精品大学物理第9章平衡态习题思考题doc.docx
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精品大学物理第9章平衡态习题思考题doc
习题
9-1.在容积V=3L的容器中盛有理想气体，气体密度为Q=1.3g/。
容器与大气相通排出一部分气体后，气压下降了0.78atnio若温度不变，求排出气体的质量。
解：
根据题意pV=vRT,可得：
PV=—RT,—RT=p-=-^-
MMmp
所以当温度不变时，气体的压强和密度成正比，初始密度为l.3g/L,后来的密度为：
Pi=
则排除的气体的质量为：
△秫二（代—Pi）V=（性一1）Q|V二^^xl.3x3
_Pi4
9-2.有一•截面均匀的封闭圆筒，中间被一•光滑的活塞分割成两边。
如果其中的一边装有0.1*某一温度的氢气，为了使活塞停留在圆筒的正中央，则另一边装入的同一•温度的氧气质量为多少？
解：
根据题意，温度相同的两个气体，活塞停留在圆筒的正中央，则两边的体积和压强相同，又：
pV=vRT,
所以两个气体摩尔数相同，
可得：
4=竺，代入数据：
归=匹，所以：
M.虬232
1.6kg
9-3.如图所示，两容器的体积相同，装有相同质量的氮气和条（气。
用一内壁光滑的水平细玻璃管相通，管的正中间有一小滴水银。
要保持水银滴在管的正中间，并维持氧气温度比氮气温度高30°C,则氮气的温度应是多少？
解：
根据题意，水银滴停留在管的正中央，则两边的体积和压强相同，又：
pV=vRT,所以十专=宇可得到:
"K。
9-4.高压氧瓶：
P=1.3xlO7Pa,V=30L,每天用6=1.0x10*,%=400L,为保证瓶内Pz>1.0xl06Pa,能用几天？
解：
根据题意pV=vRT,pM=%R7\可得：
（1.3xl07x30-1.0xl06x3O）/（l.OxlO5x400）=9
9-5.如图，长金属管下端封闭，上端开口，置于压强为鸟的大气中。
在封闭端加热达T}=1000K,另一端保持T2=200K，设温度沿管长|
均匀变化。
现封闭开口端，并使管子冷却到100K,求管内压强。
D
解：
根据题意管子一端T}=1000K,另一端保持T2=200K,所以函数
T=200+kx其中k=—o
I
〃fPS〃ef1,PoS200+80（）p0V
vR=-—al=paSdx=—^—\n=—ln5
T（200+奴）k200800
ppV
当封闭开口端，并使管子冷却到100K时，诙=而
两式相等，所以尸=理血5O
9-6.氢分子的质量为3.3xl0—24g,如果每秒有1（）23个氢分子沿着与容器器
壁的法线成45°角的方向以1（）5cm/s的速率撞击在2.0cm2面积上（碰撞是完全弹性的），则脂壁所承受的压强为多少?
解：
根据气体压强公式：
Fc以。
I023x2x3.3xI0"24x103x^1
F«2mvcos452oin3
p=——==:
=2.33x1（）pa
lx2xl0'4
S\tS……述r
9-7,-容器内储有氧气，其压强p=1.0atm,温度T=300K,求容器内氧气的
（1）分子数密度；
（2）分子间的平均密度；
（3）分子的平均平动动能；
（4）分子的方均根速度。
解：
（1）由气体状态方程p=nkT得
n=p/（kT）=（lxl.O13xlOs）/（1.38xlO'2x300）=2.45x1025nf3
⑵分子间的平均距离可近似计算
e=—=/1=3.44x109m
Mn*2.45x1（）25
（3）分子的平均平动动能
£=（3/2）kT=（3/2）x1.38x10'23x300=6.21xlO'21J
（4）方均根速度
9-8.在标准状态下，若氧气（视为刚性双原子分子的理想气体）和氮气的体积
比Vj/V2=1/2,则其内能之比EJE?
为多少？
解：
根据V}/V.=1/2,可得：
W工=1/2,土
>3
.
