解码专训.docx

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解码专训

解码专训一：

根与系数的关系的四种应用类型

名师点金：

利用一元二次方程的根与系数的关系可以不解方程，仅通过系数就反映出方程两根的特征．在实数范围内运用一元二次方程的根与系数的关系时，必须注意Δ≥0这个前提，而应用判别式Δ的前提是二次项系数不为0.因此，解题时要注意分析题目中有没有隐含条件Δ≥0和a≠0.

利用根与系数的关系求代数式的值

1．设方程4x2－7x－3＝0的两根为x1，x2，不解方程求下列各式的值．

（1）（x1－3）（x2－3）；

（2）＋；（3）x1－x2.

利用根与系数的关系构造一元二次方程

2．构造一个一元二次方程，使它的两根分别是方程5x2＋2x－3＝0各根的负倒数．

利用根与系数的关系求字母的值或取值范围

3．已知关于x的一元二次方程2x2－mx－2m＋1＝0的两根的平方和是，求m的值．

巧用根与系数的关系确定字母系数的存在性

4．已知x1，x2是关于x的一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0的两个实数根，是否存在实数k，使（2x1－x2）（x1－2x2）＝－成立？

若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

解码专训二：

一元二次方程中的常见热门考点

名师点金：

一元二次方程题的类型非常丰富，常见的有一元二次方程的根、一元二次方程的解法、一元二次方程根的情况、一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的应用等，只要我们掌握了不同类型题的解法特点，就可以使问题变得简单，明了．

一元二次方程的根

1．（2015·兰州）若一元二次方程ax2－bx－2015＝0有一根为x＝－1，则a＋b＝________．

2．若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1，且a＝＋－2，求的值．

一元二次方程的解法

3．用配方法解方程x2－2x－1＝0时，配方后所得的方程为（　　）

　A．（x＋1）2＝0B．（x－1）2＝0

C．（x＋1）2＝2D．（x－1）2＝2

4．一元二次方程x2－2x－3＝0的解是（　　）

A．x1＝－1，x2＝3B．x1＝1，x2＝－3

C．x1＝－1，x2＝－3D．x1＝1，x2＝3

5．选择适当的方法解下列方程：

（1）（x－1）2＋2x（x－1）＝0；

（2）x2－6x－6＝0；

（3）6000（1－x）2＝4860；

（4）（10＋x）（50－x）＝800；

（5）（中考·山西）（2x－1）2＝x（3x＋2）－7.

一元二次方程根的判别式

6．（2015·河北）若关于x的方程x2＋2x＋a＝0不存在实数根，则a的取值范围是（　　）

A．a＜1B．a＞1C．a≤1D．a≥1

7．在等腰三角形ABC中，三边长分别为a，b，c.其中a＝5，若关于x的方程x2＋（b＋2）x＋（6－b）＝0有两个相等的实数根，求△ABC的周长．

8．（2015·南充）已知关于x的一元二次方程（x－1）（x－4）＝p2，p为实数．

（1）求证：

方程有两个不相等的实数根．

（2）p为何值时，方程有整数解．（直接写出三个，不需说明理由）．

一元二次方程根与系数的关系

9．已知α，β是关于x的一元二次方程x2＋（2m＋3）x＋m2＝0的两个不相等的实数根，且满足＋＝－1，则m的值是（　　）

A．3B．1

C．3或－1D．－3或1

10．关于x的方程ax2－（3a＋1）x＋2（a＋1）＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且有x1＋x2－x1x2＝1－a，求a的值．

11．设x1，x2是关于x的一元二次方程x2＋2ax＋a2＋4a－2＝0的两个实数根，当a为何值时，x12＋x22有最小值？

最小值是多少？

一元二次方程的应用

12．（2015·乌鲁木齐）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：

每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，应将销售单价定为多少元？

13．小林准备进行如下操作实验：

把一根长为40cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．

（1）要使这两个正方形的面积之和等于58cm2，小林该怎么剪？

（求出剪成的两段铁丝的长度）

（2）小峰对小林说：

“这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2.”他的说法对吗？

请说明理由．

新定义问题

14．（中考·厦门）若x1，x2是关于x的方程x2＋bx＋c＝0的两个实数根，且|x1|＋|x2|＝2|k|（k是整数），则称方程x2＋bx＋c＝0为“偶系二次方程”．如方程x2－6x－27＝0，x2－2x－8＝0，x2＋3x－

＝0，x2＋6x－27＝0，x2＋4x＋4＝0都是“偶系二次方程”．

判断方程x2＋x－12＝0是否是“偶系二次方程”，并说明理由．

答案

解码专训一

1．解：

根据一元二次方程根与系数的关系，有

x1＋x2＝，x1x2＝－.

（1）（x1－3）（x2－3）＝x1x2－3（x1＋x2）＋9＝－－3×＋9＝3.

（2）＋＝＝

＝＝

＝.

（3）∵（x1－x2）2＝（x1＋x2）2－4x1x2＝－4×＝，

∴x1－x2＝±＝±.

2．解：

设方程5x2＋2x－3＝0的两根为x1，x2，

则x1＋x2＝－，x1x2＝－.

设所求方程为y2＋py＋q＝0，其两根为y1，y2，

令y1＝－，y2＝－.

∴p＝－（y1＋y2）＝－＝＋＝＝，q＝y1y2＝＝＝－.

∴所求的方程为y2＋y－＝0，即3y2＋2y－5＝0.

3．解：

设方程两根为x1，x2，由已知得

∵x12＋x22＝（x1＋x2）2－2x1x2＝，

即－2×＝，

∴m2＋8m－33＝0.

解得m1＝－11，m2＝3.

