期权定价理论.docx

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期权定价理论

期权定价理论

期权定价是所有金融应用领域数学上最复杂的问题之一。

第一个完整的期权定价模型由FisherBlack和MyronScholes创立并于1973年公之于世〔有关期权定价的进展历史大伙儿能够参考书上第358页，有爱好的同学也能够自己查找一下书上所列出的经典文章，只是这要求你有专门深厚的数学功底才能够看明白〕。

B—S期权定价模型发表的时刻和芝加哥期权交易所正式挂牌交易标准化期权合约几乎是同时。

不久，德克萨斯仪器公司就推出了装有依照这一模型运算期权价值程序的运算器。

现在，几乎所有从事期权交易的经纪人都持有各家公司出品的此类运算机，利用按照这一模型开发的程序对交易估价。

这项工作对金融创新和各种新兴金融产品的面世起到了重大的推动作用。

为此，对期权定价理论的完善和推广作出了庞大奉献的默顿和Scholes在1997年一起荣获了诺贝尔经济学奖〔Black在1995年去世，否那么他也会一起获得这份殊荣〕。

原始的B—S模型仅限于这类期权：

资产可用于卖出期权；能够评估价值，资产价格行为随时刻连续运动。

随后建立在原始的B—S模型上的研究以及许多其他期权定价模型的变体相继显现，用于处理其他类型的标的资产以及其他类型的价格行为。

在大多数情形下，期权定价模型的推倒基于随机微积分〔StochasticCalculus〕的数学知识。

没有严密的数学推演，演示这种模型只是摸棱两可的。

但是，这并非要紧的问题，因为确定期权公平价格的必要运算已自动化，且达到上述目的的软件在大型运算机及微机中均可获得。

因此，在那个地点，我只简单介绍一下B—S模型的关键几个要素，至于具体的数学推导〔专门复杂〕，感爱好的同学能够在课后阅读一下相关资料〔一样差不多上在期权定价理论章节的附录中〕。

第一，我们来回忆一下套利的含义

套利

套利〔arbitrage〕通常是指在金融市场上利用金融产品在不同的时刻和空间上所存在的定价差异、或不同金融产品之间在风险程度和定价上的差异，同时进行一系列组合交易，猎取无风险利润的行为。

注意，这种利润是无风险的。

现代金融交易的目的要紧能够分为套利、投机和保值，这也是我们在往常的课程中接触过的。

那么，我们如何样来明白得套利理论的含义呢？

我们说，市场一样是均衡的，商品的价格与它的价值是相一致的。

假如有时候因为某种缘故使得价格与价值不相符，显现了无风险套利的机会，我们说这种套利的机会就会赶忙被聪慧的人所发觉和利用，低买高卖，赚取利润，那么通过投机者不断的买卖交易，原先价值被低估的商品，它的价格会上涨〔投机者低价买入〕；原先价值被高估的商品，它的价格会下跌〔投机者高价卖出〕，交易的结果最终会使得市场价格重新回到均衡状态。

