131421空间点直线平面之间的位置关系学生.docx
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131421空间点直线平面之间的位置关系学生
第二章、点、直线、平面之间的位置关系
本章概述
空间点、直线、平面之间的位置关系，直线与平面、平面与平面平行的判定及其性质以及直线与平面、平面与平面垂直的判定及其性质，它们是我们认识现实世界中物体的形状、大小与位置关系的重要工具和必要的基础知识，对培养空间想象力和逻辑推理能力有一定的辅助和推进作用．另外，本章始终采用直观感知、操作确认、思维论证、度量计算等方法认识和探索几何图形的结构及其性质．
本章共分三大节：
第一大节是介绍空间点、直线、平面之间的位置关系；第二大节是研究直线与平面、平面与平面平行的判定与性质；第三大节是研究直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质．学会准确地使用空间几何的数学语言表述几何对象的位置关系，体会公理化思想，培养逻辑思维能力，解决简单的推理论证及应用问题．
本章重点是平面的基本性质，空间两直线、直线与平面、平面与平面间的平行与垂直关系．本章难点是直线、平面之间的平行与垂直关系的互相转化，异面直线所成的角及直线与平面所成的角的计算方法．
2.1空间点、直线、平面之间的位置关系
2.1.1平面
【考纲要求】
[学习目标]
1．知道平面是不加定义的概念（原始概念），初步体会平面的基本属性，会用图形与字母表示平面．
2．能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系．
3．能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理，理解三个公理的地位与作用．
[目标解读]
1．用符号语言描述点、直线、平面之间的位置关系是重点；
2．用文字语言、符号语言、图形语言描述三个公理是难点．
【自主学习】
1．平面
（1）平面的概念
几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的．几何里的平面是的．
（2）平面的画法
①水平放置的平面通常画成一个，它的锐角通常画成，且横边长等于其邻边长的，如图①.
②如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用画出来．如图②.
2．点、线、面之间的位置关系
直线、平面都可以看成的集合．点P在直线l上，记作；点P在直线l外，记作；点A在平面α内，记作；点A在平面α外，记作；直线l在平面β内，记作；直线l在平面α外，记作.
3．平面的基本性质
公理
内容
图形
符号
公理1
如果一条直线上的
在一个平面内，那么这条直线在此平面内
，，且，⇒l⊂α
公理2
的三点，有且只有一个平面
A，B，C三点不共线⇒存在唯一的α使A，B，C∈α
公理3
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条
，⇒α∩β＝l，且P∈l
特别提醒：
点、线、面间的关系通常借助集合中的符号语言来表示，点为元素，直线与平面都是点构成的集合，几何中的很多符号规定都是源于将图形视为点集．故点与直线之间的关系，点与平面之间的关系用符号∈，∉表示，直线与平面之间的关系用⊂，⊄表示.
【考点突破】
要点一平面的概念及点、线、面的位置关系
1.生活中的平面是比较平整、有限的，而立体几何中所说的平面是从生活中常见平面中抽象、概括出来的，是理想的、绝对平整的、无限延展的．立体几何中的平面无大小、厚薄之分，是不可度量的．
2．平面通常用希腊字母α，β，γ等表示（常把这些字母写在代表平面的平行四边形的一个角上），如平面α，平面β，平面γ等．也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称．
【例1】根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：
（1）A∈α，B∉α；
（2）l⊂α，m∩α＝A，A∉l；（3）P∈l，P∉α，Q∈l，Q∈α.
【思路启迪】 正确理解立体几何中表示点、线、面之间位置关系的符号“∈”，“∉”，“⊂”，“⊄”，“∩”的意义，在此基础上，实现三种语言间的互译．
【解】
（1）点A在平面α内，点B不在平面α内；
（2）直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上；
（3）直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q.