那么内能之比为：
互
L^v2rt2326
9-9.水蒸气分解为同温度的氢气和氧气，即H20->H2->+0.502,内能增加了多少？
解：
水蒸气分解后，一份的三原子的内能变成了1.5份的双原子的内能，所
,人….„,r-RT+0.5x-RT--RT.<
以内能的变化为：
旦==—=25%
-RT6
2
9-10.体积为20L的钢瓶中盛有氧气（视为刚性双原子气体），使用一段时间后，测得瓶中气体的压强为2atm,此时氧气的内能为多少？
解：
山理想气体状态方程：
pV=vRT,以及双原子气体内能公式：
E=v^RT
可得到：
E=v-/?
T=-/;V=-x2xl.01xl05x20xl0_3=104J
9-11.Q知某种理想气体，其分子方均根率为400m/s,当起压强为latm时,求气体的密度。
解：
山气体方程：
p=虬,pv=、RTn也=地=〃乏耽=凹
VJLIVRTp
9-12.容器的体积为2V。
绝热板C将其隔为体积相等的A、B两个部分，A内储有Imol单原子理想气体，B内储有2mol双原子理想气体，A、B两部分的压强均为〃（）。
（1）求A、B两部分气体各自的内能；
（2）现抽出绝热板C,求两种气体混合后达到平衡时的压强和温度。
.
解：
（1）山理想气体内能公式：
E=v—RT
2
B中气体为2mol双原子理想气体：
E=v-RT=5RT=5p0V0
2
3
（2）混合前总内能E0=-RT,+5R7\
所以T}=2T2E°=4RT】
混合后，温度为T,内能不变
3
E=—RT+5RT=4RT】
21
&_8p（M131-13R
9-13.金属导体中的电子，在金属内部作无规则运动（与容器中的气体分子类似），设金属中共有N个自由电子，啊电子的最大速率为*,电子速率在u〜u+du之间的概率为：
dN_[Av2dv
N〔0v>vm
式中A为常数.则电子的平均速率为多少？
答：
▽=）vf（v）dv=—pvdN=j^n，vAv2dv=—Avm4
9-14.大量粒子（M=7.2xl0i°个）的速率分布函数图象如图所示，试求:
（1）速率小于3（）m/s的分子数约为多少？
（2）速率处在99m/s到101m/s之间的分子数约为多少?
（3）所有N。
个粒子的平均速率为多少？
（4）速率大于60m/s的那些分子的平均速率为多少？
解：
根据题意：
=7.2x10"=—（30+120）x。
°2
144
所以a=^xi09
15
（1）速率小于30m/s的分子数：
N=—x30x。
=1.44x10"）
2
（2）速率处在99m/s到101m/s之间的分子数:
J
401,、,HOIV-7
f（v）dv=N（2。
——。
泌，=6.4x10
为弘60
（3）所有N。
个粒子的平均速率：
先写出这个分段函数的表达式:
凯，（0f（v）=a（302a———a（6060
（v（）A120）
y
（2。
6Z）dv]=54m/5
60
/]0030（60H20
v=Jvf（v）dv=Jv一w/u+Lwz"u+Lv
（4）速率大于60m/s的那些分子的平均速率
a20v
fvf（v）dvLV（2。
一芬4）dv]
V==——;=80/77/S
£/（v）6/vf2°（2a-—a）dv]
“1
"）Zg2kT
2/T
&£。
60
9-15.理想气体分子沿工方向的速度分布函数：
/（vA）=（
oc
据此推导压强公式P=nkT（已知:
N
，=1
~~VN-
所以关键在求出N个分子在x方向上速度分量平方的平均值：
N
江一7u-
上一二K，根据速度分布函数/W）=（」^）2/叽可得:
N2/ikT
pw〃一KT
=加=
4）x』）
「v2（-^—ye2如小=工
A\c_1rji/A
27UU//
N
N〃N：
那么利用一=〃，可得：
p=—乏——=nKT
VVrtVN
9-16.在麦克斯韦分布下，
（1）计算温度4=300K和7；=600K时氧气分
子最可几速率％和％;
（2）计算在这两温度下的最可几速率附近单位速率区间PlPl
内的分子数占总分子数的比率；（3）计算300K时氧分子在2%处总位速率区间
内分子数占总分子的比率。
2RT_]2x8.31x600
"7T~V32xl0-3
