分数裂项法解分数计算.docx
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分数裂项法解分数计算
分数裂项计算
本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发現规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。
很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。
本讲是整个奧数知识体系中的一个精•华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较爲。
分数裂项
一、“裂差"型运算
将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可祈后抵消，这种拆项计算称为裂项法•裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程.这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是置根本的。
（1）
对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即丄形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a（2）
对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：
W+爲+2），小+爲+2）如3）形式喩我们釈
1丄11
nx（n+l）x（n+2）x（n+3）3nx（,i+l）x（n+2）（n+1）x（〃+2）x（n+3）
裂差型裂项的三大关键特征：
（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x（x为任意自然数）的，但是只要将X提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”
（3）分母上几个因数间的差是一个定值。
-xu裂和"型运算:
常见的裂和型运算主要有以下两种形式：
八、€/+/?
ah11“、a2b1ab
（1）=+=—+—
（2）=——+=-+-
axbaxhaxhbaaxbaxbaxbba
裂和型运算与裂差型运算的对比：
裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的笃裂和型运算的題目不仅有“两两抵消”型的,同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
【例1]
11111
H+14
1x22x33x44x55x6
【巩固】
11dF10x1111x12
1
59x60
【巩固】_!
_+丄+・.・+丄+丄=
10x99x85x44x3
【例2]
1111
—++++
11+21+2+31+2+…+100
【例3]
+++•••+
1x33x55x799x101
【巩固】计算:
25X[T^3+3^5+5^7+*，，+23x25>
【巩固】
251251251251251
+++■••++4x88x1212x162000x20042004x2008
【巩固】计算:
3245671
FHF+1F—
2x55x77x1111x1616x2222x2929
【例4]计算:
（—+—+—+—++++
8244880120168224
1
288
）x128=
11111
—+—+—+—H
3042567290
【巩固】』+丄+丄+丄+丄+
36101521
1
28
【巩固】计算:
111111111
2~6"12"20"30"42"56"72"90
【巩固】
11111
—+—+—++
104088154238
【例5]
计算:
+++・・・+
1x3x53x5x75x7x92001x2003x2005
【例6]
—X4.5+0.16
18
時3.75x3.2
‘1111
一+—+—+—
13153563丿
【例7]
计算:
4叫嗚+哙+・..+2。
疵
【巩固】计算:
【巩固】计算:
【巩固】计算：
20081,20091,2010^4-2011^.2012^=.
11224
一+_+_+_+一=
26153577
1111111
_+—+—+—+—+——+——
315356399143195
1
【巩固】计算:
511192997019899
—H1+—+—+…++=.
2612203097029900
【例8]
111
++
1x2x32x3x47x8x9
【巩固】计算:
1x2x32x3x498x99x100
【巩固】计算:
1111+++…•+1x3x52x4x63x5x720x22x24
【巩固】
44
1+1x3x53x5x7
44
1
93x95x9795x97x99
【巩固】
9998971
H++
1x2x32x3x43x4x599x100x101
【例9]
+4+•—F十
Ix2x3x42x3x4x53x4x5x66x7x8x97x8x9x10
33
H+Ix2x3x42x3x4x5
3
17x18x19x20
【例10】计算:
5719
4+...+
1x2x32x3x48x9x10
【巩固】计算」55x（仆
7
3x4x5
【巩固】计算:
34512
1++…+Ix2x4x52x3x5x63x4x6x710x11x13x14
【例11]卜
2+2x3
3
2x3x4
4+...2x3x4x5
9
2x3x4…xlO
【例12]
123456
+++++
1x21x2x3Ix2x3x4Ix2x3x4x5Ix2x3x4x5x6Ix2x3x4x5x6x7
【巩固】计算:
2399
—+—+•••+
3!
4!
100!
【例13】
23450
H++・■■+lx（l+2）（1+2）x（1+2+3）（1+2+3）x（1+2+3+4）（1+2+3+…+49）x（l+2+・・・+50）
【巩固】
234100
H1+・・・+lx（l+2）（1+2）x（1+2+3）（l+2+3）x（l+2+3+4）仆+2+・・・+99）x（l+2+・・・+100）
【巩固】1一
23
lx（l+2）（l+2）x（l+2+3）
10
（l+2+3+・・・+9）x（l+2+3+・・・+10）
【例14]
]]]1,11
32-152-172-192-1^112-1132-1
【巩固】计算:
（1-
x（14）x-x（1
【巩固】计算:
35715
+++•••+
12x2222x3232x4272x82
【巩固】计算:
32+152+172+119932+119952+1
32-1+52-1+72-1+"'+19932-1+19952-1
【巩固】计算:
12+3222+4232+52982+1002
+++•••+=・才_132-142-199—1
【巩固】计算:
I222325O2
H++■••+
1x33x55x799x101
【例15]
5+66+77+88+99+10
+_+
5x66x77x88x99x10
【巩酊|4
5791113
+—+—+—+—+—
612203042
【巩固】计算:
132579101119
一+一+_+一+_+_+一+_+_=
3457820212435
【巩固】
12379111725
—+—+—+F—+—+—+—
3571220283042
【巩固】
11111201026—+—+—+—
233031
【巩固】
丄
8
学空+里
（61220
38一+123
27
124
【巩固】计算:
1二+2丄+11』+匕』+岁
612203042567290
【巩固】L+L+L+±+l
175
+—+—
3012
【例16]
12+2222+32
++
1x22x3
182+192192+202
H+
18x1919x20
【巩固】（
1
1x2007
+
2x2006
+——+——严（亠+1
2006x22007x120081x2006
2x2005+
+2006xl）
【例17】计算:
2x3
+・・・+hH■■+
4x598x995152
1
99
【例19]计算:
2
□
4
-
6
L4-111
12
十
3
3x5
13x5x7'
3x5x7x9x11
【例18】计算:
1222
1x33x55x7
2”
17x19
2*
1x3x5
24
*3x5x7
211
17x19x21,
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