中考数学复习之动态问题专题01动点问题中的最值最短路径问题解析版1.docx
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中考数学复习之动态问题专题01动点问题中的最值最短路径问题解析版1
专题01动点问题中的最值、最短路径问题
动点问题是初中数学阶段的难点，它贯穿于整个初中数学，自数轴起始，至几何图形的存在性、几何图形的长度及面积的最值，函数的综合类题目，无不包含其中.
其中尤以几何图形的长度及面积的最值、最短路径问题的求解最为繁琐且灵活多变，而其中又有一些技巧性很强的数学思想（转化思想），本专题以几个基本的知识点为经，以历年来中考真题为纬，由浅入深探讨此类题目的求解技巧及方法.
、基础知识点综述
1.两点之间，线段最短；
2.垂线段最短；
3.若A、B是平面直角坐标系内两定点，P是某直线上一动点，当P、A、B在一条直线上时，PAPB
最大，最大值为线段AB的长（如下图所示）
4.最短路径模型
（1）单动点模型作图方法：
作已知点关于动点所在直线的对称点，连接成线段与动点所在直线的交点即为所求点的位置.如下图所示，P是x轴上一动点，求PA+PB的最小值的作图.
2）双动点模型
P是∠AOB内一点，M、N分别是边OA、OB上动点，求作△PMN周长最小值.作图方法：
作已知点P关于动点所在直线OA、OB的对称点P'、P'，'连接P'P'与'动点所在直线的交
点M、N即为所求.
P'
5.二次函数的最大（小）值
2
yaxhk，当a>0时，y有最小值k；当a<0时，y有最大值k.
二、主要思想方法
利用勾股定理、三角函数、相似性质等转化为以上基本图形解答.（详见精品例题解析）
三、精品例题解析
例1.（2019·凉山州）如图，正方形ABCD中，AB=12，AE=3，点P在BC上运动（不与B、C重合），过点P作PQ⊥EP，交CD于点Q，则CQ的最大值为
【答案】4.
【解析】解：
∵PQ⊥EP，
∴∠EPQ=90°，即∠EPB+∠QPC=90
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠C=90°，∠EPB+∠BEP=90°
∴∠BEP=∠QPC，
∴△BEP∽△CPQ，
BEBP
CPCQ，
∵AB=12，AE=3，
∴BE=9，
设CQ=y，BP=x，CP=12－x，（0∴9x，
12xy
∴当x=6时，y有最大值为4，即CQ的最大值为4.
【点睛】此题为“一线三直角模型”，解题方法为相似三角形性质求解，综合利用二次函数的性质求解最值问题.
例2.（2019·自贡）如图，已知A、B两点的坐标分别为（8,0），（0,8）.点C、F分别是直线x=－5和x轴上的动点，CF=10，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当△ABE面积取最小值时，tan
∠BAD=（）
874
D.
A.B.C.
17179
答案】B.
1
【解析】解：
S△ABE=BEOA4BE,
2
当BE取最小值时，△ABE面积为最小值.
设x=－5与x轴交于点G，连接DG，
因为D为CF中点，△CFG为直角三角形，
1
所以DG=CD5,
2
∴D点的运动轨迹为以G为圆心，以5半径的圆上，如图所示
x=-5
由图可知：
当AD与圆G相切时，BE的长度最小，如下图，
y
D
B
H
E
G
O
A
x=
5
过点E作EH⊥AB于H，
∵OG=5，OA=8，DG=5，在Rt△ADG中，由勾股定理得：
AD=12，△AOE∽△ADG，
AOAD
OEDG
求得：
OE=10，
3
BE=14，∠B=45°，AB=823
故答案为B.
点睛】此题解题的关键是找到△ABE面积最小时即是AD与D的远动轨迹圆相切的时刻.进而构造以
1【解析】解：
根据题意可知：
OE=AB=12,
2
即E的轨迹为以O为圆心以12为半径的四分之一圆（第一象限的部分）
90
根据弧长公式，得点E的路径长为：
12=6π，故①错误；
180
因为AB=24,
当斜边AB上的高取最大值时，△OAB的面积取最大值，
点O在以AB为直径的圆上（圆心为E），当OE⊥AB时，斜边AB上的高最大，
1
所以△OAB的面积取最大值为：
2412=144，故②正确；
连接OE、DE，
得：
OD≤OE+DE，当O、E、D三点共线时取等号，
即OD的最大值为25，如图，过点D作DF⊥y轴于F，过点E作EG⊥y轴于G,
即：
12EGDF，
25AFAD5EGAE12,
51即：
AFEGDF
125
由勾股定理得：
12526
在Rt△ODF中，由勾股定理得：
OF=，
26
即点D的坐标为（252626,1252626），故③正确.
