华师大因式分解总复习.docx

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华师大因式分解总复习

因式分解复习

一、知识梳理

1.因式分解的定义：

把一个多项式化为的形式，叫做把这个

多项式因式分解。

2.因式分解的几种常用方法

（1）提公因式法

（2）运用公式法：

①平方差公式：

a2-b2=（a+b）（a-b）

②完全平方公式：

a2±2ab+b2=（a±b）2

（3）二次三项式型：

x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）

（4）分组分解法：

①分组后能提公因式；

②分组后能运用公式.

3.因式分解的一般步骤：

可归纳为一“提”、二“套”、三“分”、四“查”：

（1）一“提”：

先看多项式的各项是否有公因式，若有必须先提出来.

（2）二“套”：

若多项式的各项无公因式（或已提出公因式），第二步则看能不能用公式法或用x2+（p+q）x+pq型分解.

（3）“三分”：

若以上两步都不行，则应考虑分组分解法，将能用上述方法进行分解的项分成一组，使之分组后能“提”或能“套”，当然要注意其要分解到底才能结束.

（4）四“查”：

可以用整式乘法检查因式分解的结果是否正确.

【例1】用提公因式进行因式分解：

（1）

；

（2）

；

（3）

【例2】用公式法进行因式分解：

（1）

；

（2）

；（3）9（x+y）2-4（x-y）2；

（4）（x2+2x）2+2（x2+2x）+1；（5）（a2+b2）2-4a2b2

【例3】用十字相乘法进行因式分解：

（1）

；

（2）

【例4】用分组分解法把下列各式分解因式：

（1）m3+2m2-9m-18；

（2）

【例5】分解因式

（1）－x2y－0.25y3＋xy2

（2）

（3）－6x2－xy＋12y2

（4）x2－5x＋6（5）

（6）（a＋b）2－8（a＋b－2）（7）an+3－2an+1+an-1

（8）（x＋3）2－6（x＋3）y＋9y2（9）

（10）x2－2y2+xy－4x+8y（11）a2+b2－2ab－3a+3b+2

（12）1－x2－y2+2xy（13）（2x－1）（3x＋2）－20

因式分解复习作业

分解因式：

（1）

（2）

（3）2x2－3x（a－b）＋（a－b）2（4）

（5）

（6）m4－24m2－25

（7）4x2＋8x－5（8）

（9）a4－11a2b2+b4（10）（x2－2x）2－7（x2－2x）－8

（11）10（x－2）2－14（2－x）－12（12）12x5－8x3y2＋xy4

（13））a6＋2a4b2－24a2b4（14）x3+2x2－5x－6

（15）x2＋2bx－a2－b2（16）（6x－1）（2x＋3）＋7

（17）4x

y＋4x

y

＋xy

；（18）a2b2+8abc+16c2

（19）

－

+n2（20）

x2y－x4－

（21）－4xy－4x2－y2（22）（x2+16y2）2－64x2y

4、利用因式分解进行计算

（1）9x2+12xy+4y2,其中x=

y=－

;

（2）已知

，求

的值。

思考：

一个正整数，若加上100是一个完全平方数；若加上168，则是另一个完全平方数，求这个正整数。

因式分解的应用

一．选择题（共10小题）

1．已知d=x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5，则当x2﹣2x﹣5=0时，d的值为（　　）

A．25B．20C．15D．10

2．450﹣299的计算结果是（　　）

A．833B．822C．811D．89

3．已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a2﹣b2+ac﹣bc=0，则△ABC的形状是（　　）

A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．无法确定

4．已知a，b，c分别是△ABC的三边长，且满足2a4+2b4+c4=2a2c2+2b2c2，则△ABC是（　　）

A．等腰三角形

B．等腰直角三角形

C．直角三角形

D．等腰三角形或直角三角形

5．设a、b、c是三角形的三边长，且a2+b2+c2=ab+bc+ca，关于此三角形的形状有以下判断：

①是等腰三角形；②是等边三角形；③是锐角三角形；④是斜三角形．其中正确的说法的个数是（　　）

A．4个B．3个C．2个D．1个

6．如图，边长为a，b的矩形的周长为14，面积为10，则a2b+ab2的值为（　　）

A．140B．70C．35D．24

7．已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足a3+ab2+bc2=b3+a2b+ac2，则△ABC的形状是（　　）