当m＝－11时，方程为2x2＋11x＋23＝0，

Δ＝112－4×2×23<0，方程无实数根，

∴m＝－11不合题意，舍去；

当m＝3时，方程为2x2－3x－5＝0，Δ＝（－3）2－4×2×（－5）>0，方程有两个不相等的实数根，符合题意．

∴m的值为3.

4．解：

不存在．理由如下：

∵一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0有两个实数根，

∴k≠0，且Δ＝（－4k）2－4×4k（k＋1）＝－16k≥0，

∴k＜0.

∵x1，x2是方程4kx2－4kx＋k＋1＝0的两个实数根，

∴x1＋x2＝1，x1x2＝.

∴（2x1－x2）（x1－2x2）＝2（x1＋x2）2－9x1x2＝－.

又∵（2x1－x2）（x1－2x2）＝－，

∴－＝－，∴k＝.

又∵k<0，∴不存在实数k，使（2x1－x2）（x1－2x2）＝－成立．

方法总结：

对于存在性问题，先根据方程根的情况，利用根的判别式确定出未知字母的取值范围，再利用根与系数的关系求出已知式子中字母的值，验证字母的值是否在其取值范围内．

解码专训二

1．2015　点拨：

把x＝－1代入方程中得到a＋b－2015＝0，即a＋b＝2015.

2．解：

∵a＝＋－2，∴c－4≥0且4－c≥0，即c＝4，则a＝－2.又∵－1是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，∴a－b＋c＝0，∴b＝a＋c＝－2＋4＝2.∴原式＝＝0.

3．D　4.A

5．解：

（1）（x－1）2＋2x（x－1）＝0，

（x－1）（x－1＋2x）＝0，

（x－1）（3x－1）＝0，

∴x1＝1，x2＝.

（2）x2－6x－6＝0，

∵a＝1，b＝－6，c＝－6，

∴b2－4ac＝（－6）2－4×1×（－6）＝60.

∴x＝＝3±，

∴x1＝3＋，x2＝3－.

（3）6000（1－x）2＝4860，

（1－x）2＝0.81，

1－x＝±0.9，

∴x1＝1.9，x2＝0.1.

（4）（10＋x）（50－x）＝800，

x2－40x＋300＝0，

∴x1＝10，x2＝30.

（5）（2x－1）2＝x（3x＋2）－7，

4x2－4x＋1＝3x2＋2x－7，

x2－6x＋8＝0，

∴x1＝2，x2＝4.

6．B

7．解：

∵关于x的方程x2＋（b＋2）x＋（6－b）＝0有两个相等的实数根，

∴Δ＝（b＋2）2－4（6－b）＝0，∴b1＝2，b2＝－10（舍去）．

当a为腰时，△ABC的周长为5＋5＋2＝12.

当b为腰时，2＋2＜5，不能构成三角形．

∴△ABC的周长为12.

8．

（1）证明：

原方程可化为x2－5x＋4－p2＝0.

Δ＝（－5）2－4（4－p2）＝9＋4p2.

∵p为实数，则p2≥0，∴9＋4p2＞0.即Δ＞0，

∴方程有两个不相等的实数根．

（2）解：

当p为0，2，－2时，方程有整数解．（答案不唯一）

点拨：

（1）先将一元二次方程化为一般形式，由题意得，一元二次方程根的判别式b2－4ac＝（－5）2－4×1×（4－p2）＝9＋4p2，易得，9＋4p2＞0，从而得证．

（2）一元二次方程的解为x＝，若方程有整数解，则9＋4p2必须是完全平方数，故当p＝0、2、－2时，9＋4p2分别对应9、25、25，此时方程的解分别为整数．

9．A

10．解：

由题意，得x1＋x2＝，x1x2＝，∴－＝1－a，∴a2－1＝0，即a＝±1.又∵方程有两个不相等的实数根，∴a≠0，且Δ＝[－（3a＋1）]2－4a·2（a＋1）＞0，即a≠0，且（a－1）2＞0，∴a≠0，且a≠1，∴a＝－1.

11．解：

∵方程有两个实数根，∴Δ＝（2a）2－4（a2＋4a－2）≥0，

∴a≤.

又∵x1＋x2＝－2a，x1x2＝a2＋4a－2，

∴x12＋x22＝（x1＋x2）2－2x1x2＝2（a－2）2－4.

∵a≤，∴当a＝时，x12＋x22的值最小．

此时x12＋x22＝2－4＝，即最小值为.

点拨：

本题中考虑Δ≥0从而确定a的取值范围这一过程易被忽略．

12．解：

设每件商品降价x元，则售价为每件（60－x）元，每星期的销量为（300＋20x）件．

根据题意，得（60－x－40）（300＋20x）＝6080.

解得x1＝1，x2＝4.

又要顾客得实惠，故取x＝4，即销售单价为56元．

答：

应将销售单价定为56元．

13．解：

（1）设剪成的较短的一段长为xcm，则较长的一段长为（40－x）cm，由题意，得＋＝58，解得x1＝12，x2＝28.当x＝12时，较长的一段长为40－12＝28（cm），当x＝28时，较长的一段长为40－28＝12（cm）＜28cm（舍去）．∴较短的一段长为12cm，较长的一段长为28cm.

（2）小峰的说法正确．理由如下：

设剪成的较短的一段长为mcm，则较长的一段长就为（40－m）cm，由题意得＋＝48，变形为m2－40m＋416＝0.∵Δ＝（－40）2－4×416＝－64＜0，∴原方程无实数解，∴小峰的说法正确，这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2.

14．解：

不是．理由如下：

解方程x2＋x－12＝0，得x1＝－4，x2＝3.

|x1|＋|x2|＝4＋3＝2×|3.5|.

∵3.5不是整数，

∴方程x2＋x－12＝0不是“偶系二次方程”．