〔就像书中列举的两家书店卖书的例子一样…〕

同样的道理我们不难明白得，现代期权定价技术确实是以无风险套利原理为基础而建立起来的。

我们能够设计一个证券资产组合，使得它的价值〔收益〕与另外一个证券资产组合的价值相等。

那么，依照无风险套利理论，这两种证券资产组合应该以同样的价格出售。

从而，能够关心我们确定，在价格均衡状态下，期权的公平定价方式。

具体来说，对期权跌——涨平价原理的推导就采纳了无风险套利的原理。

跌——涨平价原理〔put——callparity〕

看涨期权的价格与看跌期权的价格〔也确实是期权费〕之间存在着专门紧密的联系，因此，只要明白看涨期权的价格，我们就能够推出看跌期权的价格〔通过平价原理〕。

如此，就省去我们再费心研究看跌期权的定价公式了。

只要我们通过B——S模型运算出看涨欧式期权的定价之后，我们就能够相应地推出欧式看跌期权的定价〔注意，B——S模型只适用于欧式看涨期权〕。

第一节证券价格变化过程

为了专门好地明白得B—S模型，我们第一来学习一下金融价格行为

1.金融价格行为

B—S模型的一个重要的假设是资产价格遵循对数正态分布。

这是什么意思？

相信大伙儿都差不多学习过统计学，你们关于正态分布应该专门熟悉了。

什么是正态分布？

我们能够看下面的正态分布图：

正态分布在我们现实生活中经常发生，比如说，从我们学校的男生中赶忙抽取1000人，然后用图画出他们身高的分布确实是正态分布。

在小组平均身高分布达到顶值，然而围绕平均值有一定偏差。

衡量偏差程度的统计方法叫标准差，正态分布的一个特点是68.3%的分布在平均值的正负一个标准差之间，95.4%分布在平均值的正负两个标准差之间。

假如在东北大学男生身高的统计调查中，我们发觉平均身高为1.72米，标准差为0.09米。

这表示抽样模型中有95.4%的男生身高在1.54米和1.90米之间，并能够推断被抽样的群体身高也符合那个分布。

既然现实生活中正态分布如此普遍，因此我们专门容易假定金融价格也服从正态分布。

然而这种假定会产生几个问题，其中一个是服从正态分布的变量可能为负值，而大多数金融价格却可不能如此〔现实生活中，价格不可能为负值〕。

事实上，价格本身不服从正态分布，大多数收益率却服从正态分布。

一个投资者以100元的价格买入股票，他可能有正的10%的收益或者是负的10%的缺失。

假如简单看来，投资者第一获得10%的收益率然后再缺失10%没有什么变化，他不赔不赚。

但，真实如此吗？

10%的增长使投资者的股票从100上升到110，而再次10%的下降使他的股票价值从110下跌到99〔110*90%〕。

投资者没有回到原先的价格起点〔100元〕的缘故在于收益率的运算方法上。

从100到110是在100的基础上增长10%，从110到99是在110的基础上下降10%，尽管变化的百分比一样〔差不多上10%〕，然而变化的基数却不同〔100和110〕，因此最后的结果就不能够回到原起点价格100元。

这种简单用百分比相加来衡量最后结果的方法所确定的结论是错误的，例如上面的那个例子，上升10%和下降10%相抵消，股票的价格仿佛不应该有变化〔依旧100元〕，但事实却是99元，我们估量的结果〔100〕比实际〔99〕少1元，也确实是说，实际的结果是缺失1%。

正确的运算方法不是通过百分比相加，而是把价格比相乘。

价格比确实是连续价格的比值。

在上例中，两个价格比是110/100=1.1和99/110=0.9。

价格比相乘为1.1*0.9=0.99。

这才是正确答案，即最后的价格是最初价格的0.99倍。

我们能够采纳一种数学方法使我们只用加法而不用乘法，那确实是，利用对数的性质，对两个数值取对数〔在金融中最有用的是自然对数，以e为底〕，然后相加得到两数乘积的对数。

