分式不等式应用题.docx
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分式不等式应用题
分式不等式应用题
7．（2014•四川绵阳,第10题3分）某商品的标价比成本价高m%，根据市场需要，该商品需降价n%出售，为了不亏本，n应满足（ ）
A．
n≤m
B．
n≤
C．
n≤
D．
n≤
考点：
一元一次不等式的应用
分析：
根据最大的降价率即是保证售价大于等于成本价相等，进而得出不等式即可．
解答：
解：
设进价为a元，由题意可得：
a（1+m%）（1﹣n%）﹣a≥0，
则（1+m%）（1﹣n%）﹣1≥0，
整理得：
100n+mn≤100m，
故n≤
．
故选：
B．
点评：
此题主要考查了一元一次不等式的应用，得出正确的不等关系是解题关键．
2.（2014•黑龙江绥化,第24题8分）某商场用36万元购进A、B两种商品，销售完后共获利6万元，其进价和售价如下表：
A
B
进价（元/件）
1200
1000
售价（元/件）
1380
1200
（1）该商场购进A、B两种商品各多少件；
（2）商场第二次以原进价购进A、B两种商品．购进B种商品的件数不变，而购进A种商品的件数是第一次的2倍，A种商品按原售价出售，而B种商品打折销售．若两种商品销售完毕，要使第二次经营活动获利不少于81600元，B种商品最低售价为每件多少元？
考点：
一元一次不等式组的应用．
专题：
应用题；压轴题．
分析：
（1）设购进A种商品x件，B种商品y件，列出不等式方程组可求解．
（2）由
（1）得A商品购进数量，再求出B商品的售价．
解答：
解：
（1）设购进A种商品x件，B种商品y件，
根据题意得
化简得
，解之得
．
答：
该商场购进A、B两种商品分别为200件和120件．
（2）由于A商品购进400件，获利为
（1380﹣1200）×400=72000（元）
从而B商品售完获利应不少于81600﹣72000=9600（元）
设B商品每件售价为z元，则
120（z﹣1000）≥9600
解之得z≥1080
所以B种商品最低售价为每件1080元．
点评：
本题考查一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解．准确的解不等式组是需要掌握的基本能力．
5．（2014•重庆A,第23题10分）为丰富居民业余生活，某居民区组建筹委会，该筹委会动员居民自愿集资建立一个书刊阅览室．经预算，一共需要筹资30000元，其中一部分用于购买书桌、书架等设施，另一部分用于购买书刊．
（1）筹委会计划，购买书刊的资金不少于购买书桌、书架等设施资金的3倍，问最多用多少资金购买书桌、书架等设施？
（2）经初步统计，有200户居民自愿参与集资，那么平均每户需集资150元．镇政府了解情况后，赠送了一批阅览室设施和书籍，这样，只需参与户共集资20000元．经筹委会进一步宣传，自愿参与的户数在200户的基础上增加了a%（其中a＞0）．则每户平均集资的资金在150元的基础上减少了
a%，求a的值．
考点：
一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用
分析：
（1）设用于购买书桌、书架等设施的为x元，则购买书籍的有（30000﹣x）元，利用“购买书刊的资金不少于购买书桌、书架等设施资金的3倍”，列出不等式求解即可；
（2）根据“自愿参与的户数在200户的基础上增加了a%（其中a＞0）．则每户平均集资的资金在150元的基础上减少了
a%，且总集资额为20000元”列出方程求解即可．
解答：
解：
（1）设用于购买书桌、书架等设施的为x元，则购买书籍的有（30000﹣x）元，
根据题意得：
30000﹣x≥3x，
解得：
x≤7500．
答：
最多用7500元购买书桌、书架等设施；
（2）根据题意得：
200（1+a%）×150（1﹣
a%）=20000
整理得：
a2+10a﹣3000=0，
解得：
a=50或a=﹣60（舍去），
所以a的值是50．
点评：
本题考查了一元二次方程的应用及一元一次不等式的应用，解题的关键是从题目中整理出等量关系和不等关系，难度不大．
9.（2014•攀枝花，第22题8分）为了打造区域中心城市，实现攀枝花跨越式发展，我市花城新区建设正按投资计划有序推进．花城新区建设工程部，因道路建设需要开挖土石方，计划每小时挖掘土石方540m3，现决定向某大型机械租赁公司租用甲、乙两种型号的挖掘机来完成这项工作，租赁公司提供的挖掘机有关信息如表：
租金（单位：
元/台•时）
挖掘土石方量（单位：
m3/台•时）
甲型挖掘机
100
60
乙型挖掘机
120
80
（1）若租用甲、乙两种型号的挖掘机共8台，恰好完成每小时的挖掘量，则甲、乙两种型号的挖掘机各需多少台？