图形分别如图
（1）、
（2）、（3）所示．
方法指导：
三种语言的相互转换是一种基本技能，要注意符号语言的意义；由符号语言画相应图形时，要注意实、虚线
【跟踪训练1】在下列命题中，正确命题的个数为（ ）
①书桌面是平面
②8个平面重叠起来，要比6个平面重叠起来厚
③有一个平面的长是50m，宽是20m
④平面是绝对的平，无厚度，可以无限延展的抽象的数学概念
A．1 B．2 C．3 D．4
要点二共面问题
1.证明点线共面的主要依据
（1）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内（公理1）；
（2）经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（公理2及其推论）．
2．证明点线共面的具体操作
（1）证明几点共面可先取不共线的三点确定一个平面，再证明其余各点都在这个平面内；
（2）证明空间几条直线共面可先取两条相交（或平行）直线确定一个平面，再证明其余直线均在这个平面内．
【例2】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是AA1，CC1的中点，求证：
D1，E，F，B共面．
【思路启迪】 先利用其中D1，E，F三点确定一平面，然后利用公理3证明四点共面．
【证明】 因为D1，E，F三点不共线，所以D1，E，F三点确定一个平面α.
由题意得，D1E与DA共面于平面A1D且不平行，如图．
分别延长D1E与DA相交于G，
所以G∈直线D1E，所以G∈平面α.
同理设直线D1F与DC的延长线交于H，则H∈平面α.
又点G，B，H均在平面AC内，
且点E是AA1的中点，AA1∥DD1，
所以AG＝AD＝AB，所以△AGB为等腰三角形，
所以∠ABG＝45°.同理∠CBH＝45°.
又∠ABC＝90°，所以G，B，H共线于GH，
又GH⊂平面α，所以B∈平面α，
所以D1，E，F，B共面．
方法指导：
证明点、线共面问题的理论依据是公理1和公理2，及其推论，常用方法有：
（1）先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入法”；
（2）先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定另一个平面β，再证平面α与β重合，即用“同一法”．
【变式训练】求证：
两两平行的三条直线如果都与另一条直线相交，那么这四条直线共面．
要点三点共线或线共点问题
1.证明三点共线的依据是公理3：
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们还有其他的公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线．也就是说一个点若是两个平面的公共点，则这个点在这两个平面的交线上．
对于这个公理应进一步理解下面三点：
①如果两个相交平面有两个公共点，那么过这两点的直线就是它们的交线；②如果两个相交平面有三个公共点，那么这三点共线；③如果两个平面相交，那么一个平面内的直线和另一个平面的交点必在这两个平面的交线上．
2．证明线共点主要利用公理1、公理3作为推理的依据．
【例3】如图，E、F、G、H分别是空间四边形AB、BC、CD、DA上的点，且直线EH与直线FG交于点O.
求证：
B、D、O三点共线．
【思路启迪】 解答本题只要证明点O在平面ABD与平面CBD的交线BD上即可。
【证明】 ∵E∈AB，H∈AD，
∴E∈平面ABD，H∈平面ABD.∴EH⊂平面ABD.
∵EH∩FG＝O，∴O∈平面ABD.
同理O∈平面BCD，即O∈平面ABD∩平面BCD，
∴O∈BD，即B、D、O三点共线．
方法指导：
（1）证明三点共线的常用方法：
方法1是首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点．根据公理3知，这些点都在交线上．
方法2是选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在其上．
（2）证明三线共点的思路是：
先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上的问题．
【变式训练3】如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为AA1的中点．求证：
CE、D1F、DA三线交于一点．
考点巩固
1．如果空间四点A、B、C、D不共面，那么下列判断正确的是（ ）
A．A、B、C、D四点中必有三点共线
B．A、B、C、D四点中不存在三点共线
C．直线AB与CD相交
D．直线AB与CD平行
2．下列说法中正确的个数为（ ）
①三角形一定是平面图形 ②若四边形的两对角线相交于一点，则该四边形是平面图形 ③圆心和圆上两点可确定一个平面 ④三条平行线最多可确定三个平面
A．1B．2
C．3D．4
3．如图，平面α∩平面β=l，A，B∈α，C∈β，C∉l，直线AB∩l=D，过A，B，C三点确定的平面为γ，则平面γ，β的交线必过（ ）
A．点AB．点B
C．点C，但不过点DD．点C和点D
4．两两相交的三条直线最多可确定________个平面．
5．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面A1C与平面BDC1的交线是________．
6．如图，在四面体ABCD中，E、G分别为BC、AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF：
FC=DH：
HA=2：
3，求证：
EF、GH、BD交于一点．
7．如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于Q，求证：
B，Q，D1三点共线．
8．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G分别为AB、BC、CC1的中点，作出过E、F、G的截面．
2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
【考纲要求】
[学习目标]
1．会判断空间两直线的位置关系．
2．理解两异面直线的定义，会求两异面直线所成角．
3．能用公理4解决一些简单的相关问题．
[目标解读]
1．空间两直线的位置关系的判断与异面直线所成的角的求法是重点；
2．求两异面直线所成的角是难点．
【自主学习】
1．空间两条直线的位置关系
（1）异面直线
我们把的两条直线叫做异面直线．
（2）空间两条直线的位置关系有且只有三种．
2．平行公理
公理4 平行于同一条直线的两条直线．
3．等角定理
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角．
4．异面直线所成的角
（1）a，b是两条异面直线，过空间中作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）．
（2）如果两条异面直线a、b所成的角是，那么我们就说这两条直线互相垂直，记作.