把这种方法应用于上例：

ln〔110/100〕=0.0953

ln〔99/110〕=-0.1054

ln〔110/100〕*〔99/100〕=-0.0101

我们发觉，从110下降到99比初始的100上升到110的对数大，这确实是什么缘故最后的结果为负数的缘故，它表示整体价格下降。

为了找出最后价格下降1.01%后是多少数值，我们需要使用对数的相反概念：

指数。

因为我们用的是以e为底的对数，我们就用得到0.99或99%。

这种运算说明最后的价格是99，也确实是正确答案。

从上面的推导过程我们能够总结出，用价格比的对数运算收益率比单用价格比更准确。

因此，我们定义收益率为：

收益率=ln〔St+1/St〕

比传统的定义方式

传统定义收益=〔St+1/St—1〕

更准确。

那个地点，St代表t时刻的市场价格，St+1代表一段时刻后的价格。

考虑收益率在七年中每年增长10%对价格的阻碍。

从100开始，价格逐步增长：

100，110.52，122.14，134.99，149.18，164。

87，182.21，201.38

从绝对值看，价格在七年中翻了一倍，每次增长都比前一次增长幅度大。

现在考虑七年中收益率每年下降10%对价格的阻碍，同样从100开始：

100，90.48，81.87，74.08，67.03，60.65，54.88，49.66

价格通过七年减了一半，每一次价格下降都比前一次价格下降幅度小。

假如我们把这两个系列数据按水平线描画，表示价格随时刻的变化，就可得到如图所表示的图形。

它专门清晰地说明在图1的右方价格上升加速，图1的左方价格下降减速。

让我们回到金融收益服从正态分布那个概念上。

假如收益率服从系统的正态分布，那么价格服从扭曲的正态分布，如图1所展现的，左边逐步压缩，右边逐步扩展。

和图2比较后更清晰，图2显示的是收益率的正态分布，平均值为10%，标准差的绝对值为20%，图3显示的是价格的分布。

图3所显示的确实是价格分布，我们把它叫做对数正态分布，因为变量即价格的对数呈正态分布。

好，了解了这一点，我们就能够进一步学习B—S模型了。

第二节Black—Scholes模型

2.1B------S定价公式

我们明白，任何金融资产的适当价格差不多上它的预期价值，也确实是说，我们现在对它的定价是建立在对它以后价格预期的基础上的。

例如，假如一只股票有30%的机会达到49的价位，同时有70%的机会达到50的价位，那么它的适当价格应该为：

1.3*40+0.7*50=47〔它以后的价格乘以它达到那个价格的概率系数〕

同样，那个原理也适用于期权。

期权到期日的适当价值等于它可能取得的任何价值乘以该价值产生的概率的加总。

从上述简单的举例中，只有间断的两个结果。

然而期权能够以任何价值显现，因此有必要使用连续分布而不是间断分布。

在间断分布中，某个结果的概率能够直截了当阴影的高度求出，而在连续分布中，某一范畴结果的概率由曲线下的阴影部分求得。

从看涨期权的定义,期权到期日的预期价值是:

E（CT）=E[max（ST–X,0）]等式1

那个地点:

E（CT）代表看涨期权到期日的预期价值

ST代表对应资产到期日的价格

X代表期权的执行价格

在到期日有两种可能情形发生.假如ST>X,看涨期权到期时为价内,那么max（ST–X,0）=ST–X.假如STX的概率,等式1能够改写成:

E（CT）=等式2

那个地点:

P代表ST

E[STST>X]代表在ST>X下ST的预期价值.

等式2给出了看涨期权到期日的预期价值.为了获得合同的适当价格（因为期权费是预先支付的）,该等式应该加以折现得到其现值如下:

等式3

那个地点;C代表期权开始时的适当价格

r代表连续的复合零风险利率;t代表直到到期日的时刻长度.

那么,为期权定价的问题现在缩小为两个简单的问题:

（1）决定p---即期权到期日时为价内期权的概率,使得ST>X,

（2）决定E[STST>X],即当期权到期日为价内时对应资产的预期价值.

这两个问题的答案能够从金融价格的对数分布中找到.以下图显示的是金融价格的对数正态分布,它强调了价格超过120的分布（横轴是价格,纵轴表示概率密度）.假如我们想要为交割价格为120的期权定价,那个阴影部分将专门有用.我们只要找出市场价格超过执行价格120的概率（阴影部分产生的概率）,以及发生这种情形时的资产的预期价值就能够了.

通过运算,我们得出,阴影部分占整个分布的34%,因此最后价格超过120的概率为034.阴影部分的预期价值（假如在阴影部分中间设一个小木板让它平稳,那个支点刚好在137.894处）为137.894.假如连续复利是12%,交割价格为120的期权的适当价格是:

这确实是B---S模型给出的期权的价格.