A．等腰三角形

B．直角三角形

C．等腰三角形或直角三角形

D．等腰直角三角形

8．a、b、c是三角形的三条边长，则代数式a2﹣2ab+b2﹣c2的值（　　）

A．大于零B．小于零

C．等于零D．与零的大小无关

9．如果257+513能被n整除，则n的值可能是（　　）

A．20B．30C．35D．40

10．已知a，b，c是三角形的三边，那么代数式（a﹣b）2﹣c2的值（　　）

A．大于零B．小于零C．等于零D．不能确定

二．填空题（共9小题）

11．若实数a、b、c满足a﹣b=

，b﹣c=1，那么a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值是　　

12．若一个整数能表示成a2+b2（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．

例如，因为5=22+12，所以5是一个“完美数”．

（1）请你再写一个大于10且小于20的“完美数”　　；

（2）已知M是一个“完美数”，且M=x2+4xy+5y2﹣12y+k（x，y是两个任意整数，k是常数），则k的值为　　．

13．已知x2﹣x﹣1=0，则﹣x3+2x2+2005的值为　　．

14．已知：

x2﹣x﹣1=0，则﹣x3+2x2+2002的值为　　．

15．若a4+b4=a2﹣2a2b2+b2+6，则a2+b2=　　．

16．若m2=n+2，n2=m+2（m≠n），则m3﹣2mn+n3的值为　　．

17．若a+b=3，ab=2，则a2b+ab2=　　．

18．已知a+b=2，则a2﹣b2+4b的值为　　．

19．如图，边长为a、b的矩形，它的周长为14，面积为10，则a2b+ab2的值为　　．

三．解答题（共6小题）

20．如图，在一块边长为a米的正方形空地的四角均留出一块边长为b（b＜

）米的正方形修建花坛，其余的地方种植草坪．

（1）用代数式表示草坪的面积；

（2）先对上述代数式进行因式分解再计算当a=15，b=2.5时草坪的面积．

21．定义：

任意两个数a，b，按规则c=ab+a+b扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“如意数”．

（1）若a=

，b=1，直接写出a，b的“如意数”c；

（2）如果a=m﹣4，b=﹣m，证明“如意数”c≤0．

22．已知a（a+1）﹣（a2+2b）=1，求a2﹣4ab+4b2﹣2a+4b的值．

23．已知ab=﹣3，a+b=2．求代数式a3b+ab3的值．

24．已知a﹣b=5，ab=3，求代数式a3b﹣2a2b2+ab3的值．

25．已知a，b，c为△ABC的三条边的长，当b2+2ab=c2+2ac时，

（1）试判断△ABC属于哪一类三角形；

（2）若a=4，b=3，求△ABC的周长．

因式分解的应用

参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题）

1．【解答】解：

∵x2﹣2x﹣5=0，

∴x2=2x+5，

∴d=x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5，

=（2x+5）2﹣2x（2x+5）+x2﹣12x﹣5

=4x2+20x+25﹣4x2﹣10x+x2﹣12x﹣5

=x2﹣2x﹣5+25

=25．

故选：

A．

2．【解答】解：

450﹣299=2100﹣299

=2×299﹣299

=299

=833

故选：

A．

3．【解答】解：

a2﹣b2+ac﹣bc=0，

（a+b）（a﹣b）+c（a﹣b）=0，

（a﹣b）（a+b+c）=0，

∵a、b、c是三角形的三边，

∴a+b+c≠0，

∴a﹣b=0，

即a=b，

∴△ABC的形状是等腰三角形，

故选：

C．

4．【解答】解：

∵2a4+2b4+c4=2a2c2+2b2c2，

∴4a4﹣4a2c2+c4+4b4﹣4b2c2+c4=0，

∴（2a2﹣c2）2+（2b2﹣c2）2=0，

∴2a2﹣c2=0，2b2﹣c2=0，

∴c=

a，c=

b，

∴a=b，且a2+b2=c2．

∴△ABC为等腰直角三角形．

故选：

B．

5．【解答】解：

由已知条件a2+b2+c2=ab+bc+ca化简得，则2a2+2b2+2c2=2ab+2bc+2ca，

即（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2=0

∴a=b=c，此三角形为等边三角形，同时也是等腰三角形，锐角三角形，斜三角形

故选：

A．

6．【解答】解：

根据题意得：

a+b=

=7，ab=10，

∴a2b+ab2=ab（a+b）=10×7=70；

故选：

B．

7．【解答】解：

∵a3+ab2+bc2=b3+a2b+ac2，

∴a3﹣b3﹣a2b+ab2﹣ac2+bc2=0，

（a3﹣a2b）+（ab2﹣b3）﹣（ac2﹣bc2）=0，

a2（a﹣b）+b2（a﹣b）﹣c2（a﹣b）=0，

（a﹣b）（a2+b2﹣c2）=0，