特别提醒：
两条直线的位置关系有三种：
相交，平行，异面．在判断两直线的位置关系时，这三种情况都要考虑到．两条直线异面，是指找不到平面，使这两条直线同在这一平面内；并不是说，这两条直线不同在某一平面内，它们就是异面直线．
【考点突破】
要点一空间两条直线位置关系的判断
空间两直线的位置关系有且只有三种：
相交、平行、异面，其中相交直线和平行直线也称共面直线．
两直线位置关系的判定，除运用定义进行外，还要注意通过感觉和空间想象来进行．画出图形可以使抽象的问题具体化，这在解决立体几何的问题中，是经常用到的一种方法，在构图时，要注意想到各种可能．
【例1】如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，判断下列直线的位置关系：
①直线A1B与直线D1C的位置关系是________；
②直线A1B与直线B1C的位置关系是________；
③直线D1D与直线D1C的位置关系是________；
④直线AB与直线B1C的位置关系是________．
【变式训练1】已知三条直线a，b，c，a与b异面，b与c异面，则a与c的位置关系是________．
要点二平行公理、等角定理的应用
1.平行公理为我们提供了一种证明两直线平行的方法，即证明直线a∥b，只需找到直线c，使得c∥a，同时c∥b.
2．“等角定理”为两条异面直线所成的角的定义提供了可能性与唯一性，即过空间任一点，作两条直线分别平行于两条异面直线，它们所成的锐角（或直角）都是相等的，而与所取点的位置无关．
【例2】已知棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD、AD的中点．
（1）求证：
四边形MNA1C1是梯形；
（2）求证：
∠DNM＝∠D1A1C1.
【思路启迪】
（1）问可借助中位线及公理4，证明平行；
（2）问可借助“等角定理”求证．
【变式训练】如图，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．求证：
四边形EFGH是平行四边形．
要点三异面直线所成的角
求异面直线所成的角，关键是通过平移法求解．过某一点作平行线．将异面直线所成的角转化为平面角，最后通过解三角形求解．主要以“作，证，算”来求异面直线所成的角，同时，要注意异面直线所成角的范围是（0°，90°]．
【例3】如图，在空间四边形ABCD中，AD=BC=2a，E、F分别是AB、CD的中点，EF=
a，求AD、BC所成的角．
【变式训练3】如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，求异面直线A1E与GF所成的角．
考点巩固
1．若a、b是异面直线，和a、b同时相交的两直线c、d一定是（ ）
A．异面直线 B．相交直线
C．平行直线D．异面或相交直线
2．已知在三棱锥A－BCD中，M、N分别为AB、CD的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．MN≥
（AC＋BD）B．MN≤
（AC＋BD）
C．MN＝
（AC＋BD）D．MN<
（AC＋BD）
3．如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°角；④DM与BN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是（ ）
A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③④
4．若∠AOB＝45°，直线a∥OA，直线a与OB异面，则a与OB所成的角是________．
5．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各组直线：
①AA1与BC；②A1C1与BD；③AC与BD1；④BD与B1C，其中异面角为90°的有______．
6．如图在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，E1，F1分别为棱AD，AB，B1C1，C1D1的中点．求证：
∠EA1F=∠E1CF1.