答案】见解析
设DF=x，在Rt△ADF中，
12
∵点Q（b,yQ）在抛物线yx2bxc上，
b3
∴yQ24，
即Qb2,24
∵b>0，∴Q点在第四象限，
2
2AM2QM222AMQM
所以只要构造出2AMQM即可得到2AM2QM的最小值过M作MG⊥AN于G，连接QM，如图所示，
△AGM为等腰直角三角形，
GM=22AM，即当G、M、Q三点共线时，GM+MQ取最小值，即2AM2QM取最小值，
点睛】此题需要利用等腰直角三角形将2AM2QM转化为22AMQM，进而根据两点
之间线段最短及等腰三角形性质求解
此时△MQH为等腰直角三角形，
例5.（2019·舟山）如图，一副含30°和45°角的三角板ABC和EDF拼合在个平面上，边AC与EF重合，AC12cm．当点E从点A出发沿AC方向滑动时，点F同时从点C出发沿射线BC方向滑动．当点E从点A滑动到点C时，点D运动的路径长为cm；连接BD，则△ABD的面积最大值为
答案】24-122；362243126
解析】解：
如图1所示，当E运动至E'，F滑动到F'时，
过D'作D'G⊥AC于G，D'H⊥BC交BC延长线于点H，
可得∠E'D'G=∠F'D'H，D'E'=D'F'，
∴Rt△E'D'G≌Rt△F'D'H，
∴D'G=G'H,
∴D'在∠ACH的角平分线上，
即C，D，D'三点共线.
通过分析可知，当D'E'⊥AC时，DD'的长度最大，随后返回初始D点，如图2所示，D点的运动路径
为D→D'→D，行走路线长度为2DD'；
图2
∵∠BAC=30°，AC=12，DE=CD
∴BC=43，CD=DE=62，
由图知：
四边形E'CF'D'为正方形，CD'=EF=12，
∴DD'=CD'-CD=12-62,D点运动路程为2DD'=24-122；
D'
如图3所示，当点D运动至D'时，△ABD'的面积最大，最大面积为：
S△ABCS正方形E'CF'D'S△AE'D'S△BD'F'
=143836216212621624362
222
=362243126
【点睛】准确利用全等、角平分线判定得到D点的运动轨迹是关键，利用三角函数及勾股定理求解，计算较为繁琐，尤其是利用割补法求解三角形的面积时对学生计算能力要求较高，此题难度较大，新颖不失难度.
例6.（2019·巴中）如图，在菱形ABCD中，连接BD、AC交于点O，过点O作OH⊥BC于点H，以O为圆心，OH为半径的半圆交AC于点M.
（1）求证：
DC是圆O的切线；
（2）若AC=4MC，且AC=8，求图中阴影部分面积；
（3）在
（2）的前提下，P是线段BD上的一动点，当PD为何值时，PH+PM的值最小，并求出最小
值.
H
C
【答案】见解析.
【解析】
（1）证明：
过点O作ON⊥CD于N，
AC是菱形ABCD的对角线，
∴AC平分∠BCD，
∵OH⊥BC，ON⊥CD，
∴OH=ON，
又OH为圆O的半径，
∴ON为圆O的半径，
即CD是圆O的切线.
（2）由题意知：
OC=2MC=4，MC=OM=2，
即OH=2，
在Rt△OHC中，OC=2OH，
可得：
∠OCH=30°，∠COH=60°，由勾股定理得：
CH=23
S阴影=S△OCHS扇形OMH
3）作点M关于直线BD的对称点M'，连接M'H交BD于点P，
可知：
PM=PM
即PH+PM=PH+PM'=HM'，由两点之间线段最短，知此时PH+PM最小，∵OM'=OM=OH，∠MOH=60°，
∴∠MM'H=30°=∠HCM，
∴HM'=HC=23
即PH+PM的最小值为23；
在Rt△M'PO及Rt△COD中，
23
OP=OM'tan30°=，
3
43
OD=OCtan30°=，
3
即PD=OP+OD=23.
C
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