（2）如果每小时支付的租金不超过850元，又恰好完成每小时的挖掘量，那么共有几种不同的租用方案？
考点：
一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用．
分析：
（1）设甲、乙两种型号的挖掘机各需x台、y台．等量关系：
甲、乙两种型号的挖掘机共8台；每小时挖掘土石方540m3；
（2）设租用m辆甲型挖掘机，n辆乙型挖掘机，根据题意列出二元一次方程，求出其正整数解；然后分别计算支付租金，选择符合要求的租用方案．
解答：
解：
（1）设甲、乙两种型号的挖掘机各需x台、y台．
依题意得：
，
解得
．
答：
甲、乙两种型号的挖掘机各需5台、3台；
（2）设租用m辆甲型挖掘机，n辆乙型挖掘机．
依题意得：
60m+80n=540，化简得：
3m+4n=27．
∴m=9﹣n，
∴方程的解为
，
．
当m=5，n=3时，支付租金：
100×5+120×3=860元＞850元，超出限额；
当m=1，n=6时，支付租金：
100×1+120×6=820元，符合要求．
答：
有一种租车方案，即租用1辆甲型挖掘机和3辆乙型挖掘机．
点评：
本题考查了一元一次不等式和二元一次方程组的应用．解决问题的关键是读懂题意，依题意列出等式（或不等式）进行求解．
11.（2014•丽水，第21题8分）为了保护环境，某开发区综合治理指挥部决定购买A，B两种型号的污水处理设备共10台．已知用90万元购买A型号的污水处理设备的台数与用75万元购买B型号的污水处理设备的台数相同，每台设备价格及月处理污水量如下表所示：
污水处理设备
A型
B型
价格（万元/台）
m
m﹣3
月处理污水量（吨/台）
220
180
（1）求m的值；
（2）由于受资金限制，指挥部用于购买污水处理设备的资金不超过165万元，问有多少种购买方案？
并求出每月最多处理污水量的吨数．
考点：
分式方程的应用；一元一次不等式的应用．
分析：
（1）根据90万元购买A型号的污水处理设备的台数与用75万元购买B型号的污水处理设备的台数相同，列出m的分式方程，求出m的值即可；
（2）设买A型污水处理设备x台，B型则（10﹣x）台，根据题意列出x的一元一次不等式，求出x的取值范围，进而得出方案的个数，并求出最大值．
解答：
解：
（1）由90万元购买A型号的污水处理设备的台数与用75万元购买B型号的污水处理设备的台数相同，
即可得：
，
解得m=18，
经检验m=18是原方程的解，即m=18；
（2）设买A型污水处理设备x台，B型则（10﹣x）台，
根据题意得：
18x+15（10﹣x）≤165，
解得x≤5，由于x是整数，则有6种方案，
当x=0时，y=10，月处理污水量为1800吨，
当x=1时，y=9，月处理污水量为220+180×9=1840吨，
当x=2时，y=8，月处理污水量为220×2+180×8=1880吨，
当x=3时，y=7，月处理污水量为220×3+180×7=1920吨，
当x=4时，y=6，月处理污水量为220×4+180×6=1960吨，
当x=5时，y=5，月处理污水量为220×5+180×5=2000吨，
答：
有6种购买方案，每月最多处理污水量的吨数为2000吨．
点评：
本题考查分式方程的应用和一元一次不等式的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键，此题难度不大，特别是几种方案要分析周全．
12．（2014•贵州黔西南州,第24题14分）为增强居民节约用电意识，某市对居民用电实行“阶梯收费”，具体收费标准见表：
一户居民一个月用电量的范围
电费价格（单位：
元/千瓦时）
不超过160千瓦时的部分
x
超过160千瓦时的部分
x+0.15
某居民五月份用电190千瓦时，缴纳电费90元．
（1）求x和超出部分电费单价；
（2）若该户居民六月份所缴电费不低于75元且不超过84元，求该户居民六月份的用电量范围
考点：
一元一次不等式的应用；一元一次方程的应用．
分析：
（1）等量关系为：
不超过160千瓦时电费+超过160千瓦时电费=90；
（2）设该户居民六月份的用电量是a千瓦时．则依据收费标准列出不等式75≤160×0.45+0.6（a﹣160）≤84．
解答：
解：
（1）根据题意，得
160x+（190﹣160）（x+0.5）=90，
解得x=0.45；
则超出部分的电费单价是x+0.15=0.6（元/千瓦时）．
答：
x和超出部分电费单价分别是0.45和0.6元/千瓦时；
（2）设该户居民六月份的用电量是a千瓦时．则
75≤160×0.45+0.6（a﹣160）≤84，
解得165≤a≤180．
答：
该户居民六月份的用电量范围是165度到180度．
点评：
本题考查了一元一次不等式的应用，一元一次方程的应用．解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出等量（不等量）关系，列方程（不等式）求解．