所以a﹣b=0或a2+b2﹣c2=0．

所以a=b或a2+b2=c2．

故△ABC的形状是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形．

故选：

C．

8．【解答】解：

a2﹣2ab+b2﹣c2=（a﹣b）2﹣c2=（a+c﹣b）[a﹣（b+c）]．

∵a，b，c是三角形的三边．

∴a+c﹣b＞0，a﹣（b+c）＜0．

∴a2﹣2ab+b2﹣c2＜0．

故选：

B．

9．【解答】解：

257+513

=514+513

=513×（5+1）

=513×6

=512×30，

则n的值可能是30；

故选：

B．

10．【解答】解：

∵（a﹣b）2﹣c2=（a﹣b+c）（a﹣b﹣c），a，b，c是三角形的三边，

∴a+c﹣b＞0，a﹣b﹣c＜0，

∴（a﹣b）2﹣c2的值是负数．

故选：

B．

二．填空题（共9小题）

11．【解答】解：

∵a﹣b=

，b﹣c=1，

∴a﹣c=

+1

∵a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca=

（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ca）=

[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2]

∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca=3+

故答案为：

3+

12．【解答】解：

（1）∵13=22+32

∴13是完美数

故答案为：

13；

（2）∵M=x2+4xy+5y2﹣12y+k=（x+2y）2+（y﹣6）2+k﹣36

∴k=36时，M是完美数，

故答案为：

36．

13．【解答】解：

∵x2﹣x﹣1=0，

∴x2﹣x=1，

∴﹣x3+2x2+2005，

=﹣x（x2﹣x）+x2+2005，

=﹣x+x2+2005，

=2006．

故答案为：

2006．

14．【解答】解：

∵x2﹣x﹣1=0，

∴x2﹣x=1，

﹣x3+2x2+2002，

=﹣x3+x2+x2+2002，

=﹣x（x2﹣x）+x2+2002，

=﹣x+x2+2002，

=1+2002，

=2003．

故答案为：

2003．

15．【解答】解：

有a4+b4=a2﹣2a2b2+b2+6，

变形后

（a2+b2）2﹣（a2+b2）﹣6=0，

（a2+b2﹣3）（a2+b2+2）=0，

又a2+b2≥0，

即a2+b2=3，

故答案为3．

16．【解答】解：

∵m2=n+2，n2=m+2（m≠n），

∴m2﹣n2=n﹣m，

∵m≠n，

∴m+n=﹣1，

∴原式=m（n+2）﹣2mn+n（m+2）

=mn+2m﹣2mn+mn+2n

=2（m+n）

=﹣2．

故答案为﹣2．

17．【解答】解：

a2b+ab2=ab（a+b）=2×3=6．

故答案为：

6．

18．【解答】解：

∵a+b=2，

∴a2﹣b2+4b，

=（a+b）（a﹣b）+4b，

=2（a﹣b）+4b，

=2a+2b，

=2（a+b），

=2×2，

=4．

故答案为：

4．

19．【解答】解：

∵a+b=7，ab=10，

∴a2b+ab2=ab（a+b）=70．

故答案为：

70．

三．解答题（共6小题）

20．【解答】解：

（1）剩余部分的面积为（a2﹣4b2）平方米；

（2）当a=15，b=2.5时，

a2﹣4b2

=（a+2b）（a﹣2b）

=（15+5）（15﹣5）

=200（平方米）．

21．【解答】解：

（1）c=ab+a+b=

+

+1=2

+1；

（2）c=ab+a+b=（m﹣4）（﹣m）+m﹣4+（﹣m）=4m﹣m2﹣4，

=﹣（m﹣2）2≤0，

即：

c≤0．

22．【解答】解：

a（a+1）﹣（a2+2b）=1，

a2+a﹣a2﹣2b﹣1=0，

a﹣2b=1，

a2﹣4ab+4b2﹣2a+4b，

=（a﹣2b）2﹣2（a﹣2b），

=12﹣2×1，

=﹣1．

23．【解答】解：

∵a+b=2，

∴（a+b）2=4，

∴a2+2ab+b2=4，

又∵ab=﹣3，

∴a2﹣6+b2=4

∴a2+b2=10，

∴（a2+b2）ab=a3b+ab3=﹣30．

24．【解答】解：

∵a3b﹣2a2b2+ab3

=ab（a2﹣2ab+b2）

=ab（a﹣b）2

而a﹣b=5，ab=3，

∴a3b﹣2a2b2+ab3=3×25=75．

25．【解答】解：

（1）△ABC是等腰三角形，理由如下：

∵a，b，c为△ABC的三条边的长，b2+2ab=c2+2ac，

∴b2﹣c2+2ab﹣2ac=0，

因式分解得：

（b﹣c）（b+c+2a）=0，

∴b﹣c=0，

∴b=c，

∴△ABC是等腰三角形；

（2）∵a=4，b=3，

∴b=c=3，

∴△ABC的周长=a+b+c=4+3+3=10．