862 第二课时 直线与平面垂直的性质.docx
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862第二课时直线与平面垂直的性质
第二课时 直线与平面垂直的性质
课标要求
素养要求
1.借助长方体，通过直观感知，归纳出直线和平面垂直的性质定理，并加以证明.
2.会应用直线和平面垂直的性质定理证明一些空间的简单线面关系.
在发现、推导和应用直线与平面垂直的性质定理的过程中，发展学生的数学抽象素养、逻辑推理素养和直观想象素养.
教材知识探究
如图，是我们比较熟悉的广场中的路灯.
问题
（1）灯杆与水平面有什么样的位置关系？
（2）灯杆与灯杆之间有什么样的位置关系？
（3）由此你能得出什么结论？
提示
（1）灯杆与水平面垂直.
（2）灯杆与灯杆平行.
（3）垂直于同一个平面的两条直线平行.
1.直线与平面垂直的性质定理 此定理沟通了“平行”与“垂直”
文字语言
垂直于同一个平面的两条直线平行
符号语言
⇒a∥b
图形语言
作用
①线面垂直⇒线线平行，②作平行线
2.直线与平面的距离
一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离.
3.平面与平面的距离
如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离.
教材拓展补遗
[微判断]
1.垂直于同一条直线的两个平面平行.（√）
2.到已知平面距离相等的两条直线平行.（×）
提示 到已知平面距离相等的两条直线可能平行、相交或异面.
[微训练]
1.若直线AB∥平面α，且点A到平面α的距离为2，则点B到平面α的距离为________.
答案 2
2.从圆柱的一个底面上任取一点（该点不在底面圆周上），过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是（ ）
A.相交B.平行
C.异面D.相交或平行
答案 B
[微思考]
1.如果直线a∥直线b，直线a⊥平面α，那么直线b也垂直平面α吗？
提示 是的，直线b也垂直平面α.
2.垂直于同一平面的两条垂线一定共面吗？
提示 共面.由线面垂直的性质定理可知这两条直线是平行的，故能确定一个平面.
题型一 线面垂直有关性质的理解
【例1】 已知a，b，c为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，下列四个命题：
①a⊥α，b∥β，且α∥β⇒a⊥b；②a⊥b，a⊥α⇒b∥α；③a⊥α，b⊥α，a∥c⇒b∥c；④a⊥α，β⊥α⇒a∥β.其中不正确的有（ ）
A.1个B.2个C.3个D.4个
解析 ①正确；②中b⊂α有可能成立，故②不正确；③正确；④中a⊂β有可能成立，故④不正确.故选B.
答案 B
规律方法
（1）线面垂直的性质定理揭示了“垂直”与“平行”这两种特殊位置关系之间的转化.
（2）常用线面垂直的性质还有：
①b⊥α，a⊂α⇒b⊥a；②a⊥α，b∥a⇒b⊥α；③a⊥α，a⊥β⇒α∥β.
【训练1】 △ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则直线l，m的位置关系是（ ）
A.相交B.异面C.平行D.不确定
解析 ∵l⊥AB，l⊥AC，AB∩AC＝A，∴l⊥平面ABC，同理m⊥平面ABC，∴l∥m.
答案 C
题型二 直线与平面垂直的性质应用
探究1 证明直线与直线平行
【例2－1】 如图，正方体A1B1C1D1－ABCD中，EF与异面直线AC，A1D都垂直相交.
求证：
EF∥BD1.
证明 如图所示，连接AB1，B1D1，B1C，BD，
∵DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，
∴DD1⊥AC.
又AC⊥BD，DD1∩BD＝D，DD1，BD⊂平面BDD1B1，
∴AC⊥平面BDD1B1，
又BD1⊂平面BDD1B1，
∴AC⊥BD1.
同理可证BD1⊥B1C，
又AC∩B1C＝C，AC，B1C⊂平面AB1C，
∴BD1⊥平面AB1C.
∵EF⊥A1D，A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.
又∵EF⊥AC，AC∩B1C＝C，AC，B1C⊂平面AB1C，
∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1.
探究2 证明直线与平面平行
【例2－2】 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点（点D不同于点C），且AD⊥平面BCC1B1，F为B1C1的中点.求证：
直线A1F∥平面ADE.
证明 因为A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，
所以A1F⊥B1C1.
因为CC1⊥平面A1B1C1，且A1F⊂平面A1B1C1，
所以CC1⊥A1F.
又CC1⊂平面BCC1B1，B1C1⊂平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1，
所以A1F⊥平面BCC1B1.
又AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD.
又AD⊂平面ADE，A1F⊄平面ADE，
所以A1F∥平面ADE.
规律方法 1.证明线线平行常用的方法
（1）利用线线平行定义：
证共面且无公共点.
