线材下料问题线性规划样本.docx
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线材下料问题线性规划样本
一、问题陈述
（下料问题）某工厂要做150套钢架，每套钢架分别需要长度为2.5米、2.6米和1.9米圆钢各一套。
已知原料每根长10米，问应如何下料，可使所用原料最省？
二、问题分析
该问题是运筹学在实际运用中比较典型“线材下料问题”，从第一某些问题陈述中可以看出，该问题普通提法是，要做N套产品，需要用规格不同M种线材，各种规格长度分别为l1，l2，l3，...，lm，每一套产品需要不同规格原料分别为m1，m2，m3，...，mm根，已知原材料长度为一定长度，问应当如何下料，从而使原材料耗用最省。
因而，在解决此类问题时应分两步考虑：
1、拟定可行切割模式：
即按照客户需要在原材料钢材上安排切割一种组合；2、拟定合理切割模式：
合理切割模式预料不应当不不大于或等于客户需要钢材最小尺寸。
对于如上第一分部提出线材下料问题，可以用运筹学中线性规划办法求解，通过建立线性规划模型来详细分析。
三、模型建立
建立线性规划模型时，对于约束条件这里为切割要满足客户对钢材数量最低规定，本题将对原则钢材切割（2.5米、2.6米、1.9米），从而组合成一套钢架，规定为150套等因素建立约束条件。
但是，对于目的函数而言，会有这样两种状况：
1、求钢材原材料总根数至少；2、求钢材原材料余料至少。
在本文分析中，咱们选取前者，即：
求解使用钢材原材料总根数至少。
为了建立模型以便，咱们把下料后余下不大于最短用料钢材称为废弃钢材，把下料得到长为2.5m，2.6m，1.9m钢材称为规格钢材，把10米长原材料钢材称为原钢。
因而，所用原钢可以分解成三某些：
1、成套运用规格钢材；2、剩余规格钢材；3、废弃钢材。
通过度析计算，可以得到原钢11种下料方式如下：
表1：
一条原料钢材11种切法
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X7
X8
X9
X10
X11
2.5m
4
3
2
2
1
1
1
0
0
0
0
2.6m
0
0
1
0
2
0
1
3
2
1
0
1.9m
0
1
1
2
1
3
2
1
2
3
5
Sum
10
9.4
9.5
8.8
9.6
8.2
8.9
9.7
9
8.3
9.5
Remain
0
0.6
0.5
1.2
0.4
1.8
1.1
0.3
1
1.7
0.5
咱们设决策变量：
采用第i种下料方式有xi根原钢，i=1,2,3,...,11.此外设立辅助变量：
剩余2.5米规格钢材为y1根，剩余2.6米规格钢材为y2根，剩余1.9米规格钢材为y3根。
因而得到模型一：
模型一：
剩余规格钢材当作废弃钢材状况
MinZ=0*x1+0.6*x2+0.5*x3+1.2*x4+0.4*x5+1.8*x6+1.1*x7+0.3*x8
+1*x9+1.7*x10+0.5*x11+2.5*y1+2.6*y2+1.9*y3
（1）
4*x1+3*x2+2*x3+2*x4+x5+x6+x7-y1=150
s.t.x3+2*x5+x7+3*x8+2*x9+x10-y2=150
x2+x3+2*x4+x5+3*x6+2*x7+x8+2*x9+3*x10+5*x11-y3=150
xi>=0，yj>=0,且为整数
i=1,2,3...11,j=1,2,3
（2）
（3）
由
（1）、
（2）构成是求废弃钢材至少整数线性规划模型。
同步，很容易联想到另一种模型，是由
（2）、（3）构成求所用原料钢材至少整数线性规划模型。
模型二：
剩余规格钢材（可同原钢同样可以再运用），不当作废弃钢材状况
MinZ=0*x1+0.6*x2+0.5*x3+1.2*x4+0.4*x5+1.8*x6+1.1*x7+0.3*x8
+1*x9+1.7*x10+0.5*x11（4）
4*x1+3*x2+2*x3+2*x4+x5+x6+x7>=150
s.t.x3+2*x5+x7+3*x8+2*x9+x10>=150（5）
x2+x3+2*x4+x5+3*x6+2*x7+x8+2*x9+3*x10+5*x11>=150
xi>=0，i=1,2,3...11
由（4）、（5）构成是求废弃钢材至少整数线性规划模型具备一定实际意义，特别是当最短规格钢材长度较长时，剩余规格钢材就可以再次被运用。
在此，咱们应当注意到，由（3）、（5）构成整数线性规划模型就是模型一。
由于在建立模型一和模型二时候，考虑了剩余规格钢材不同解决状况，使这个问题变得清晰了，所得到模型也比较全面，基本没有漏洞和缺陷，并且比较容易在这些基本上修改或添加某些其他约束条件（例如：
各种规格钢材下料成套时不同比例等等），因此，咱们建立线材下料问题模型是可行。
基于以上分析，咱们选取（3）、（5）组合而成模型和（4）、（5）组合而成模型进行详细求解，从而求出组合出150套圆钢所需要至少原料钢材。
求解模型：
（3）
4*x1+3*x2+2*x3+2*x4+x5+x6+x7>=150
s.t.x3+2*x5+x7+3*x8+2*x9+x10>=150（5）
x2+x3+2*x4+x5+3*x6+2*x7+x8+2*x9+3*x10+5*x11>=150
xi>=0，i=1,2,3...11
此模型是设定最小使用原料钢材条数为目的值进行求解。
MinZ=0*x1+0.6*x2+0.5*x3+1.2*x4+0.4*x5+1.8*x6+1.1*x7+0.3*x8
+1*x9+1.7*x10+0.5*x11（4）
4*x1+3*x2+2*x3+2*x4+x5+x6+x7>=150
s.t.x3+2*x5+x7+3*x8+2*x9+x10>=150（5）
x2+x3+2*x4+x5+3*x6+2*x7+x8+2*x9+3*x10+5*x11>=150
xi>=0，i=1,2,3...11
此模型时设定最小废弃钢材为目的值进行求解。
四、办法选取
指引思路：
线性规划求解思路
选取办法：
Excel规划求解
使用工具：
Excel工具
五、求解过程
1、框架建立
2、模式调节
3、计算原料钢材使用及剩余钢材
4、设立目的函数及变量
Ⅰ、以模型（3）、（5）组合而成求解模型设定目的值。
阐明：
目的函数单元格D9即为咱们所求至少使用原料钢材条数。
其详细在excel中操作为D9=C12+D12+E12+F12+G12+H12+I12+J12+K12+L12+M12.