13.（2014•黑龙江哈尔滨,第26题8分）荣庆公司计划从商店购买同一品牌的台灯和手电筒，已知购买一个台灯比购买一个手电筒多用20元，若用400元购买台灯和用160元购买手电筒，则购买台灯的个数是购买手电筒个数的一半．
（1）求购买该品牌一个台灯、一个手电筒各需要多少元？
（2）经商谈，商店给予荣庆公司购买一个该品牌台灯赠送一个该品牌手电筒的优惠，如果荣庆公司需要手电筒的个数是台灯个数的2倍还多8个，且该公司购买台灯和手电筒的总费用不超过670元，那么荣庆公司最多可购买多少个该品牌台灯？
考点：
分式方程的应用；一元一次不等式的应用．
分析：
（1）设购买该品牌一个手电筒需要x元，则购买一个台灯需要（x+20）元．则根据等量关系：
购买台灯的个数是购买手电筒个数的一半，列出方程；
（2）设公司购买台灯的个数为a各，则还需要购买手电筒的个数是（2a+8）个，则根据“该公司购买台灯和手电筒的总费用不超过670元”列出不等式．
解答：
解：
（1）设购买该品牌一个手电筒需要x元，则购买一个台灯需要（x+20）元．
根据题意得
=
×
解得x=5
经检验，x=5是原方程的解．
所以x+20=25．
答：
购买一个台灯需要25元，购买一个手电筒需要5元；
（2）设公司购买台灯的个数为a，则还需要购买手电筒的个数是（2a+8）
由题意得25a+5（2a+8）≤670
解得a≤21
所以荣庆公司最多可购买21个该品牌的台灯．
点评：
本题考查了一元一次不等式和分式方程的应用．解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量（不等量）关系．
14.（2014•黑龙江牡丹江,第25题7分）学校计划选购甲、乙两种图书作为“校园读书节”的奖品．已知甲图书的单价是乙图书单价的1.5倍；用600元单独购买甲种图书比单独购买乙种图书要少10本．
（1）甲、乙两种图书的单价分别为多少元？
（2）若学校计划购买这两种图书共40本，且投入的经费不超过1050元，要使购买的甲种图书数量不少于乙种图书的数量，则共有几种购买方案？
考点：
分式方程的应用；一元一次不等式组的应用
分析：
（1）总费用除以单价即为数量，设乙种图书的单价为x元，则甲种图书的单价为1.5x元，根据两种图书数量之间的关系列方程；
（2）设购进甲种图书a本，则购进乙种图书（40﹣a）本，根据“投入的经费不超过1050元，甲种图书数量不少于乙种图书的数量”列出不等式组解决问题．
解答：
解：
（1）设乙种图书的单价为x元，则甲种图书的单价为1.5x元，由题意得
﹣
=10
解得：
x=20
则1.5x=30，
答：
甲种图书的单价为30元，乙种图书的单价为20元；
（2）设购进甲种图书a本，则购进乙种图书（40﹣a）本，根据题意得
解得：
20≤a≤25，
所以a=20、21、22、23、24、25，则40﹣a=20、19、18、17、16、15共5种方案．
点评：
此题考查分式方程的运用，一元一次不等式组的运用，理解题意，抓住题目蕴含的数量关系解决问题．
16.（2014•湖北黄石,第23题8分）某校九（3）班去大冶茗山乡花卉基地参加社会实践活动，该基地有玫瑰花和蓑衣草两种花卉，活动后，小明编制了一道数学题：
花卉基地有甲乙两家种植户，种植面积与卖花总收入如下表．（假设不同种植户种植的同种花卉每亩卖花平均收入相等）
种植户玫瑰花种植面积（亩）蓑衣草种植面积（亩）卖花总收入（元）
甲5333500
乙3743500
（1）试求玫瑰花，蓑衣草每亩卖花的平均收入各是多少？
（2）甲、乙种植户计划合租30亩地用来种植玫瑰花和蓑衣草，根据市场调查，要求玫瑰花的种植面积大于蓑衣草的种植面积（两种花卉的种植面积均为整数亩），花卉基地对种植玫瑰花的种植给予补贴，种植玫瑰花的面积不超过15亩的部分，每亩补贴100元；超过15亩但不超过20亩的部分，每亩补贴200元；超过20亩的部分每亩补贴300元．为了使总收入不低于127500元，则他们有几种种植方案？
考点：
一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用
专题：
应用题．
分析：
（1）设玫瑰花，蓑衣草的亩平均收入分别为x，y元，根据表格中的等量关系列出方程组求解；
（2）设种植玫瑰花m亩，则种植蓑衣草面积为（30﹣m）亩，根据玫瑰花的种植面积大于蓑衣草的种植面积，可得m＞15，然后分段讨论求解．
解答：
解：
（1）设玫瑰花，蓑衣草的亩平均收入分别为x，y元，
依题意得：
，
解得：
．
答：
玫瑰花每亩的收入为4000元，蓑衣草每亩的平均收入是4500元．
（2）设种植玫瑰花m亩，则种植蓑衣草面积为（30﹣m）亩，
依题意得：
m＞30﹣m，
解得：
m＞15，
