第3课时 二次函数yaxh2的图象与性质.docx
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第3课时二次函数yaxh2的图象与性质
课题
第3课时 二次函数y＝a（x－h）2的图象与性质
授课人
教
学
目
标
知识技能
1.能画出二次函数y＝a（x－h）2的图象，并理解它的开口方向、对称轴、顶点坐标及增减性等；
2.掌握二次函数y＝a（x－h）2的图象的平移规律．
数学思考
采用多媒体教学，逐步引导学生运用观察、分析、比较、抽象、类比、概括等方法，直观呈现抛物线的运动和变化过程．
问题解决
让学生经历二次函数y＝a（x－h）2的图象及性质的探索过程，加深理解二次函数y＝a（x－h）2的图象及性质．
情感态度
向学生渗透事物总是不断运动、变化和发展的观点，进一步培养学生数形结合的思想、动手操作能力和逻辑思维能力.
教学
重点
掌握二次函数y＝a（x－h）2的图象和性质．
教学
难点
掌握抛物线y＝a（x－h）2与抛物线y＝ax2之间的平移规律，理解a，h对二次函数图象的影响．
授课
类型
新授课
课时
教具
多媒体
教学活动
（续表）
教学
步骤
师生活动
设计意图
回顾
1.二次函数y＝－x2的图象不具有的性质是（C）
A．开口向下
B．对称轴是y轴
C．在对称轴的左侧图象是下降的
D．最高点是原点
2．两条抛物线y＝3x2与y＝－3x2在同一平面直角坐标系中，下列说法错误的是（D）
A．顶点坐标相同 B．对称轴相同
C．开口方向相反D．都有最小值
学生自主解答问题，教师做好提示和点评．
以回顾的形式进行引入，不仅复习回顾了已学的函数的图象和性质，也为学习新知识奠定了基础.
活动
一：
创设
情境
导入
新课
【课堂引入】
问题：
在同一平面直角坐标系中，画出二次函数y＝
x2和y＝
的图象，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．
学生在准备好的坐标纸上，动手列表、描点、连线，画出两函数的图象．
在列表过程中，教师允许学生交流计算的准确性．
教师巡视指导，及时做好纠正和点拨．
依据画二次函数图象的步骤依次画出各个二次函数的图象，主要培养学生的画图能力和严谨的学习态度.
活动
二：
实践
探究
交流
新知
1.新知探究
观察活动一中所画图象，然后进行填表：
函数
开口方向
对称轴
顶点坐标
最值
增减性
y＝
x2
____
______
____
______
______
y＝
____
______
____
______
______
学生自主完成填表后，师生共同探讨下列问题：
二次函数y＝
x2的图象与y＝
的图象有什么关系？
2.总结归纳：
问题：
概括二次函数y＝a（x－h）2的图象的性质.
师生活动：
学生小组讨论后，师生共同归纳：
（续表）
活动
二：
实践
探究
交流
新知
二次函数y＝a（x－h）2的图象的对称轴是直线x＝h，顶点坐标是（h，0），当a>0时，开口向上，当xh时，y随x的增大而增大，当x＝h时，y有最小值0；当a<0时，开口向下，当xh时，y随x的增大而减小，当x＝h时，y有最大值0.
分别说出下列二次函数图象的开口方向、对称轴及顶点坐标．
（1）y＝2（x＋1）2；
（2）y＝－2（x－3）2；（3）y＝（x－1）2；
（4）y＝－（x＋4）2.
3．规律探究
在观察所画二次函数的图象后，思考并解答下列问题：
（1）抛物线y＝－
，y＝－
x2，y＝－
的形状和大小之间有什么关系？
（2）把抛物线y＝－
x2向__左__平移__1__个单位，就得到抛物线y＝－
；
（3）把抛物线y＝－
x2向__右__平移__1__个单位，就得到抛物线y＝－
.
教师用多媒体展示图象的变化情况，学生观察、作答，并思考平移的规律．
4．提出问题
讨论：
二次函数y＝ax2的图象通过平移得到y＝a（x－h）2的图象时，顶点、对称轴发生了怎样的变化？
师生活动：
学生小组内讨论得出结论，教师给予补充和总结：
抛物线y＝ax2的顶点坐标是（0，0），对称轴是y轴，抛物线y＝a（x－h）2的顶点坐标是（h，0），对称轴是直线x＝h.
通过本环节的学习，让学生尝试总结在同一平面直角坐标系下的二次函数图象的平移规律，并且尝试用自己的语言描述，而后教师总结．培养学生的语言表达及归纳能力.