Ⅱ、以模型（4）、（5）组合而成求解模型设定目的值。
阐明：
目的函数单元格D9即为咱们所求至少剩余废弃钢材。
其详细在excel中操作为:
D9=C7*B12+D7*C12+E7*D12+F7*E12+G7*F12+H7*G12+I7*H12+J7*I12+K7*J12
+L7*K12+M7*L12
5、设立约束条件
阐明：
约束条件单元格C15、C16、C17分别为规格钢材2.6m、2.5m、1.9m所求至少使用条数。
其中：
C15=C12*4+D12*3+E12*2+F12*2+G12+H12+I12;
C16=E12+G12*2+I12+J12*3+K12*2+L12;
C17=D12+E12+F12*2+G12+H12*3+I12*2+J12+K12*2+L12*3+M12*5;
6、运用规划求解工具
Excel:
工具-规划求解-依次输入目的单元格、可变单元格、约束条件进行求解。
其中，点击规划求解参数选项框右边选项按钮，在弹出选项框中选中采用线性模型和假定非负。
求解成果如下图：
Ⅰ、以模型（3）、（5）组合而成求解模型求解成果。
从上表可以直接得出：
最小原料钢材使用条数为108条。
但实际使用状况为107.5条，多切割出来0.5条（（152-150）*2.5）米）。
Ⅱ、以模型（4）、（5）组合而成求解模型设定目的值。
从上表可以直接看得，最小剩余废弃钢材为25米。
但实际剩余废弃钢材为30米（（152-150）*2.5+25）。
六、答案分析
由上图可知，按照模式1切38条原料钢材，按照模式8切原料钢材50条，按照模式11切原料钢材20条，从而可以得到：
2.6米规格钢材152（38*4）条，2.5米规格钢材150（50*3）条，1.9米规格钢材150（50*1+20*20）条。
同步，可以从得出来数据算出剩余废弃钢材为30米，其中包括多切割出2条2.5米规格钢材共5米，按照模式8切割剩余废弃钢材15米（0.3*50）以及按照模式11切割剩余废弃钢材10米（0.5*20）。
通过度别设立目的值为最小使用原料钢材使用条数和最小剩余废弃钢材计算，咱们得出相似成果，即切割2.5米规格钢材152条，2.6米规格钢材150条以及1.9米规格钢材150条，同步剩余废弃钢材为30米，使用原料钢材108条。
但是，对不同目的值设定就一定是会得出相似成果吗？
在这里，咱们引出另一种状况来进行对比分析。
如题：
某工厂要做100套钢架，每套钢架需要长度分别为2.9米，2.1米和1.5米圆钢各一根。
已知原料每根长7.4米，问应当如何下料，可以使所用原料最省？
在这咱们运用之前分析，分别设定最小使用原料条数和最小剩余材料为目的值进行模型建立，如下：
X1
X2
X3
X4
X5
2.9米
1
2
0
1
0
2.1米
0
0
2
2
1
1.5米
3
1
2
0
3
余料
0
0.1
0.2
0.3
0.8
设定最小使用原料条数为目的值模型：
MinZ=x1+x2+x3+x4+x5
x1+2*x2+x4>=100
2*x3+2*x4+x5>=100
3*x1+x2+2*x3+3*x5>=100
xi>=0（i=1,2,...5）
设定最小余料为目的值模型：
MinZ=0*x1+0.1*x2+0.2*x3+0.3*x4+0.8*x5
x1+2*x2+x4>=100
2*x3+2*x4+x5>=100
3*x1+x2+2*x3+3*x5>=100
xi>=0（i=1,2,...5）
对这两个模型进行求解，有：
最小余料为目的值模型解：
最小原料使用条数为目的值模型解：
由以上两种模型解答可知：
在以最小余料为目的值进行求解时候，得出原料使用条数为150条，而以最小原料使用条数为目的值进行求解时候，得出原料使用条数为90条。
综合两道题目比较，可知，两种类型模型设定是会得到不同解答。
因而，在不保证将来多余规格材料与否有用时候，这就也许会导致原料更大挥霍，因此，对此类问题求解，应多采用以最小原料使用条数为目的值模型进行求解。
七、总结
通过上面分析推导，对于线材下料线性规划模型，目的函数就可以简化为两种明确状况来考虑，当咱们下料问题是一次行为时，直接求原料钢材总根数至少，而当咱们下料问题是多次行为，每次问题需求各种规格钢材长度是不变，并且下料模式中没有余料为零状况下，才也许考虑使用设立余料最小模型进行求解。
因而，鉴于对题目所规定余料至少使用条件规定，咱们普通用原料总根数至少作为目的函数来解决线材下料问题。
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