中小学资料版高中数学 第一章 立体几何初步 123 第2课时 平面与平面垂直学案 新人教B版必修2.docx

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中小学资料版高中数学第一章立体几何初步123第2课时平面与平面垂直学案新人教B版必修2

1.2.3第2课时　平面与平面垂直

学习目标

　1.理解面面垂直的定义，并能画出面面垂直的图形.2.掌握面面垂直的判定定理及性质定理，并能进行空间垂直的相互转化.3.掌握面面垂直的证明方法，并能在几何体中应用．

知识点一　平面与平面垂直的定义

1．条件：

如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直．

2．结论：

两个平面互相垂直．

3．记法：

平面α，β互相垂直，记作α⊥β.

知识点二　平面与平面垂直的判定定理

思考　建筑工人常在一根细线上拴一个重物，做成“铅锤”，用这种方法来检查墙与地面是否垂直．当挂铅锤的线从上面某一点垂下时，如果墙壁贴近铅锤线，则说明墙和地面什么关系？

此时铅锤线与地面什么关系？

梳理　平面与平面垂直的判定定理

文字语言

如果一个平面过另一个平面的________，则这两个平面互相垂直

图形语言

符号语言

a⊥α，________⇒α⊥β

知识点三　平面与平面垂直的性质定理

思考　黑板所在平面与地面所在平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？

梳理　

文字语言

图形语言

符号语言

如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内________垂直于另一个平面

α⊥β，α∩β＝CD，BA⊂α，BA⊥CD，B为垂足⇒BA⊥β

类型一　面面垂直的判定

例1　如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上，求证：

平面AEC⊥平面PDB.

反思与感悟　应用判定定理证明平面与平面垂直的基本步骤

跟踪训练1　如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB＝90°，AC＝

AA1，D是棱AA1的中点．证明：

平面BDC1⊥平面BDC.

类型二　面面垂直的性质定理及应用

例2　如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.

求证：

BC⊥AB.

反思与感悟　证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理．本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理．利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：

（1）两个平面垂直．

（2）直线必须在其中一个平面内．（3）直线必须垂直于它们的交线．

跟踪训练2　如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G为AD边的中点．

求证：

（1）BG⊥平面PAD；

（2）AD⊥PB.

类型三　垂直关系的综合应用

例3　如图所示，△ABC为正三角形，CE⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝AC＝2BD，M，N分别是AE，AC的中点，求证：

（1）DE＝DA；

（2）平面BDMN⊥平面ECA；

（3）平面DEA⊥平面ECA.

反思与感悟　在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．每一种垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的，其转化关系如下：

跟踪训练3　如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点，求证：

（1）PA⊥底面ABCD；

（2）BE∥平面PAD；

（3）平面BEF⊥平面PCD.

1．下列四个命题

①垂直于同一条直线的两条直线相互平行；

②垂直于同一个平面的两条直线相互平行；

③垂直于同一条直线的两个平面相互平行；

④垂直于同一个平面的两个平面相互平行．

其中错误的命题有（　　）

A．1个B．2个

C．3个D．4个

2.如图，设P是正方形ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，则平面PAB与平面PBC、平面PAD的位置关系是（　　）

A．平面PAB与平面PBC、平面PAD都垂直

B．它们两两垂直

C．平面PAB与平面PBC垂直，与平面PAD不垂直

D．平面PAB与平面PBC、平面PAD都不垂直

3．如图，在四面体ABCD中，已知AB⊥AC，BD⊥AC，那么D在面ABC内的正投影H必在（　　）

A．直线AB上B．直线BC上

C．直线AC上D．△ABC内部

4．如图所示，已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，且AF＝DE，AD＝6，则EF＝________.

5.如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面四边形ABCD是平行四边形，SC⊥平面ABCD，E为SA的中点．

求证：

平面EBD⊥平面ABCD.