（2）利用基本事实4：
证两线同时平行于第三条直线.
（3）利用线面平行的性质定理：
把证线线平行转化为证线面平行.
（4）利用线面垂直的性质定理：
把证线线平行转化为证线面垂直.
（5）利用面面平行的性质定理：
把证线线平行转化为证面面平行.
2.你能总结出证明线面平行的几种方法吗？
【训练2】 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.
证明：
AE∥MN.
证明 因为AB⊥平面PAD，AE⊂平面PAD，所以AE⊥AB，又AB∥CD，所以AE⊥CD.
因为AD＝AP，E是PD的中点，所以AE⊥PD.
又CD∩PD＝D，CD，PD⊂平面PCD，所以AE⊥平面PCD.
因为MN⊥AB，AB∥CD，所以MN⊥CD.
又因为MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD，
所以MN⊥平面PCD，所以AE∥MN.
一、素养落地
1.通过探究发现直线与平面垂直的性质定理，重点培养数学抽象素养，通过应用直线与平面垂直的性质定理，提升逻辑推理素养与直观想象素养.
2.平行关系与垂直关系之间的相互转化
二、素养训练
1.下列命题：
①垂直于同一条直线的两个平面互相平行；
②垂直于同一个平面的两条直线互相平行；
③一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直.
其中正确的个数是（ ）
A.0B.1C.2D.3
解析 由线面垂直的性质定理可知3个命题都正确.
答案 D
2.在四棱台ABCD－A1B1C1D1中，若点A1到平面ABCD的距离为4，则平面ABCD到平面A1B1C1D1的距离为________.
答案 4
3.直线a和b在正方体ABCD－A1B1C1D1的两个不同平面内，使a∥b成立的条件是________（只填序号）.
①a和b垂直于正方体的同一个面；
②a和b在正方体两个相对的面内，且共面；
③a和b平行于同一条棱；
④a和b在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直.
解析 ①为直线与平面垂直的性质定理的应用；②为平面平行的性质；③为基本事实4的应用.
答案 ①②③
4.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC，求证：
MN∥AD1.
证明 ∵四边形ADD1A1为正方形，∴AD1⊥A1D.
又∵CD⊥平面ADD1A1，∴CD⊥AD1.
∵A1D∩CD＝D，A1D，CD⊂平面A1DC，
∴AD1⊥平面A1DC.
又∵MN⊥平面A1DC，∴MN∥AD1.
基础达标
一、选择题
1.若直线a与平面α不垂直，那么在平面α内与直线a垂直的直线（ ）
A.只有一条B.有无数条
C.是平面内的所有直线D.不存在
解析 当a∥平面α时，在平面α内有无数条直线与直线a是异面垂直直线；当a⊂α时，在α内有无数条平行直线与直线a相交且垂直；当直线a与平面α相交但不垂直时，在平面α内有无数条平行直线与直线a垂直，故选B.
答案 B
2.直线l垂直于平面α，m⊂α，则有（ ）
A.l∥mB.l和m异面
C.l和m相交D.l和m不平行
解析 因为l⊥α，m⊂α，所以l⊥m，则l和m可能相交，也可能异面，即l和m不平行.
答案 D
3.地面上有两根相距a米的旗杆，它们的高分别是b米和c米（b>c），则它们上端的距离为（ ）
A.
B.
C.
D.
解析 如图，由线面垂直的性质定理可知AB∥CD，作AE⊥CD于E，则DE＝b－c，故AD＝
.
答案 D
4.已知m，n表示两条不同直线，α表示平面.下列说法正确的是（ ）
A.若m∥α，n∥α，则m∥n B.若m⊥α，n⊂α，则m⊥n
C.若m⊥α，n∥α，则m∥n D.若m∥α，m⊥n，则n⊥α
解析 由题可知，若m∥α，n∥α，则m与n平行、相交或异面，所以A错误；若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，故B正确；若m⊥α，n∥α，则m⊥n，故C错误；若m∥α，m⊥n，则n∥α或n⊥α或n与α相交或n⊂α，故D错误.
答案 B
5.PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B的任意一点，则下列关系不正确的是（ ）
A.PA⊥BC
B.BC⊥平面PAC
C.AC⊥PB
D.PC⊥BC
解析 ∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，A选项正确；又∵BC⊥AC，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，又PC⊂平面PAC，∴BC⊥PC，∴B，D选项均正确.故选C.
答案 C
二、填空题
6.已知A，B两点在平面α的同侧，且它们与平面α的距离相等，则直线AB与平面α的位置关系是________.
答案 平行
7.如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，直线a⊂β，a⊥AB，则直线a与直线l的位置关系是________.
解析 ∵EA⊥α，平面α∩平面β＝l，
即l⊂α，∴l⊥EA.同理l⊥EB.
