相关性的判定定理.docx

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相关性的判定定理

相关性的判定及有关重要结论

1.线性相关与线性组合的关系定理

定理1：

向量组α1，α2，，αm（m≥

2）线性相关的充要条件是其中

至少有一个向量可由其余m-1向量线性表示。

证：

"⇒"

若向量组α1，α2，，αm（m≥

2）线性相关，则一定存

在一组不全为零的数k1，k2，，km,使

k1α1+k2α2++kmαm=0

不妨设k1≠

0，于是有：

α1

=-k2α2

--

kmαm

"⇐"

不妨设

α1=

k2α2

k1

++

k1

kmαm

⇒-α1

+k2α2

++

kmαm=O

即向量组α1，α2，，αm（m≥

2）线性相关。

定理2：

设向量组α1，α2，，αm

线性无关，而向量组β，

α1，α2，，αm

线性相关，则β

可由α1，α2，，αm

线性表示且表示式惟一。

证：

向量组β,α1，α2，，αm线性相关，则一定存在一组不全为零的数k,k1，k2，，km,使

kβ+k1α1+k2α2++kmαm=0

这里必有k≠0，否则，有

k1α1

+k2α2

++

kmαm=0

由向量组α1，α2，，αm线性无关知：

k1=k2==km=0

故β可由α1，α2，，αm线性表示。

下面证明表示式惟一。

设β=k1α1

+k2α2

++kmαm}⇒

β=l1α1

+l2α2

++lmαm

（k1

-l1）α1

+（k2

-l2）α2

++

（km

-

lm）αm

=O.

由向量组α1，α2，，αm线性无关知：

ki=

li,i

=1,2,,m.

所以表示式惟一。

2.相关性的判定定理

定理3：

在一个向量组中，若有一个部分向量组线性相关，则整个向量组也必定线性相关。

反之不对。

你能举个

反例吗？

α1=

（1,2,-1）,α2

=（2,-3,1）,α3

=（4,1,-1）.

推论：

一个线性无关的向量组的任何非空的部分向量组都线性无关。

2.

相关性的判定定理

定理4：

m个n维向量αi

=（ai1,ai2,,ain）（i

=1,2,m）线性

相关的充要条件是由αi（i=1,2,m）构成的矩阵

⎛α1⎫

⎛a11

a12

a1n⎫

ç

A=ç

⎪

2⎪=

ç

ça21

a22

⎪

a2n⎪

ç⎪ç

⎪

ç⎪

⎝αm⎭

ç

⎝am1

am2

⎪

amn⎭

的秩r（A）

例3：

讨论α1

解：

=（1,2,-1）,α2

=（2,-3,1）,α3

=（4,1,-1）的相关性。

⎛α⎫⎛12

ç⎪ç

-1⎫

⎪

A=çα2⎪=ç2-31⎪

çα3⎪ç

⎛12

1

-1⎫

-1⎪

⎛12

-1⎫

→ç0-7

3⎪→ç0

-73⎪,

ç⎪ç⎪

ç0-73⎪ç000⎪

⎝⎭⎝⎭

∴r（A）=2<3,

⇒α1,α2,α3线性相关。

例3：

讨论α1

=（1,2,-1）,α2

=（2,-3,1）,α3

=（4,1,-1）的相关性。

我们已经用三种方法作过这个题目了，

1.求组合式；

2.定义证明，组合系数不全为零。

3.将向量组排成矩阵，由矩阵的秩确定。

你认为哪一种方法简单？

λ为何值时，向量组α1

=（1，1，1，1，2），α2

=（2，1，3，2，3）

α3=（2，3，2，2，5），α4

=（1，3，-1，1，λ）线性相关？

⎛α⎫

ç⎪

A=ç2⎪

çα3⎪

⎛111

ç

2

=ç2

12⎫

⎪

⎛11112⎫

ç⎪

0

ç⎪

⎝4⎭

⎛11

ç

ç⎪

⎝13-11λ⎭

112⎫

⎪

ç

⎝02-2

⎛1111

ç

⎪

0λ-2⎭

2⎫

⎪

→ç0-110

ç0100

-1⎪ç0

1⎪→ç0

-110

010

-1⎪

0⎪

ç

⎝02

-20

⎪

λ-2⎭

ç

⎝00

00λ

⎪

-4⎭

⇒λ=

4时，r（A）

=3<

4,α1,α2,α3,α4线性相关。

推论1：

当m>n时，m个n维向量线性相关。

推论2：

任意m个n维向量线性无关的充要条件是由它们构成的矩阵A=Am⨯n的秩r（A）=m。

推论3：

任意n个n维向量线性无关的充要条件是由它们构成的方阵A的行列式不等于零。

或r（A）=n.

推论4：

任意n个n维向量线性相关的充要条件是由它们构成的方阵A的行列式等于零。

或r（A）

定理5：

若m个r维向量

αi=（ai1,ai2,,air）

（i=1,2,,m）

线性无关，则对应的m个r+1维向量

βi=（ai1,ai2,,air,ai,r+1）（i=1,2,,m）

也线性无关。

用语言叙述为：

线性无关的向量组，添加分量后仍旧线性无关。

推论：

r维线性无关的向量，添加n-r个相应分量组成的

n维向量组仍旧线性无关。

叙述相关性判定的5个定理。

证明定理4与定理5。