7．如图，在四面体ABCD中，E、F、M分别是棱AD，BC，AC上的点，且
=
=
=
，已知AB=CD=5，EF=
，求异面直线AB和CD所成的角．
8．在长方体ABCD－A′B′C′D′的面A′C′上有一点P，如图所示，其中P点不在对角线B′D′上．
（1）过P点在空间作一直线l，使l∥直线BD，应该如何作图，并说明理由．
（2）过P点在平面A′C′内作一直线l′，使l′与直线BD成α角，这样的直线有几条？
2．1.3 空间中直线与平面之间的位置关系
2．1.4 平面与平面之间的位置关系
1、考纲要求：
1．了解直线与平面之间的三种位置关系，会用图形语言和符号语言表示．
2．了解平面与平面之间的两种位置关系，会用符号语言和图形语言表示．
2、自主学习
问题1、空间中的两条直线又有怎样的位置关系呢？
观察教室内日光灯管所在直线与黑板的左右侧所在的直线；操场上旗杆所在的直线与长安街所在的直线，杨家坪轻轨线与公路所在的直线，它们的共同特征是什么？
思考：
如下图，长方体ABCD-A′B′C′D′中，线段AB′所在直线与线段CC′所在直线的位置关系如何？
问题2：
归纳总结，形成概念
异面直线:
问题3：
空间中两条直线的位置关系有三种：
问题4：
判断：
下列各图中直线l与m是异面直线吗?
123
456
问题5：
思考：
在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行。
空间中，如果两条直线都与第三条直线平行，是否也有类似的规律?
问题6：
一支笔所在的直线与一个作业本所在的平面，可能有几种位置关系？
问题7：
如图，线段A′B所在直线与长方体的六个面所在平面有几种位置关系？
问题8：
如何用图形语言表示直线与平面的三种位置关系?
问题9：
如何用符号语言表示直线与平面的三种位置关系？
考点突破
1、典型例题
类型一 直线与平面、平面与平面位置关系的画法
【例1】指出图中的图形画法是否正确，若不正确，请你画出正确图形．
【变式训练1】作出下列各小题的图形．
（1）画直线a、b，使a∩α＝A，b∥α；
（2）
（2）画平面α、β、γ，使α∥β，γ∩α＝m，γ∩β＝n；
（3）画平面α、β，直线a、b，使α∩β＝l，a?
α，b?
β，且a∥β，b∩α＝B
类型二 直线与平面位置关系的判断
【例2】如图在正方体ABCDA1B1C1D1中判断下列位置关系：
（1）AD1所在直线与平面BCC1的位置关系是________；
（2）平面A1BC1与平面ABCD的位置关系是________．
【变式训练2】简述下列问题的结论，并画图说明．
（1）直线a?
α，直线b∩a＝A，则b与α的位置关系如何？
（2）直线a?
α，直线b∥a，则b与α的位置关系如何？
类型三 平面与平面的位置关系的判断
【例3】给出的下列四个命题中，其中正确命题的个数是（ ）．
①平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；②平面α内有无数条直线和平面β平行，则α与β平行；③平面α内△ABC的三个顶点到平面β的距离相等，则α与β平行；④若两个平面有无数个公共点，则这两个平面的位置关系是相交或重合．
A．0B．1C．3D．4
【变式训练3】
（1）平面α内有无数条直线与平面β平行，问α∥β是否正确，为什么？
（2）平面α内的所有直线与平面β都平行，问α∥β是否正确，为什么？
【示例】证明：
如果一条直线l经过平面α内一点A，又经过平面α外一点B，则此直线l必与平面α相交．
考点巩固
1．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的（ ）．
A．一条直线不相交B．两条直线不相交
C．无数条直线不相交D．任意一条直线不相交
2．如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面的位置关系为（ ）．
A．平行B．相交
C．直线在平面内D．平行或直线在平面内
3.下列命题中,正确命题的个数是（）
①平行于同一条直线的两个平面平行.
②平行于同一个平面的两个平面平行.
③一个平面内有一条直线与另一平面平行,则这两个平面平行.
④两个平面平行,则分别在这两个平面内的两条直线平行.
A.0B.1C.2D.3
4．两直线l1与l2异面，过l1作平面与l2平行，这样的平面（）．
A．不存在B．有唯一的一个C．有无数个D．只有两个
5．（2012·临沂高一检测）经过平面外两点可作该平面的平行平面的个数是________．
6．下列命题：
①两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合；
②若l，m是异面直线，l∥α，m∥β，则α∥β.
其中错误命题的序号为________．
7．求证：
两条平行线中的一条与已知平面相交，则另一条也与该平面相交．
8．在四面体ABCD中，△ABC与△DBC都是边长为4的正三角形．
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