考研数学一真题及答案.docx
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考研数学一真题及答案
2018考研数学一真题及答案
、选择题
1—8小题．每小题4分，共32分．
1cosx
１．若函数
f（x）
ax
b,
x0在x0处连续，则
x0
A）
1
ab
2
B）
ab
1
（C）
2
ab0
D）
ab2
详解】lim
x0
x0处连续，
cosx
ax
1
必须满足bab
2a
f（x）
lim1
x0
1
xlim2x0ax
1
．所以应该选（A）
2
1
2a
，limf（x）bf（0），要使函数在x0
2．设函数f（x）是可导函数，且满足
f（x）f（x）0，则
A）f
（1）
f
（1）（B）f
（1）
f
（1）（C）f
（1）f
（1）
D）f
（1）f
（1）
详解】设g（x）
2
（f（x））2，则g（x）
2f（x）f（x）0，也就是f（x）
2
2是单调增加函数．也
就得到f
（1）2
2
f
（1）2
f
（1）
f
（1），所以应该选（C）
3．函数f（x,y,z）x2yz2在点（1,2,0）处沿向量n（1,2,2）的方向导数为
A）12（B）6
（C）4
D）2
详解】
x
2xy,f
y
x2,f2z，所以函数在点（1,2,0）处的梯度为gradf4,1,0，z
所以f（x,y,z）
2
xy
2
z2在点（1,2,0）处沿向量n（1,2,2）的方向导数为
uurfrgradfn0n
4,1,01（1,2,2）2应该选（D）
3
４．甲、乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方
10（单位：
米）处，如图中，实线表示甲
的速度曲线vv1（t）（单位：
米/秒），虚线表示乙的速度曲线vv2（t）（单位：
米/秒），三块阴影部分的面积分别为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻为t0，则（）
（A）t010（B）15t020
T2
【详解】由定积分的物理意义：
当曲线表示变速直线运动的速度函数时，S（t）2v（t）dt表
T1
示时刻T1,T2内所走的路程．本题中的阴影面积S1,S2,S3分别表示在时间段
0,10,10,25,25,30内甲、乙两人所走路程之差，显然应该在t25时乙追上甲，应该
选
5．
C）．
设为n单位列向量，E为n阶单位矩阵，则
A）E
T不可逆
B）E
T不可逆
C）E2T不可逆
D）E2
T不可逆
特征值为
T,E
T,E
2T,E2
T的特征值分别为0,1,1,L
1；2,1,1,L,1；
1,1,1,L,1；
3,1,1,L
1．显然只有
存在零特征值，所以不可逆，
应该选（
A）．
2
6．已知矩阵A0
00
10
100
020，则
01
01
002
A）A,C相似，B,C相似
B）A,C相似，B,C不相似
C）A,C不相似，B,C相似
D）A,C不相似，B,C不相似
详解】矩阵A,B的特征值都是
22,3
1．是否可对解化，只需要关心
2的
情况．
00
对于矩阵A，2EA00
，秩等于1
，也就是矩阵A属于特征值
2存在两
00
个线性无关的特征向量，
也就是可以对角化，也就是
A~C．
对于矩阵B，2EB
010
000，秩等于2
，也就是矩阵A属于特征值
2只有
001
个线性无关的特征向量，
也就是不可以对角化，当然
B,C不相似故选择（B）．
7．设A,B是两个随机事件，若0P（A）1，0P（B）1，则P（A/B）P（A/B）的充
P（AB）P（A）P（B）
P（B/A）P（B/A）
P（AB）P（AB）P（B）P（AB）
1P（A）
P（A）P（A）
P（AB）
P（A）P（B）
（A）
P（B/A）
P（B/A）
（B）P（B/A）
P（B/A）
（C）
P（B/A）
P（B/A）
（D）P（B/A）
P（B/A）
详解】由乘法公式：
P（AB）
P（B）P（A/B）,P（AB）
P（B）（P（A/B）可得下面结论
分必要条件是
P（A/B）P（A/B）PP（（ABB））PP（（ABB））P（1A）PP（B（A）B）
类似，由P（AB）P（A）P（B/A）,P（AB）P（A）P（B/A）可得
所以可知选择（A）．
8．设X1,X2,L,Xn（n
2）为来自正态总体
N（,1）的简单随机样本，
若X
n
Xi，则
i1
列结论中不正确的是（）
n
A）（Xi
i1
）2服从2分布
B）2Xn
2
X1服从
2分布
n
C）（Xi
i1
X）2服从2分布
D）n（X
22
）2服从2分布
解：
（1）
显然（Xi
）~N（0,1）（Xi
22
）2~2
（1）,i
1,2,Ln且相互独立，所以
n
（Xi
i1
）2服从2（n）分布，也就是（A）
结论是正确的；
2）
2
（XiX）2（ni1
1）S2（n1）S2
2（n1），所以（C）结论也是正确的；
3）
1
注意X~N（,）
n
n（X
）~N（0,1）n（X）2~2
（1），所以（D）结论也
是正确的；
XnX1122
4）对于选项（B）：
（Xn
X1）~N（0,2）
n21~N（0,1）2（XnX1）2~2
（1），
所以（B）结论是错误的，应该选择（B）
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）
19．已知函数f（x）12，则f（3）（0）．
1x2
解：
由函数的马克劳林级数公式：
f（x）f（0）xn，知f（n）（0）n!