那么,0.34和137.894是如何算出来的?

那个地点就要求我们来推倒概率P和期望值E[STST>X]了.不管是推导概率P,依旧推导期望值E的过程都专门复杂,在那个地点我就不做更多的表达了.因为假如确实进行一步步的推导的话,可能一节课也可不能推导完善,而且其中牵扯到了许多复杂的运算过程,因此在那个地点我就把它省略了.大伙儿只要明白B-S公式的推导原理,同时能够应用它就能够了.就像你只要明白如何操作WORD软件,而不用了解它是如何被编制出来的一样.假如你确实对B-S模型感爱好,课后你能够找相关的书籍看一下.

通过复杂的推导,我们得出:

P=N（d2）,

E[STST>X]=

其中,N表示累积正态分布,d1=

d2=

把它们带入等式3,得到看涨期权完整的定价公式:

因此C=

那个地点;S0为现行股价;X为期权的协定价格;t期权至到期日的时刻;r为无风险利率;σ为股票收益的标准偏差,波动率;N累积正态分布;ln为自然对数.

这确实是闻名的B—S期权定价模型.B---S模型的产生,为金融界运算期权的价格提供了可靠而简明的运算方法.在实践中,大多数期权分析师都采纳某种B—S模型的差不多形式或变异形式来进行期权的定价.而且,也有许多软件提供相应的期权价格分析.关于你们来讲,不要求你们将B—S模型记住,你只要会使用就能够了.考试的时候,公式会列给你们的。

以上部分我们讨论的差不多上关于看涨期权的定价,而没有说看跌期权.那么,如何对欧式看跌期权来定价呢?

我们说,由于有了看涨----看跌平价原理,我们就没有必要再去建立单独的模型去运算看跌期权的价格了.只有通过平价公式,看涨期权的价格之后,我们就能够推导出看跌期权的价格了。

例题:

假定某股票现值为$30,该股票3月期的期权的协定价格为$25,无风险利率为5%,该股票价格的波动率为45%.试运算该股票欧式看涨期权和欧式看跌期权的价格.

2.2有关B----S的假设条件

目前,B---S模型差不多成为期权交易专业人士为期权定价的重要工具之一.然而我们在应用那个模型的时候必须十分注意该模型的几个前提条件.对这些条件明白得得越深刻,你在期权定价中就越会得心应手.

（1）不支付股息和红利.B---S模型假设作为基础资产的股票在期权定价期间不支付红利和股息.而实际上,由于大多数股票都要支付股息或红利,因此,在实际操作中,假如在期权的有效期内遇到股票支付红利的情形时,我们应当对B---S模型做出适当的调整,以反应股票支付红利的事实.因为股息率或红利率越高,看涨期权费越低,因此股票价格应当减去以后支付股息或红利的贴现值,也确实是:

.

例题.假如按照上面的例子,该股票的现金红利为0.50元,82天后支付,那么,该股票的期权费将如何运算?

（2）期权为欧式期权.B---S模型之关于欧式看涨期权进行定价,美式看涨期权因为具有更大的灵活性（提早执行的可能性较大）,因此不能使用B----S模型.关于美式看涨期权,我们会采纳其他方法来定价。

〔3〕市场是有效率的,不存在无风险套利的机会.（366）

〔4〕无交易成本,如不支付佣金,税收等.事实上,那个假设也不太符合实际,因为在现实生活中,即使是交易商也要支付费用,关于散户投资者来讲,交易成本会更大.假如考虑到交易成本的话,期权的真正成本可能会发生专门大的变化,这也是不同期权市场实际期权费差异的要紧因素。

〔5〕利率为常数或.无风险利率,30天的美国短期国库券利率。

〔6〕收益呈对数正态分布.这一假设适用于绝大多数金融资产的价格分布特点.