（2）在最可几速率附近单位速率区间内的分子数占总分子数的比率就是麦
3ni2
r/\4/〃2仃2灯'2
克斯韦分布函数：
/7刃=一［=（篇切尸。
u
眼2kT
T=300K,V=559m/s代入：
f（v）=0.15%
（3）iT算300K时氧分子在2%处单位速率区间内分子数占总分子的比率。
即将T=300K,v=1118m/s代入：
4ni-P2
得:
f（v）=-=（—）2e2kT”=（）.（）42%
眼2kT
9-17.试将质量为#的单原子理想气体速率分布函数3叫2
4勿（里-）"一苗U•du改写成按动能E=一削2分布的函数形式f的海,炳2/ikT2
求出其最可几动能及平均动能0
3■疽r—
解：
根据题意将4水上-户厂勇V.加中所有的速度用v=J—来代替，2/rkTV"
则得到：
/（£：
）d^=4^（）2eJ7・d£。
2/T
其最可几动能也就是sr（£）&〕/&=。
所对应的动能，为冗爪丁；
任3
平均动能玄=j时"）脆=-KT
9-18.一容器体积为2V,一导热隔板把它分成相等的两半，开始时左边盛有压强为％的理想气体，右边为真空。
在隔板上有一•面积为S的小孔，求打开小孔后左右两边压强P｝和P2与时间1的关系（已知单位时间与摇壁单位面积相撞的分子数为£应）。
4
解：
在F时间内与而积为S的小孔碰撞次数
所以dP=%」顷Sdl4V
P=-（1-E
此题与答案不符
9-19.试求升高到什么高度时大气压强将减至地面的75%o设空气的温度为0°C,空气的摩尔质量为O.（）289kg/mol。
-譬mgp（）
解.•根据题意:
P=P°e‘由P^h：
^-ln-
则可得：
压强随高度变化的规律z=（RT）/（|ig）1n（po/p）z=（8.31x273/O.O289x9.8）ln（l/O.75）=2.3xlO3m
9-20.气缸内盛有一定量的翅气（可视作理想气体），当温度不变而压强增大一
倍时，氢气分子的平均碰撞频率7和平均自山程X的变化情况怎样?
解：
根据平均碰撞频率的定义：
Z=4^.7161~nv
可得到』.6&咯月="拓碧所以当温度不变而压强增大一倍时，缉气分子的平均碰撞频率Z也将增大一倍。
一1kT
而平均自山程的概念为：
人=一=——
所以当温度不变血压强增大一倍时，氢气分子的平均碰撞频率Z将减小一倍。
9-21.
（1）分子的有效直径的数量级是多少？
（2）在常温下，气体分子的平均速率的数量级是多少？
（3）在标准状态下气体分子的碰撞频率的数量级是多少？
解：
（1）由pV=vRT,假设标准状态下一摩尔的气体，其体积为
V=RTIP,有效直径为：
d=3区,大约为10「％。
RT
（2）v=1.60|——，大约为1——lOOOnVso
（3）2=也静柝,大约为108——10%。
思考题
9-1.气体在平衡状态时有何特征？
平衡态与稳定态有什么不同？
气体的平衡态与力学中所指的平衡有什么不同？
答：
平衡态的特征：
（1）系统与外界在宏观上无能景和物质的交换
（2）系统的宏观性质不随时间改变。
热平衡态是指：
在无外界的影响下，不论系统初始状态如何，经过足够长的时
间后，系统的宏观性质不随时间改变的稳定状态。
它与稳定态或力学中的平衡不是一个概念。
1.平衡态是一种热动平衡状态。
处在平衡态的大量分子并不是静止的，它们仍在作热运动，而且因为碰撞，每个分子的速度经常在变，但是系统的宏观量不随时间改变。
例如：
粒子数问题：
箱子假想分成两相同体积的部分，达到平衡时，两侧粒子有的穿越界线，但两侧粒子数相同。
2平衡态是一种理想状态
9-2.对一定量的气体来说，当温度不变时，气体的压强随体积的减小面增大;当体积不变时，压强随温度的升高而增大。
从宏观来看，这两种变化同样使压强增大；从微观来看，它们是否有区别？
答：
有区别。
从微观上看：
p=2〃而
3
当温度不变时，气体的压强随体积的减小而增大是因为：
当布一•定时，体
积减小，n越大，即单位时间内碰撞到器壁的分子越多，则P就越大；
当体积不变时，压强随温度的升高而增大是因为：
当n—定时，而越大,即单位时间内分子对•器壁的碰撞越厉害，则P就越大。
9-3.在推导理想气体压强公式的过程中，什么地方用到了理想气体的分子模型?