an，其中an为展n0n!
开式中xn的系数．
124n2n（3）
由于f（x）21x2x4L
（1）nx2nL,x1,1，所以f（3）（0）0．
1x
10．微分方程y2y3y0的通解为．
【详解】这是一个二阶常系数线性齐次微分方程，特征方程r22r30有一对共共轭的
根r12i，所以通解为yex（C1cos2xC2sin2x）
11．若曲线积分
L
xdxaydy
x2
在区域
1
（x,y）|x2y2
1内与路径无关，则
详解】设P（x,y）
x
22
xy
1,Q（x,y）
ay
2y
，显然
1
P（x,y）,Q（x,y）在区域内
具有连续的偏导数，由于与路径无关，所以有
12．幂级数
（1）n
1
nx
在区间（1,1）内的和函数为
n1
详解】
n
1）
n1
nx
（
n1
n1n
1）（x）
n1n
（1）xn1
1x
（1
1
x）2
所以s（x）
2,x
（1x）2
1,1）
13．设矩阵
A1
3为线性无关的三维列向量，
则向量组A
1,A2,A3
的秩为
详解】对矩阵进行初等变换
1
1，知矩阵A的
秩为2，由于
12
3为线性无关，所以向量组
A1,A
2,A
3的秩为
2．
x4
14．设随机变量X的分布函数F（x）0.5（x）0.5，其中（x）为标准正态分2
布函数，则EX
详解】随机变量X的概率密度为f（x）F（x）
0.5
（x）
E（X）
xf（x）dx0.5
x（x）dx
0.25
x4
0.25（），所以
2
4
）dx
x
（x2
0.25
x（x4）dx
2
0.252
（2t4）（t）dt
d2y|x0．
2x0
dx
详解】
dy
dx
f1（ex,cosx）exf2（ex,cosx）（sinx），dy|x0dx
（1,1）；
d2y
dx2
exf1（ex,cosx）ex（f11（ex,cosx）exsinxf12（ex,cosx））
cosxf2（ex,cosx）
（t）dt2
三、解答题
15．（本题满分10分）
设函数f（u,v）具有二阶连续偏导数，
yf（ex,cosx），求dy|dx
sinxexf21（ex,cosx）sin2xf22（ex,cosx）
d2ydx
2|x
0f1（1,1）f11（1,1）
f2（1,1）．
16．（本题满分10分）
求limk2ln
nk1n2
详解】由定积分的定义
nkk
1n
k
k
lim2ln1
lim
ln1
nk1nn
nnk1
n
n
11
2
1
0ln（1
x）dx2
20
4
1
xln（1x）dx
17．（本题满分10分）
已知函数y（x）是由方程x3
3
y33x3y20．
详解】在方程两边同时对x求导，得
22
3x3yy33y0
1）
在
（1）两边同时对x求导，得
22
2x2y（y）2y2yy0
也就是
y
2（x
y（y））
2
1
y
令y
0，得
x
1．当x1
1时，y1
1；当x21时，y20
当x1
1时，
y0
，y
10，函数
yy（x）取极大值y11；
当x2
1时，
y
0，y
10函数y
y（x）取极小值y20．
18．（本题满分10分）
设函数f（x）在区间0,1上具有二阶导数，且f
（1）0，limf（x）0，证明：
x0x
（1）方程f（x）0在区间0,1至少存在一个实根；
2
2）方程f（x）f（x）（f（x））20在区间0,1内至少存在两个不同实根．
证明：
（1）根据的局部保号性的结论，由条件
limf（x）
x0x
0可知，存在0
1，及
x1（0,），使得f（x1）
0，由于f（x）在x1,1上连续，且
f（x1）f
（1）0，由零点定理，
存在（x1,1）（0,1），
使得f（）0，也就是方程f（x）
0在区间
0,1至少存在一个
实根；
2）由条件limf（x）
x0x
0可知f（0）0，由
1）可知f（）
0，
由洛尔定理，存在
（0,），使得f（）
设F（x）f（x）f（x）
条件可知
F（x）在区间
0,1
上可导，且
F（0）0,F（）0,F（
0，
分别在区间0,
上对函数
F（x）使用尔定理，则存
在1（0,）（0,1）,2
（,
）（0,1）,使得
12,F
（1）F
（2）0，也就是方程
2
f（x）f（x）（f（x））2
0在区间0,1内至少存在两个不同实根．
19．（本题满分10分）
设薄片型S是圆锥面zx2y2被柱面z22x所割下的有限部分，其上任一点的密度为
9x2y2z2，记圆锥面与柱面的交线为C．
1）求C在xOy布上的投影曲线的方程；
2）求S的质量M.
