四川省宜宾市届高三第二次诊断检测数学理试题Word版含答案.docx
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四川省宜宾市届高三第二次诊断检测数学理试题Word版含答案
高2014级第二次诊断性测试题
理科数学
本试卷共4页，23题（含选考题）。
全卷满分150分，考试用时120分钟。
★祝考试顺利★
注意事项：
1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2、选择题的作答：
每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸答题卡上的非答题区域均无效.
3、填空题和解答题的作答：
用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸答题卡上的非答题区域均无效.
4、选考题作答：
先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑，答案写在答题卡上的对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸答题卡上的非答题区域均无效.
5、考试结束后，请将答题卡上交.
第Ⅰ卷
一、选择题：
本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
（1）已知集合
，
，则集合
（A）
（B）
（C）
（D）
（2）已知复数
满足
，则
（A）
（B）
（C）
（D）
（3）等差数列
的前
项和为
，且
，
，则公差
等于
（A）
（B）
（C）
（D）
（4）若非零向量
，满足
，
，则
与
的夹角为
（A）
（B）
（C）
（D）
（5）某厂家为了解广告宣传费与销售轿车台数之间的关系，得到如下统计数据表：
根据数据表可得回归直线方程
，其中
，
，据此模型预测广告费用为
万元时，销售轿车台数为
（A）
（B）
（C）
（D）
（6）将函数
图象上所有点的横坐标缩短为原来的
，纵坐标不变，再向右平移
个单位长度，得到函数
的图象，则下列说法正确的是
（A）函数
的一条对称轴是
（B）函数
的一个对称中心是
（C）函数
的一条对称轴是
（D）函数
的一个对称中心是
（7）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是
（A）
（B）
（C）
（D）
（8）执行下图的程序框图，若输入的
为
，则输出的
为
（A）
（B）
（C）
（D）
（9）三棱锥
内接于半径为
的球
，
过球心
，当三棱锥
体积取得最大值时，三棱锥
的表面积为
（A）
（B）
（C）
（D）
（10）已知定义在
上的奇函数
满足
，当
时，
，则
（A）
（B）
（C）
（D）
（11）已知点
分别是双曲线
的左右两焦点，
过点
的直线
与双曲线的左右两支分别交于
两点，若
是以
为顶角的等腰三角形，其中
，则双曲线离心率
的取值范围为
（A）
（B）
（C）
（D）
（12）已知函数
有且仅有四个不同的点关于直线
的对称点在直线
上，则实数
的取值范围为
（A）
（B）
（C）
（D）
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。
第（13）～（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第（22）～
（23）题为选考题，考生根据要求作答.
二.填空题：
本题共4小题，每小题5分.
（13）
展开式中的常数项是．
（14）从
这七个数中，随机抽取
个不同的数，则这
个数的和为偶数的概率是．
（15）设直线
：
，圆
：
，若在圆
上存在两点
，
，在直线
上存在一点
，使得
，则
的取值范围是_________．
（16）在
中，
，其面积为
，则
的最大值是．
三.解答题：
解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
（17）（本小题满分12分）
在
中，
分别是角
的对边，
成等比数列，且
．
（Ⅰ）求
的大小；
（Ⅱ）若
，且
，求
的面积．
（18）（本小题满分12分）
在某单位的职工食堂中，食堂每天以
元/个的价格从面包店购进面包，然后以
元/个的价格出售．如
果当天卖不完，剩下的面包以
元/个的价格卖给饲料加工厂．根据以往统计资料，得到食堂每天面包需求量的频率分布直方图如下图所示．食堂某天购进了90个面包，以
（单位：
个，
）表示面包的需求量，
（单位：
元）表示利润．
（Ⅰ）求
关于
的函数解析式；
（Ⅱ）根据直方图估计利润
不少于
元的概率；
（
）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中间值的概率（例如：
若需求量
，则取
，且
的概率等于需求量落入
的频率），求
的分布列和数学期望．
（19）（本小题满分12分）
如甲图所示，在矩形
中，
，
，
是
的中点，将
沿
折起到
位置，使平面
平面
，得到乙图所示的四棱锥
．
（Ⅰ）求证：
平面
；
（Ⅱ）求二面角
的余弦值．
（20）（本小题满分12分）
在平面直角坐标系
中，过椭圆
右焦点的直线
交椭圆
于
两点，
为
的中点，且直线
的斜率为
．
（Ⅰ）求椭圆
的方程；
（Ⅱ）设另一直线
与椭圆
交于
两点，原点
到直线
的距离为
，求
面积的最大值．
（21）（本小题满分12分）
设函数
．
（Ⅰ）讨论函数
的单调性；
（Ⅱ）若函数
有两个极值点
，且
，求证：
．
请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．
（22）（本小题满分10分）选修4-4：
坐标系与参数方程
在直角坐标系
中，已知点
，曲线
的参数方程为
．以原点为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线
的极坐标方程为
．
（Ⅰ）判断点
与直线
的位置关系并说明理由；
（Ⅱ）设直线
与曲线
的两个交点分别为
，求
的值．
（23）（本小题满分10分）选修4-5：
不等式选讲
已知函数
，
，且
的解集为
．
（Ⅰ）解不等式：
；
（Ⅱ）若
均为正实数，且满足
，求证：
．
高2014级第二次诊断性测试题（理工农医类）
说明：
一、本解答给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可比照评分意见制订相应的评分细则．
二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半，如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
D
B
B
C
C
B
A
D
B
A
A
二、填空题
13.