2.3易变性或变动率的运算

假如观看期权定价需要的五个变量,我们发觉有四个专门容易获得.对应资产的价格和利率能够专门容易地从路透和电子屏幕上读到,交割价格和到期日在签定期权时差不多确定.只有一个变量却不是那么清晰,它确实是对应资产价格的变动率,或简称变动率（Volatility）.

金融资产的变动率越大,说明基础资产偏离协定价格的可能性也越大,那么,该种期权的价格就越高.这是期权定价模型中我们什么缘故如此关注变动率的缘故.变动率在期权定价被定义为收益率的年标准差.注意此定义没有把变动率直截了当与价格变动联系,而是与产生价格的收益率变动联系.

变动率的运算方法有两种:

（1）正向法（forwards）

这是指应用历史数据来运算变动率,也叫做历史变动率.具体的运算方法如下:

a金融资产的相对价格（价格比:

两个连续收盘价之比）

b相对价格的自然对数

c对数相对价格的标准偏差（离差）

d标准偏差（离差）的平方,经开方后得到σ。

具体的运算公式如下:

运算这些数据时要考虑应该选择多少个观看值才能得到相对准确的数值.观看值越多,可靠性越大.然而太久远的数字用来运算今天的波动率可能不相关,一样来讲,20到50个观看值能够得到合理的结果.

在那个地点我们运算出来的变动率是历史变动率,但我们要求以后的变动率.因为给以后到期的期权定价时需要以后的收益变动率而不是过去的变动率.假如从过去能够合理地推出以后,那么历史变动率能够作为以后变动率的合理参考值.例如,1987年股灾之后,标准普尔500股票指数的20天变动率从通常的12%狂升到150%.假如造市商完全依靠历史变动率,在股灾后的一个月,他们是在另外一个股灾将发生的基础上来给期权定价的.其结果确信是不合理的.

那么,我们如何来得到一个较为合理的变动率呢?

这就要使用方法二:

（2）逆向法（backwards）

假如期权价格能够由变动率决定,那么变动率也能够由期权价格决定.这种方法是运用期权价格往回推导.也确实是说,我们期权价格（该期权的报价）和其他四个变量,能够反向推导出期权价格中所隐含的变动率.通过这种方法运算出来的变动率叫做隐含变动率（ImpliedVolatility）

因为期权价格都能够获得,大多数市场参与者使用相似或一样的定价模型,因此运算隐含变动率就专门直截了当,而且一样比运用历史变动率要适当.

为了说明这一方法的差不多思路,我们假设S=21,X=20,R=0.1,T–t=0.25时一种不付红利股票的看涨期权的价值为1.875.隐含变动率是把以上数据代入B-S方程,求使得C=1.875的σ的取值.然而,我们不能直截了当解出方程,使得σ表示为其他四个变量的函数形式.这时候,我们能够用插值法得到隐含波动率.也确实是我们不断假定σ的数值,带入B-S公式,从得到的C值进行不断调整,最后得到变动率的准确值.例如,我们假定σ=0.2,那个值使得C的值等于1.76,比1.875小.由于期权的价格与变动率的大小成正比,因此,假如运算出的C比实际小的话,说明我们的σ值估量小了,我们就要选大一些的σ值.如此不断实验,最后找到准确的变动率.（这种方法比较苦恼）.

在考试中我们有可能给出一个变动率,利用其他变量去估量欧式看涨或看跌期权的价格,然后与的看涨期权价格进行比较,来判定我们关于变动率的估量是否正确.（你的前提假设是:

变动率的估量是正确的;然后在此变动率的基础上去运算期权价格,与实际的期权报价相比较,最后得出结论）..

例:

DJB公司的一股股票现价为$2.5,它的变动率被估量为0.6.一个欧式看涨期权的协定价格是$2.00,期限为3个月,看涨期权费为$0.45.无风险利率为5%.问:

我们关于变动率的估量是否合理?

第三节期权定价的二叉树模型〔二项式〕

Black-Scholes期权定价模型尽管有许多优点,然而它的推导过程难以为人们所同意.在1979年,罗斯等人使用一种比较浅显的方法设计出一种期权的定价模型,称为二项式模型（Binomialｍodel）或二叉树法（Binomialtree）.