活动
三：
开放
训练
体现
应用
【应用举例】
例1 二次函数y＝－2（x－4）2的图象是由抛物线y＝－2x2向__右__平移__4__个单位得到的；二次函数y＝－2（x－4）2的图象开口向__下__，对称轴是__直线x＝4__，当x＝__4__时，y有最__大__值是__0__．
例2 已知二次函数y＝a（x－h）2的图象的对称轴是直线x＝3，且过点（1，1），试确定该抛物线的表达式．
解：
因为二次函数y＝a（x－h）2图象的对称轴是直线x＝3，所以y＝a（x－3）2，再将点（1，1）代入表达式，得1＝a（1－3）2，解得a＝
，所以该抛物线的表达式为y＝
（x－3）2.
学生进行解答问题后，学生分组展开讨论，待学生充分交流后，教师组织学生展示自己的答案，共同得到正确的结论.
在掌握基础知识和基本技能的基础上，怀着浓厚的兴趣去进行深层次的合作探究，体验解决问题的过程，提高学生的思维能力.
（续表）
活动
三：
开放
训练
体现
应用
【拓展提升】
1．将抛物线y＝ax2向左平移后所得的抛物线的顶点坐标为（－2，0），且新抛物线经过点（1，3）．
（1）求新抛物线的表达式；
（2）画出新抛物线．
解：
（1）由题意，设新抛物线的表达式为y＝a（x＋2）2，将点（1，3）代入，得3＝9a，解得a＝
，所以新抛物线的表达式为y＝
（x＋2）2.
（2）画图略．
图1－2－26
2.如图1－2－26，抛物线y＝a（x＋1）2的顶点为A，与y轴的负半轴交于点B，且OB＝OA.
（1）求抛物线的表达式；
（2）若点C（－3，b）在该抛物线上，求S△ABC的值．
给予学生一定的时间去思考，充分讨论，争取让学生自己得到正确答案，对学习有困难的学生适当引导、点拨．
跨章节内容的综合考查可逐步提高学生解决复杂问题的能力.
活动
四：
课堂
总结
反思
【达标测评】
1．二次函数y＝3（x＋4）2的图象是__抛物线__，开口__向上__，对称轴是直线__x＝－4__，当x＝__－4__时，y有最__小__值，是__0__.
2．将抛物线y＝m（x＋n）2向左平移2个单位后，得到抛物线y＝－4（x－4）2，则m＝__－4__，n＝__－6__．
3．一条抛物线的对称轴是直线x＝1，且与x轴有唯一的公共点，并且开口向下，则这条抛物线的表达式为__答案不唯一，如y＝－（x－1）2__（任写一个即可）．
4．抛物线y＝4（x－2）2与y轴的交点坐标是__（0，16）__，与x轴的交点坐标为__（2，0）__．
5．已知抛物线y＝a（x－h）2的对称轴是直线x＝－2，且过点（1，－3）．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）画出该函数的大致图象；
（3）从图象上观察，当x为何值时，y随x的增大而增大？
当x为何值时，函数有最大值（或最小值）?
学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．
通过设置达标测评，进一步巩固所学新知，同时检测学习效果，做到“堂堂清”.
（续表）
活动
四：
课堂
总结
反思
【课堂总结】
1．课堂总结：
（1）本节课主要学习了哪些知识？
学习了哪些数学思想和方法？
（2）本节课还有哪些疑惑？
说一说！
教师强调：
①二次函数y＝a（x－h）2的图象特征，并与其他函数相比较；②函数y＝a（x－h）2图象的平移规律．
2．作业布置：
教材P18习题1.2A组T2（3）（4）．
小结环节的设置能够让学生养成自主归纳课堂重点的习惯，提高学生的学习能力.
【知识网络】
提纲挈领，重点突出.
【教学反思】
①[授课流程反思]
在新课导入环节中，在引导学生观察函数图象上下功夫，同时给学生设置有悬念的问题，使学生积极思考问题；在探究新知环节中，让学生经历类比联想、归纳总结的过程，应用由特殊到一般的思想，增强学生的观察、分析、归纳和表达能力．
②[讲授效果反思]
引导学生注意两点：
（1）明确记忆二次函数y＝a（x－h）2图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；
（2）二次函数y＝a（x－h）2图象的平移规律．
③[师生互动反思]
教学过程中，教师对学生进行引导，使他们能够积极投入到对数学知识的探索过程中来，养成探索的好习惯．
④[习题反思]
好题题号___________________________________________
错题题号___________________________________________
反思教学过程和教师表现，进一步提升操作流程和自身素质.