什么地方用到了平衡态的概念?
什么地方用到了统计平均的概念？
压强的微观统计意义是什么？
答：
压强的求解公式中用到了理想气体的分子模型，把分子作为质点来研究;
对每个分子状态的假定用到了平衡态的概念；
从一■个分子对器壁的作用力推广到所有分子对器壁的作用力，计算分子的平均速度都用到了统计平均的概念；
压强的微观统计意义是压强是大量分子碰撞器壁的平均效果，是对大量分子对时间对面积的一个统计平均值。
对一个分子而-言，它对器壁的碰撞是偶然的，
但就大量分子而言，其碰撞的统计平均效果就表现为持续的均匀压强。
9-4.容器内有质量为m,摩尔质量为M的理想气体，设容器以速度v作定向运动，今使容器突然停止，问：
（1）气体的定向运动机械能转化什么形式的能
量？
（2）下面两种气体分子速度平方的平均值增加多少？
①单原子分子；②双
原子分子；（3）如果容器再从静止加速到原来速度V,那么容器内理想气体的温度是否还会改变?
为什么？
答：
（1）一般来说，气体的宏观运动不会影响其微观的内动能，但是当容器忽然停止运动时，大量分子的定向运动的动能将通过与器壁的以及分子间的碰撞而转换为热运动的能量，会使容器内气体的问题有所升高。
-3,_1--3KT
（2）w=-kT=-mv,所以：
v=，温度增加多少，其速度
22m
平方的平均值也做相应的增加。
（3）宏观量温度是一个统计概念，是大量分子无规则热运动的集体表现，是分子平均平动动能的量度，分子热运动是相对质心参照系的，平动动能是系统的内动能.温度与系统的整体运动无关.所以当容器再从静止.加速到原来速度v,那么容器内理想气体的温度不会改变。
9.5叙述下列式的物理意义：
|Q•••♦
（D-A:
T；
（2）-A:
T；（3）-JlT；（4）-/?
T；（5）—-7?
（7；-T）.
2222M2M2-
答：
（1）在平衡态下，分子热运动能量平均地分配在分子每一个自由度上的能最均为、kT°
2
3
（2）在平衡态下，分子平均平动动能一
2
.
（3）在平衡态下，自山度为i的分子平均总能量-kTo
2
.
⑷1摩尔自山度为i的分子组成的系统内能为-RT。
2
（5）山质量为虬摩尔质量为褊,自山度为i的分子组成的系统的内能为
1RT。
M2
（6）山质量为M,摩尔质量为Mg,自山度为i的分子组成的系统的内能的变化为
招R%-%。
M2
9-6.家气、氧气分子数均为N,%=2%，速率分布曲线如图，且阴影面
积为S,求
（1）哪条是氮气的速率分布曲线？
Vp
（2）工；（3）*）的意义？
（4）多少？
对应的物
1'u
理意义是什么？
\2RT
答
（1）山V--可知,对于氧气和&（气，即使T°,=2T%，M
气的Vp还是大于氧气，所以图形中，Vp大的曲线是筑气，即B图是狙气的。
（3）%的意义：
在这速率附近、速率区间dv内的氮气和氧气的分子数相同。
00
（4）pV[/B（u）-人⑴伽为在V。
右边的两曲线的面积差乘以N；
对应的物理意义是Vo-8的速率区间内氮气分子比氧气分子多多少个。
9-7.两种理想气体分子数分别为Na和Nb，某一温度下，速率分布函数分
别为/a（u）和扁（口），问此温度下A和B组成系统的速率分布函数如何?
答：
/（v）=
、眼）+"Q）
Na+Nb
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