安徽省蚌埠市学年高二上学期期末考试数学理试题.docx
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安徽省蚌埠市学年高二上学期期末考试数学理试题
安徽省蚌埠市2020-2021学年高二上学期期末考试数学（理）试题
学校:
___________姓名：
___________班级：
___________考号：
___________
一、单选题
1．空间直角坐标系中，点
关于平面
对称的点的坐标为（）
A．
B．
C．
D．
2．若直线
：
与直线
：
平行，则
的值为（）
A．
B．
C．
D．
3．将半径相同，圆心角之比为1：
2的两个扇形作为两个圆锥的侧面，这两个圆锥底面面积依次为
，那么
（）
A．
B．
C．
D．
4．准线为
的抛物线标准方程是（）
A．
B．
C．
D．
5．下列命题中正确的是（）
A．如果平面
平面
，则
内任意一条直线必垂直于
B．若直线
不平行于平面
，则
内不存在直线平行于直线
C．如果平面
不垂直于平面
，那么平面
内一定不存在直线垂直于平面
D．若直线
不垂直于平面
，则
内不存在直线垂直于直线
6．已知双曲线
的一个焦点为
，且离心率
，则双曲线的方程为（）
A．
B．
C．
D．
7．“直线
不相交”是“直线
为异面直线”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
8．已知点
是直线
上的动点，点
为圆
上的动点，则
的最小值为（）
A．
B．1C．
D．
9．一个几何体的三视图如图所示（单位：
m），则该几何体的体积为（）
A．
B．
C．
D．
10．双曲线
右焦点为
，点
在双曲线的右支上，以
为直径的圆
与圆
的位置关系是（）
A．相交B．外切C．相离D．内切
11．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中提到了一种名为“刍甍”的五面体（如图）面
为矩形，棱
.若此几何体中，
，
，
和
都是边长为
的等边三角形，则此几何体的表面积为（）
A．
B．
C．
D．
12．设抛物线
的焦点为
，两垂直直线过
，与抛物线相交所得的弦分别为
，则
的最小值为（）
A．16B．8C．4D．2
二、填空题
13．命题“任意四面体均有内切球”的否定形式是______.
14．直线
垂直于
，且平分圆
：
，则直线
的方程为_______.
15．将边长为
的正方形
（及其内部）绕
旋转一周形成圆柱，如图，
，
，其中
与
在平面
的同侧．则异面直线
与
所成的角的大小是．
16．已知点
和点
都在椭圆
上，其中
为椭圆的离心率，则
_______.
三、解答题
17．已知
：
，
：
.若
是
的充分不必要条件，求实数
的取值范围.
18．已知圆
的圆心在直线
上，且圆
经过点
.
（1）求圆的标准方程；
（2）直线
过点
且与圆
相交，所得弦长为4，求直线
的方程.
19．在三棱锥
中，平面
平面
，
，
分别为
的中点.
（1）求证：
平面
；
（2）求证：
平面
平面
.
20．已知抛物线
：
的焦点为
，直线
与
轴交于点
，抛物线
交于点
，且
.
（1）求抛物线
的方程；
（2）过原点
作斜率为
和
的直线分别交抛物线
于
两点，直线
过定点
，
是否为定值，若为定值，求出该定值，若不是，则说明理由.
21．如图，
中，
，
分别是
的中点，将
沿
折起成
，使面
面
，
分别是
和
的中点，平面
与
，
分别交于点
.
（1）求证：
；
（2）求二面角
的正弦值.
22．椭圆
的经过中心的弦称为椭圆的一条直径，平行于该直径的所有弦的中点的轨迹为一条线段，称为该直径的共轭直径，已知椭圆的方程为
.
（1）若一条直径的斜率为
，求该直径的共轭直径所在的直线方程；
（2）若椭圆的两条共轭直径为
和
，它们的斜率分别为
，证明：
四边形
的面积为定值.
参考答案
1．B
【解析】
点
关于平面
对称的点的坐标为
选B
2．D
【解析】
因为直线
：
与直线
：
平行，所以
（2舍去），选D.
3．C
【解析】
两个圆锥底面半径之比为
这两个圆锥底面面积
，选C.
4．A
【解析】
准线为
的抛物线标准方程是
，选A.
5．C
【解析】
如果平面
平面
，则
内一条直线不一定垂直于
；若直线
不平行于平面
，且直线
在平面
内，则
内有无数条直线平行于直线
；若直线
不垂直于平面
，且直线
在平面
内，则
内有无数条直线垂直于直线
；所以A,B,D都错；因为平面
内存在直线垂直于平面
则有平面
垂直于平面
，所以其逆否命题也成立，即C正确，选C.
6．D
【解析】
，即双曲线的方程为
，选D.
7．B
【解析】
异面直线一定不相交，不相交可以平行，所以“直线
不相交”是“直线
为异面直线”的必要不充分条件，选B.
8．A
【解析】
的最小值为
选A.
点睛：
与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化．
9．B
【详解】
几何体为两个柱体的组合，高皆为4，一个底面为梯形（上底为1，下底为2，高为1），另一个为矩形，长为3，宽为2，所以体积为
，选B.