14.
15.
16.
三、解答题
（17）解：
（Ⅰ）由
是一个等比数列得：
，所以由
得
，
，
，
又
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（４分）
（Ⅱ）由
得：
，
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（８分）
当
，由题意，
，
，所以由正弦定理得：
，
，故由勾股定理得：
，
．．．．．．．．．．．．．．．．．（１０分）
当
时，由题意，
，
，
所以由余弦定理得：
，
，
，
，
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（１２分）
综上
得：
的面积：
（18）（Ⅰ）由题意，当
时，利润
，
当
时，利润
，
即
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（４分）
（Ⅱ）由题意，设利润
不少于100元为事件
，由（Ⅰ）知，利润
不少于100元时，即
，
，即
，
由直方图可知，当
时，所求概率：
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（７分）
（
）由题意，由于
，
，
，
故利润
的取值可为：
，
，
，
，
且
，
，
，
，．．．．．．．．．．．．（９分）
故
的分布列为：
利润的数学期望
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（１２分）
（19）解：
（Ⅰ）如下图，取
中点
，连
，
在
中，
，
，又
平面
平面
，
平面
，
平面
，
，即
．
在
中，易得
，
，
，
，又
，
平面
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（６分）
（Ⅱ）由题意，取
中点
，以
为坐标原点，分别以
，
为
轴正方向建立空间直角坐标系
如图所示，则
，由（Ⅰ）知：
是平面
的法向量，设平面
的法向量为
，则
，令
，则
，
，
，设二面角
的平面角为
，
则
，．．．．．．．．．．（１１分）
由图可知，二面角
的平面角为钝角，
，即：
二面角
的余弦值为
．．．．．．．．．．．．．．（１２分）
（20）解：
（Ⅰ）由题意，直线
与
轴交于焦点：
，
，设
，
，
，则：
，
，
，
，又
，
，
即椭圆
的方程为：
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（４分）
（Ⅱ）由题意，
当直线
的斜率不存在时或者斜率为0时，易得
；．．．．．．．．（６分）
当直线
的斜率存在时且不为0时，设直线
的方程为：
，由题意，原点
到直线
的距离为
，故
，
．设交点
的坐标分别为：
，
，
则：
，
，
由题意
，
．
，
当且仅当
，即
时等号成立，
；
综上所述，当直线
的斜率
时，
即
时，
面积的最大值
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（１２分）
（21）解：
（Ⅰ）函数
的定义域为
，…………1分
………2分
令
，则
．
①当
时，
，从而
，故函数
在
上单调递增；
②当
时，
的两个根为
，
当
时，
，此时，当
函数
单调递减;当
函数
单调递增．
当
时，
此时函数
在区间
单调递增;当
函数
单调递减．
综上:
当
时，函数
在
上单调递增；当
时，函数
在区间
单调递增;在区间
函数
单调递减;当
时，
函数
单调递减,
函数
单调递增．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（６分）
（Ⅱ）当函数
有两个极值点时,
且
即
令
令
函数单调递增;
令
函数单调递减;
．．．．．
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