又EA∩EB＝E，∴l⊥平面EAB.
∵EB⊥β，a⊂平面β，∴EB⊥a.
又a⊥AB，EB∩AB＝B，∴a⊥平面EAB，∴a∥l.
答案 平行
8.一条与平面α相交的线段，其长度为10cm，两端点到平面的距离分别是2cm，3cm，这条线段与平面α所成的角大小是________.
解析 如图，作出AC⊥α，BD⊥α，则AC∥BD，AC，BD确定的平面与平面α交于CD，且CD与AB相交于O，AB＝10，AC＝3，BD＝2，则AO＝6，BO＝4，∴∠AOC＝∠BOD＝30°.
答案 30°
三、解答题
9.如图，PA⊥平面ABD，PC⊥平面BCD，E，F分别为BC，CD上的点，且EF⊥AC.求证：
＝
.
证明 ∵PA⊥平面ABD，PC⊥平面BCD，
∴PA⊥BD，PC⊥BD，PC⊥EF.
又PA∩PC＝P，∴BD⊥平面PAC.
又EF⊥AC，PC∩AC＝C，PC，AC⊂平面PAC，
∴EF⊥平面PAC.∴EF∥BD，∴
＝
.
10.如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，D，E分别为AA1，B1C的中点，DE⊥平面BCC1B1，求证：
AB＝AC.
证明 取BC的中点F，连接EF，AF.
则EF∥B1B且EF＝
B1B.
从而EF∥DA且EF＝DA，
则四边形ADEF为平行四边形，从而AF∥DE.
又DE⊥平面BCC1B1，故AF⊥平面BCC1B1.
从而AF⊥BC，即AF为BC的垂直平分线，故AB＝AC.
能力提升
11.在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，∠BAC＝60°，PC⊥平面ABC，PC＝4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为（ ）
A.2
B.7C.
D.
解析 如图所示，因为PC⊥平面ABC，所以PC⊥CM，则△PCM是直角三角形，故PM2＝PC2＋CM2，所以当CM⊥AB时，CM最小，此时PM也最小.由条件知AC＝4，BC＝4
，故CM的最小值为2
，又PC＝4，则PM的最小值为
＝2
.
答案 A
12.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，M，N分别是AB，PC的中点.
（1）求证：
MN∥平面PAD；
（2）求证：
AB⊥MN.
证明
（1）取PD中点Q，连接AQ，NQ.
∵N是PC中点，
∴NQ綉
DC，
又∵M是AB中点，
AM綉
DC，
∴AM綉NQ，
∴四边形AQNM是平行四边形.∴MN∥AQ.
∵MN⊄平面PAD，AQ⊂平面PAD，
∴MN∥平面PAD.
（2）∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA⊥AB.
又∵底面ABCD为矩形，
∴AB⊥AD.又PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD，
∴AB⊥平面PAD，又AQ⊂平面PAD，
∴AB⊥AQ.
又∵AQ∥MN，∴AB⊥MN.
创新猜想
13.（多选题）如图所示，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上异于AB的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的投影，则（ ）
A.AF⊥PB
B.EF⊥PB
C.AF⊥BC
D.AE⊥平面PBC
解析 对于A，因为PA⊥平面ABC，故PA⊥BC，又BC⊥AC，故BC⊥平面PAC，从而BC⊥AF，又AF⊥PC，故AF⊥平面PBC，所以AF⊥PB，AF⊥BC，故A，C正确；
对于B，由选项A知AF⊥PB，而AE⊥PB，从而PB⊥平面AEF，故EF⊥PB，故B正确；
对于D，由上面过程可知，AE与平面PBC不垂直，故D不正确.
答案 ABC
14.（多选题）如图，等边三角形ABC的边长为1，BC边上的高为AD，沿AD把三角形ABC折起来，则（ ）
A.在折起的过程中始终有AD⊥平面DB′C
B.三棱锥A－DB′C的体积的最大值为
C.当∠B′DC＝60°时，点A到B′C的距离为
D.当∠B′DC＝90°时，点C到平面ADB′的距离为
解析 因为AD⊥DC，AD⊥DB′，且DC∩DB′＝D，所以AD⊥平面DB′C，故A正确；当DB′⊥DC时，△DB′C的面积最大，此时三棱锥A－DB′C的体积也最大，最大值为
×
×
×
×
＝
，故B正确；当∠B′DC＝60°时，△DB′C是等边三角形，设B′C的中点为E，连接AE，DE，则AE⊥B′C，即AE为点A到B′C的距离，AE＝
＝
，故C正确；当∠B′DC＝90°时，CD⊥DB′，CD⊥AD，故CD⊥平面ADB′，则CD就是点C到平面ADB′的距离，则CD＝
，故D正确.
答案 ABCD
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