点睛:
空间几何体体积问题的常见类型及解题策略
（1）若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．
（2）若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．
（3）若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．
10．B
【解析】
设
为左焦点，则
，从而圆心O到AF中点M距离为
，所以以
为直径的圆
与圆
的位置关系是外切，选B.
点睛：
判断圆与圆位置关系，实质就是探求圆心距与两半径之间关系，利用圆锥曲线定义揭示两圆圆心距与半径关系.
11．B
【分析】
利用勾股定理求出梯形
的高，再计算出各个面的面积，相加可得出该几何体的表面积.
【详解】
过
作
平面
，垂足为
，取
的中点
，连结
，
过
作
，垂足为
，连结
.
和
都是边长为
的等边三角形，
，
，
.
，
，
，
又
，
，
几何体的表面积
，故选B.
【点睛】
本题考查多面体表面积计算，解题的关键就是要分析各面的形状，并计算出各个面的面积，考查计算能力，属于中等题.
12．A
【解析】
设
倾斜角为
，则
，因为
垂直，所以
因此
，选A.
点睛：
1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．2．若
为抛物线
上一点，由定义易得
；若过焦点的弦
AB的端点坐标为
，则弦长为
可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．
13．存在四面体没有内切球
【解析】命题“任意四面体均有内切球”的否定形式是：
存在四面体没有内切球
14．
【解析】
设直线
：
，因为过圆心（-1，2），所以
，即
15．
【解析】
试题分析：
设点
在下底面圆周的射影为
连结
则
为直线
与
所成角（或补角）,
连结
，
为正三角形,
直线
与
所成角大小为
.
考点：
异面直线所成角.
【方法点睛】求两条异面直线所成角的关键是作为这两条异面直线所成角，作两条异面直线所成角的方法是：
将其中一条一条直线平移与另一条相交相交或是将两条异面直线同时平移到某个位置使他们相交，然后再同一平面内求相交直线所成角，值得注意的是：
平移后相交所得的角必须容易算出，因此平移时要求选择恰当位置.
16．
【解析】
点睛：
解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于
的方程或不等式，再根据
的关系消掉
得到
的关系式，而建立关于
的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.
17．
【解析】
试题分析：
先解不等式得p,q,再根据
是
的充分不必要条件得p,q包含关系，最后根据数轴求实数
的取值范围.
试题解析：
：
：
∵
是
的充分不必要条件，∴
，
即
∴
且两个等号不同时成立，解得
故实数
的取值范围是
.
18．
（1）
；
（2）
或
.
【分析】
（1）先求
的中垂线方程，再求交点得圆心，最后求半径
（2）根据垂径定理得圆心
到直线
距离，设直线
点斜式，根据点到直线距离公式求斜率，最后验证斜率不存在的情况是否满足条件.
【详解】
（1）设圆心为
，则
应在
的中垂线上，其方程为
，
由
，即圆心
坐标为
又半径
，故圆的方程为
.
（2）点
在圆内，且弦长为
，故应有两条直线.
圆心到直线距离
.
①当直线的斜率不存在时，直线的方程为
，
此时圆心到直线距离为1，符合题意.
②当直线的斜率存在时，设为
，直线方程为
整理为
，则圆心到直线距离为
，
解得
，直线方程为
，
综上①②，所求直线方程为
或
.
19．
（1）证明见解析；
（2）证明见解析.
【解析】
试题分析：
（1）根据中位线性质得
，再根据线面平行判定定理得结果
（2）先根据等腰三角形性质得
.再根据面面垂直性质定理得
平面
，最后根据面面垂直判定定理得结果
试题解析：
（1）因为
分别为
的中点，所以
，
又因为
平面
，
平面
，所以
平面
.
（2）证明：
因为
，
为
的中点，所以
.
又因为平面
平面
，平面
平面
，且
平面
，
所以
平面
，又
平面
，所以平面
平面
.
20．
（1）
；
（2）答案见解析.
【解析】
试题分析：
（1）先求点P,Q坐标，再根据
求得
（2）先设
，则
，再根据点在抛物线上化简得
，最后根据直线方程与抛物线方程联立方程组，结合韦达定理解得
，即得
试题解析：
（1）
，由
以及抛物线定义可知，
∵
，∴
，抛物线
的方程为
.
（2）不妨设
，直线
：
，
由
，得
，
，
故
.
21．
（1）证明见解析；
（2）
.
【解析】
试题分析：
（1）先根据三角形中位线性质得
，再根据线面平行判定定理得
平面
，最后根据线面平行性质定理得结论
（2）根据以及建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解出各面法向量，由向量数量积得法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系求结果
试题解析：
（1）证明：
∵
分别是
的中点，∴
，而
平面
，
平面
，
∴
平面
又平面
平面
，故
.
（2）如图，建立空间直角坐标系，由题意得：
，
，
，
，
，
∴
，
，
，
，
设平面
的一个法向量为
，
则
，令
，解得
，
∴
设平面
的一个法向量为
，
则
，取
，得
，
设二面角
的平面角为
，
则
，∴
.
∴二面角
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