当15＜m≤20时，总收入w=4000m+4500（30﹣m）+15×100+（m﹣15）×200≥127500，
解得：
15＜m≤20，
当m＞20时，总收入w=4000m+4500（30﹣m）﹣15×100+5×200+（m﹣20）×300≥127500，
解得：
m≤20，（不合题意），
综上所述，种植方案如下：
种植类型种植面积（亩）
方案一方案二方案三方案四方案五
玫瑰花1617181920
蓑衣草1413121110
点评：
本题考查了二元一次方程组的应用及一元一次不等式的应用，解答本题的关键是仔细审题，找到等量关系与不等关系．
18．（2014•广西来宾，第23题8分）甲、乙两个厂家生产的办公桌和办公椅的质量、价格一致，每张办公桌800元，每张椅子80元．甲、乙两个厂家推出各自销售的优惠方案，甲厂家：
买一张桌子送三张椅子；乙厂家：
桌子和椅子全部按原价8折优惠．现某公司要购买3张办公桌和若干张椅子，若购买的椅子数为x张（x≥9）．
（1）分别用含x的式子表示甲、乙两个厂家购买桌椅所需的金额；
（2）购买的椅子至少多少张时，到乙厂家购买更划算？
考点：
一元一次不等式的应用．
专题：
应用题．
分析：
（1）根据甲乙两厂家的优惠方式，可表示出购买桌椅所需的金额；
（2）令甲厂家的花费大于乙厂家的花费，解出不等式，求解即可确定答案．
解答：
解：
（1）甲厂家所需金额为：
3×800+80（x﹣9）=1680+80x；
乙厂家所需金额为：
（3×800+80x）×0.8=1920+64x；
（2）由题意，得：
1680+80x＞1920+64x，
解得：
x＞15．
答：
购买的椅子至少16张时，到乙厂家购买更划算．
点评：
本题考查了一元一次不等式的知识，注意将实际问题转化为数学模型，利用不等式的知识求解．
19．（2014年广西南宁，第24题10分）“保护好环境，拒绝冒黑烟”．某市公交公司将淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的公交车，计划购买A型和B型两种环保节能公交车共10辆，若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元．
（1）求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元？
（2）预计在该线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次．若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于680万人次，则该公司有哪几种购车方案？
哪种购车方案总费用最少？
最少总费用是多少？
考点：
一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用．
分析：
（1）设购买A型公交车每辆需x万元，购买B型公交车每辆需y万元，根据“A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元”列出方程组解决问题；
（2）设购买A型公交车a辆，则B型公交车（10﹣a）辆，由“购买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元，”和“10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于680万人次，”列出不等式组探讨得出答案即可．
解答：
解：
（1）设购买A型公交车每辆需x万元，购买B型公交车每辆需y万元，由题意得
，
解得
答：
设购买A型公交车每辆需100万元，购买B型公交车每辆需150万元．
（2）设购买A型公交车a辆，则B型公交车（10﹣a）辆，由题意得
，
解得：
6≤a≤8，
所以a=6，7，8；
则10﹣a=4，3，2；
三种方案：
①购买A型公交车6辆，则B型公交车4辆：
100×6+150×4=1200万元；
②购买A型公交车7辆，则B型公交车3辆：
100×7+150×3=1150万元；
③购买A型公交车8辆，则B型公交车2辆：
100×8+150×2=1100万元；
购买A型公交车8辆，则B型公交车2辆费用最少，最少总费用为1100万元．
点评：
此题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，注意理解题意，找出题目蕴含的数量关系，列出方程组或不等式组解决问题．
9．（2014•四川内江，第27题，12分）某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降．今年5月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为100万元，今年销售额只有90万元．