详解】
（1）交线C的方程为zx
z22x
2
y2
，消去变量z，得到x2y22x
所以C在xOy布上的投影曲线的方程为
y22x
0
2）利用第一类曲面积分，
（x,y,z）dS
得
9x2y2z2dS
x2
9x2y2x2y22x
y21
2
x
2
x
2
y
22dxdyx2y2
20．（本题满分
11分）
设三阶矩阵A
18
x
2y22x
x2y2dxdy
64
2,3有三个不同的特征值，且
1）证明：
r（A）2；
2）若
12
3，求方程组Ax的通解．
详解】
（1）证明：
因为矩阵有三个不同的特征值，所以
A是非零矩阵，也就是
假若r（A）
1时，则r0是矩阵的二重特征值，与条件不符合，所以有r（A）
r（A）1．
2，又因为
12
20，也就是
12
3线性相关，r（A）3，也就只有r（A）2
2）
因为
r（A）2，所以Ax0的基础解系中只有一个线性无关的解向量．
12
0，所以基础解系为x
2；
1
又由
3，得非齐次方程组
Ax
的特解可取为1；
1
方程组Ax
的通解为xk2
1
1，其中k为任意常数．
21．（本题满分11分）
222
设二次型f（x1,x2,x3）2x1x2ax32x1x28x1x32x2x3在正交变换xQy下的标
22
准形为1y12y2，求a的值及一个正交矩阵Q．
214
详解】二次型矩阵A111
因为二次型的标准形为
41a
1y122y22．也就说明矩阵A有零特征值，所以A0，故a2.
14
11（3）（6）
12
令EA0得矩阵的特征值为13,26,30．
3的特征向量1
通过分别解方程组（iEA）x0得矩阵的属于特征值1
属于特征值特征值
26的特征向量
20
1
1
30的特征向量32
61
1
1
1
3
2
6
1所以Q1,2,3
0
2
2为所求正交矩阵
6
1
1
1
3
2
6
22．（本题满分11分）
1
设随机变量X,Y相互独立，且X的概率分布为PX0
P{X
2}
1，Y的概率密度
2
为f（y）
2y,0y1
0,其他
1）求概率P（YEY）；
2）求ZXY的概率密度．
122详解】
（1）EYyfY（y）dy2y2dy.
03
2
032ydy
所以PYEYPY2
3
2）ZXY的分布函数为
FZ（z）PZ
zPX
Yz
PX
Yz,X0PXYz,X2
PX
0,Yz
PX
2,Yz
2
1
P{Y
z}12P
Yz
2
2
2
1
1FY（z）FY（z2）
2故ZXY的概率密度为
1
fZ（z）FZ（z）f（z）f（z2）
2
z,0z1z2,2z3
0,其他
23．（本题满分11分）
某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做了n次测量，该物体的质量
2
是已知的，设n次测量结果X1,X2,L,Xn相互独立且均服从正态分布N（,2）.该工程师
记录的是n次测量的绝对误差ZiXi,（i1,2,L,n），利用Z1,Z2,L,Zn估计参数
1）求Zi的概率密度；
2）利用一阶矩求的矩估计量；
3）求参数最大似然估计量．
详解】
（1）先求Zi的分布函数为
FZ（z）PZizPXi
Xi
当z0时，显然FZ（z）0；
当z0时，FZ（z）
PZi
zP
Xi
zP
Xi
z2z1；
2
2z
22
0．
所以Zi的概率密度为
fZ（z）
FZ（z）
2
e,z
0,
z0
2）数学期望EZi
22z22
zf（z）dzze2dz
002
令EZZ1Zi，解得的矩估计量ni1
22Z
2n．Zi．2ni1i
3）设Z1,Z2,L,Zn的观测值为z1,z2,L,zn．当zi
0,i1,2,L
n时
似然函数为
L（）
f（zi,
2n
）
（2）ne
22i1zi
取对数得：
lnL（
nln2
2nln
（2）nln
22
n
2zii1
令dlnL（d
）n
1n
3
i1
zi20，得参数
最大似然估计量为
1n2zi．
ni1
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