典案二 导学设计
一、知识回顾：
二、探索新知：
画出二次函数y＝－
（x＋1）2，y＝－
（x－1）2的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴、顶点以及最值、函数值的变化情况．先列表：
x
…
－4
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
…
y＝－
（x＋1）2
…
…
y＝－
（x－1）2
…
…
在坐标纸上描点并画图：
（1）观察图象，填表：
函数
开口方向
顶点
对称轴
最值
对称轴右侧的增减性
y＝－
（x＋1）2
当x＝________时，y有最________值，是__________
y随x的增大而__________
y＝－
（x－1）2
当x＝________时，y有最________值，是________
y随x的增大而________
（2）请在图上把抛物线y＝－
x2也画上去（草图）．
①抛物线y＝－
（x＋1）2，y＝－
x2，y＝－
（x－1）2的形状大小________．
②把抛物线y＝－
x2向______平移________个单位，就得到抛物线y＝－
（x＋1）2；把抛物线y＝－
x2向______平移________个单位，就得到抛物线y＝－
（x－1）2.
课内探究
归纳：
二次函数y＝a（x－h）2图象与性质
开口方向
顶点
对称轴
有最高点或
最低点
最值
对称轴右侧的增减性
a>0
当x＝________时，y有最________值，是__________
y随x的增大而__________
a<0
当x＝________时，y有最________值，是________
y随x的增大而__________
（1）抛物线y＝a（x－h）2与y＝－a（x－h）2关于__________对称，开口大小__________．
（2）对于抛物线y＝a（x－h）2与y＝ax2的图象，形状________，位置__________．
当h>0时，抛物线y＝a（x－h）2的图象可由y＝ax2的图象向________平移________个单位得到；
当h<0时，抛物线y＝a（x－h）2的图象可由y＝ax2的图象向________平移________个单位得到．
小试牛刀：
1．运用结论填下表
图象（草图）
开口方向
顶点
对称轴
最值
函数值的变化情况
y＝
x2
y＝－5（x＋3）2
y＝3（x－3）2
2.抛物线y＝4（x－2）2与y轴的交点坐标是________，与x轴的交点坐标为________．
3．
（1）把抛物线y＝3x2向右平移4个单位后，得到的抛物线的表达式为________．
（2）把抛物线y＝3x2向左平移6个单位后，得到的抛物线的表达式为________．
4.
（1）将抛物线y＝－
（x－1）2向右平移2个单位后，得到的抛物线表达式为__________．
（2）将抛物线y＝－
（x－4）2向________平移________个单位得到y＝－
x2.
5．写出一个顶点是（5，0），形状、开口方向与抛物线y＝－2x2都相同的二次函数表达式__________．
当堂巩固检测
（1）二次函数y＝2（x＋5）2的图象是________，开口________，对称轴是________，当x＝____________时，y有最________值，是________．
（2）二次函数y＝－3（x－4）2的图象是由抛物线y＝－3x2向________平移________个单位得到的；开口________，对称轴是________，当x＝________时，y有最__________值，是__________．
（3）将二次函数y＝2x2的图象向右平移3个单位后得到函数________的图象，其对称轴是________，顶点是________，当x________时，y随x的增大而增大；当x________时，y随x的增大而减小．
（4）将二次函数y＝－3（x－2）2的图象向左平移3个单位后得到函数____________的图象，其顶点坐标是________，对称轴是__________，当x＝________时，y有最________值，是________．
（5）抛物线y＝4（x－3）2的开口方向__________，对称轴是__________，顶点坐标是__________，抛物线有最________点，当x＝__________时，y有最________值，其值为__________，抛物线与x轴的交点坐标为________，与y轴的交点坐标为________．
三、课时小结
y＝ax2
y＝ax2＋k
y＝a（x－h）2
开口方向
a＞0
a＜0
顶点
对称轴
最值
函数值的变化情况
四、课后巩固检测
1．抛物线y＝2（x＋3）2的开口__________；顶点坐标为________；对称轴是________；
当x＞－3时，y随x的增大而__________；当x＝－3时，y有最________值是________．
2．抛物线y＝m（x＋n）2向左平移2个单位后，得到的函数表达式是y＝－4（x－4）2，则m＝________，n＝________．
3．二次函数y＝a（x＋h）2（a≠0）的图象由y＝
x2向右平移得到的，且过点（1，2），试说明向右平移了几个单位？
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