（1）今年5月份A款汽车每辆售价多少万元？
（2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车，已知A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元且不少于99万元的资金购进这两款汽车共15辆，有几种进货方案？
（3）如果B款汽车每辆售价为8万元，为打开B款汽车的销路，公司决定每售出一辆B款汽车，返还顾客现金a万元，要使
（2）中所有的方案获利相同，a值应是多少？
此时，哪种方案对公司更有利？
考点：
分式方程的应用；一元一次不等式组的应用
分析：
（1）求单价，总价明显，应根据数量来列等量关系．等量关系为：
今年的销售数量=去年的销售数量．
（2）关系式为：
99≤A款汽车总价+B款汽车总价≤105．
（3）方案获利相同，说明与所设的未知数无关，让未知数x的系数为0即可；对公司更有利，因为A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，所以要多进B款．
解答：
解：
（1）设今年5月份A款汽车每辆售价m万元．则：
，
解得：
m=9．
经检验，m=9是原方程的根且符合题意．
答：
今年5月份A款汽车每辆售价m万元；
（2）设购进A款汽车x量．则：
99≤7.5x+6（15﹣x）≤105．
解得：
≤x≤10．
因为x的正整数解为3，4，5，6，7，8，9，10，
所以共有8种进货方案；
（3）设总获利为W元．则：
W=（9﹣7.5）x+（8﹣6﹣a）（15﹣x）=（a﹣0.5）x+30﹣15a．
当a=0.5时，
（2）中所有方案获利相同．
此时，购买A款汽车3辆，B款汽车12辆时对公司更有利．
点评：
本题考查分式方程和一元一次不等式组的综合应用，找到合适的等量关系及不等关系是解决问题的关键．
10．（2014•四川南充，第23题，8分）今年我市水果大丰收，A、B两个水果基地分别收获水果380件、320件，现需把这些水果全部运往甲、乙两销售点，从A基地运往甲、乙两销售点的费用分别为每件40元和20元，从B基地运往甲、乙两销售点的费用分别为每件15元和30元，现甲销售点需要水果400件，乙销售点需要水果300件．
（1）设从A基地运往甲销售点水果x件，总运费为w元，请用含x的代数式表示w，并写出x的取值范围；
（2）若总运费不超过18300元，且A地运往甲销售点的水果不低于200件，试确定运费最低的运输方案，并求出最低运费．
分析：
（1）表示出从A基地运往乙销售点的水果件数，从B基地运往甲、乙两个销售点的水果件数，然后根据运费=单价×数量列式整理即可得解，再根据运输水果的数量不小于0列出不等式求解得到x的取值范围；
（2）根据一次函数的增减性确定出运费最低时的运输方案，然后求解即可．
解：
（1）设从A基地运往甲销售点水果x件，则从A基地运往乙销售点的水果（380﹣x）件，
从B基地运往甲销售点水果（400﹣x）件，运往乙基地（x﹣80）件，
由题意得，W=40x+20（380﹣x）+15（400﹣x）+30（x﹣80），
=35x+11000，
即W=35x+11000，∵
，∴80≤x≤380，即x的取值范围是80≤x≤380；
（2）∵A地运往甲销售点的水果不低于200件，∴x≥200，∵35＞0，
∴运费W随着x的增大而增大，
∴当x=200时，运费最低，为35×200+11000=18000元，
此时，从A基地运往甲销售点水果200件，从A基地运往乙销售点的水果180件，
从B基地运往甲销售点水果200件，运往乙基地120件．
点评：
本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，读懂题目信息，准确表示出从A、B两个基地运往甲、乙两个销售点的水果的件数是解题的关键．
11．（2014•四川宜宾，第20题，8分）在我市举行的中学生安全知识竞赛中共有20道题．每一题答对得5分，答错或不答都扣3分．
（1）小李考了60分，那么小李答对了多少道题？
（2）小王获得二等奖（75～85分），请你算算小王答对了几道题？
考点：
一元一次不等式组的应用；一元一次方程的应用
分析：
（1）设小李答对了x道题，则有（20﹣x）道题答错或不答，根据答对题目的得分减去答错或不答题目的扣分是60分，即可得到一个关于x的方程，解方程即可求解；
（2）先设小王答对了y道题，根据二等奖在75分～85分之间，列出不等式组，求出y的取值范围，再根据y只能取正整数，即可得出答案．
解答：
解：
（1）设小李答对了x道题．
依题意得5x﹣3（20﹣x）=60．
解得
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