我们第一来看:

3.1一期间二项式模型

二项式模型的特点是将看涨期权合约的到期期限分成假设干个时刻段（每一个时刻段称为一个期间）,并假定期权的基础资产的价格在每通过一个期间的时刻后以事先规定的比例上升或下降.为直观简便起见,我们第一考虑一期间的情形:

假设:

在任何一个给定的时刻,金融资产的价格以事先规定的比例上升或下降.假如资产价格在时刻t的价格为S,它可能在时刻段t+内上升到Su或下降到Sd.假定对应的期权价格也上升到Cu,或下降到Cd.以下图表示了这些平行移动.当金融资产只可能达到两种价格时,这一顺序被称为二项程序.

为了说明方便,我们假定S=100,u=1.2,d=0.9,看涨期权的协定价格为100,只有一期.在这些条件下,我们明白假如对应资产价格上升到120,期权在到期时值20;假如对应资产价格下降至90,期权到期时没有价值.以下图显示了那个专门的例子.

在图中我们能够看出,唯独不明白的是C,也确实是看涨期权在到期日前的一段时期的价值.我们将证明C的适当价值能够通过建立期权和对应资产的无风险套利组合来决定.

考虑如此一个资产组合:

a以价格C卖出三份看涨期权

b以价格100买入两份对应资产

c在这短时刻以10%的利率借入163.64

那么,开始时的净现金流为3C–200+163.64=3C–36.36.在到期日时,有两种可能结果（价格上升或下降）,每种结果的现金流如下表所示:

期权和对应资产组合的结果

上升下降

卖出资产过程2×120=2402×90=180

支付空头看涨期权3×（-20）=-603×0=0

归还借款-180-180

净现金流00

从上面那个表我们看出,那个由对应资产,借款和期权组成的专门组合不管对应资产上升依旧下降结果都一样.这确实是无风险套利交易.假如那个专门组合的最后结果总是零,那么开始获得此组合的适当价格也为零.这表示3C–36.36=0,即C=12.12.

上面举的无风险套利交易的方法比较专门,我们能够把它引申到一样的情形当中.

考虑以下资产组合:

a卖出一份看涨期权

b买入h份对应资产

c借入款项B.

在到期日时,我们期望选择价值h和B使不管对应资产价格上升依旧下降,组合的最后结果为零.我们能够设定:

Suh–Cu–BR=0

Sdh–Cd–BR=0

在那个地点R为,i是按连续复利运算的无风险利率.这是一个包含两个未知变量的方程式,通过简单的运算能够得出h和B:

h=（Cu–Cd）/S（u–d）

B=（dCu–uCd）/R（u–d）

因为初始的现金流为0,因此:

C–hS+B=0

把h和B的值带入上面的等式,得到:

C=[（R–d）Cu+（u–R）Cd]/R（u–d）

最后得到价格上涨的概率为:

p=（R–d）/（u–d）

把一期期权价值的表达式写得规矩一点:

C=[pCu+（1–p）Cd]/R

从一期期权的定价公式我们得出:

每一步期权的价值只是预期结果的现值,没一种结果按其发生的概率进行加权.

例题.股票价格的现值为$20,而且在3个月末股票的价格会达到$22或$18.投资者买入3月期的该股票的欧式看涨期权,协定价格为$21.无风险利率为12%每年,用二项式法运算该股票欧式看涨期权的价格.

3.2两期间二项式模型

这种为一期期权定价的方法能够开展为更长到期日的期权定价.我们来观看两期期权,把上面的例题展开为两期.初始价格为$20,在每个时刻间隔价格都会上升10%,或下降10%.我们假设每个时刻间隔是3个月,无风险利率为12%每年,看涨期权的协定价格是$21.

我们分析的目的确实是运算出初始结点的期权价格.要想达到那个目的,我们能