1．面面垂直的性质定理揭示了“面面垂直、线面垂直及线线垂直”间的内在联系，体现了数学中的化归转化思想，其转化关系如下：

2．运用平面垂直的性质定理时，一般需要作铺助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样把面面垂直转化为线面垂直或线线垂直．

答案精析

问题导学

知识点二

思考　都是垂直．

梳理　垂线　a⊂β

知识点三

思考　容易发现墙壁与墙壁所在平面的交线与地面垂直，因此只要在黑板上画出一条与这条交线平行的直线，则所画直线必与地面垂直．

梳理　垂直于它们交线的直线

题型探究

例1　证明　设AC∩BD＝O，连接OE，

∵AC⊥BD，AC⊥PD，PD，BD为平面PDB内两条相交直线，

∴AC⊥平面PDB.

又∵AC⊂平面AEC，

∴平面AEC⊥平面PDB.

跟踪训练1　证明　由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC＝C，

所以BC⊥平面ACC1A1.

又DC1⊂平面ACC1A1，

所以DC1⊥BC.

由题设知∠A1DC1＝∠ADC＝45°，所以∠CDC1＝90°，即DC1⊥DC.又DC∩BC＝C，所以DC1⊥平面BDC.又DC1⊂平面BDC1，所以平面BDC1⊥平面BDC.

例2　证明　如图，在平面PAB内，

作AD⊥PB于D.

∵平面PAB⊥平面PBC，

且平面PAB∩平面PBC＝PB.

∴AD⊥平面PBC.

又BC⊂平面PBC，

∴AD⊥BC.

又∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，又∵PA∩AD＝A，∴BC⊥平面PAB.

又AB⊂平面PAB，∴BC⊥AB.

跟踪训练2　证明　

（1）平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，

又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，

∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD.

∴BG⊥平面PAD.

（2）由

（1）可知BG⊥AD，PG⊥AD.

又BG∩PG＝G，

∴AD⊥平面PBG，又PB⊂平面PBG，

∴AD⊥PB.

例3　解　

（1）取CE的中点F，连接DF，易知DF∥BC，

因为CE⊥平面ABC，

所以CE⊥BC，

所以CE⊥DF.

因为BD∥CE，所以BD⊥平面ABC，

所以BD⊥AB.

在Rt△EFD和Rt△DBA中，

因为EF＝

CE＝DB，DF＝BC＝AB，

所以Rt△EFD≌Rt△DBA，

所以DE＝DA.

（2）因为EC⊥平面ABC，所以EC⊥BN，

因为△ABC为正三角形，

所以BN⊥AC.

因为EC∩AC＝C，

所以BN⊥平面ECA.

又因为BN⊂平面BDMN，

所以平面BDMN⊥平面ECA.

（3）因为M，N分别是AE，AC的中点，

所以MN綊CF綊BD，

所以四边形MNBD是平行四边形，

所以DM∥BN，

由

（2）知BN⊥平面ECA，

所以DM⊥平面ECA.

又因为DM⊂平面DEA，

所以平面DEA⊥平面ECA.

跟踪训练3　证明　

（1）∵PA⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，由平面和平面垂直的性质定理可得PA⊥平面ABCD.

（2）∵AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，E和F分别是CD和PC的中点，故四边形ABED为平行四边形，故有BE∥AD.

又AD⊂平面PAD，BE⊄平面PAD，

∴BE∥平面PAD.

（3）在平行四边形ABED中，由AB⊥AD可得，ABED为矩形，故有BE⊥CD.①

由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥AB，再由AB⊥AD可得AB⊥平面PAD，

∴CD⊥平面PAD，故有CD⊥PD.

再由E、F分别为CD和PC的中点，可得EF∥PD，

∴CD⊥EF.②

而EF和BE是平面BEF内的两条相交直线，故有CD⊥平面BEF.

由于CD⊂平面PCD，

∴平面BEF⊥平面PCD.

当堂训练

1．B　2.A　3.A

4．6

解析　∵AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，∴AF∥DE.

又AF＝DE，∴四边形AFED为平行四边形，故EF＝AD＝6.

5．证明　连接AC与BD交于O点，连接OE.

∵O为AC的中点，E为SA的中点，

∴EO∥SC.∵SC⊥平面ABCD，

∴EO⊥平面ABCD.

又∵EO⊂平面EBD，∴平面EBD⊥平面ABCD.