，

由正方体的性质可知，DA1⊥AD1，DA1⊥AB，又AB∩AD1＝A，∴DA1⊥平面ABC1D1.又AE平面ABC1D1，

∴DA1⊥AE.

（2）解　如图所示A1点即为G点，证明如下：

连接A1F由

（1）可知AE⊥DA1，取CD的中点H，连接AH，EH，由DF⊥AH，DF⊥EH，AH∩EH＝H，可证DF⊥平面AHE，

∵AE平面AHE，∴DF⊥AE.

又DF∩A1D＝D，

∴AE⊥平面DFA1，即AE⊥平面DFG.

当堂训练

1．D　2.D　3.C　4.

5．证明　因为底面ABCD是矩形，所以BC⊥CD.

又平面SDC⊥平面ABCD，

平面SDC∩平面ABCD＝CD，BC平面ABCD，

所以BC⊥平面SCD.

又因为BC平面SBC，

所以平面SCD⊥平面SBC.