学年华师大版七年级数学下册 同步跟踪训练912 三角形的角平分线中线和高线含详细解析.docx

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学年华师大版七年级数学下册同步跟踪训练912三角形的角平分线中线和高线含详细解析

9.1.2三角形的角平分线，中线和高线

一．选择题（共8小题）

1．小华在电话中问小明：

“已知一个三角形三边长分别是4，9，12，如何求这个三角形的面积？

”小明提示说：

“可通过作最长边上的高来求解．”小华根据小明的提示作出的图形正确的是（　　）

A．

B．

C．

D．

2．在△ABC所在的平面内存在一点P，它到A、B、C三点的距离都相等，那么点P一定是（　　）

A．△ABC三边中垂线的交点B．△ABC三边上高线的交点

C．△ABC三内角平分线的交点D．△ABC一条中位线的中点

3．已知BD是△ABC的中线，AB=4，AC=3，BD=5，则△ABD的周长为（　　）

A．12B．10.5C．10D．8.5

4．三角形的下列四种线段中一定能将三角形分成面积相等的两部分的是（　　）

A．角平分线B．中位线C．高D．中线

5．如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD比△ACD的周长大6cm，则AB与AC的差为（　　）

A．2cmB．3cmC．6cmD．12cm

6．下列说法正确的是（　　）

①三角形的三条中线都在三角形内部；②三角形的三条角平分线都在三角形内部；③三角形三条高都在三角形的内部．

A．①②③B．①②C．②③D．①③

7．如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（　　）

A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不能确定

8．下列说法错误的是（　　）

A．三角形的中线、高、角平分线都是线段

B．任意三角形内角和都是180°

C．三角形按角可分为锐角三角形、直角三角形和等腰三角形

D．直角三角形两锐角互余

二．填空题（共6小题）

9．在△ABC中，AD为BC边的中线，若△ABD与△ADC的周长差为3，AB=8，则AC=　_________　．

10．如图，在△ABC中，BE是边AC上的中线，已知AB=4cm，AC=3cm，BE=5cm，则△ABC的周长是　_________　cm．

（第10题）（第11题）（第12题）

11．在△ABC中，已知AD是角平分线，∠B=50°，∠C=70°，∠BAD=　_________　°．

12．如图，AD是△ABC的边BC上的中线，已知AB=5cm，AC=3cm，则△ABD与△ACD的周长之差为　_________　cm．

13．如图，在△ABC中，AC⊥BC，CD⊥AB于点D．则图中共有　_________　个直角三角形．

14．AD为△ABC的高，AB=AC，△ABC的周长为20cm，△ACD的周长为14cm，则AD=　_________　．

三．解答题（共6小题）

15．在△ABC中，BD是AC边上的中线，已知AB=6cm，△ABD的周长与△CBD的周长的差1cm，求边BC的长．

16．如图，已知：

AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC=60°，∠BCE=40°，求∠ADB的度数．

17．如图，已知△ABC的周长为21cm，AB=6cm，BC边上中线AD=5cm，△ABD周长为15cm，求AC长．

18．如图，在△ABC中，∠B=60°，∠C=20°，AD为△ABC的高，AE为角平分线

（1）求∠EAD的度数；

（2）寻找∠DAE与∠B、∠C的关系并说明理由．

19．如图，已知△ABC的高AD，角平分线AE，∠B=26°，∠ACD=56°，求∠AED的度数．

20．如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠EAD=5°，∠B=50°，求∠C的度数．

参考答案与试题解析

一．选择题（共8小题）

1．小华在电话中问小明：

“已知一个三角形三边长分别是4，9，12，如何求这个三角形的面积？

”小明提示说：

“可通过作最长边上的高来求解．”小华根据小明的提示作出的图形正确的是（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：

三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积．.

分析：

由三角形的三边为4，9，12，可知该三角形为钝角三角形，其最长边上的高在三角形内部，即过最长边所对的角的顶点，作对边的垂线，垂足在最长边上．

解答：

解：

∵42+92=97＜122，

∴三角形为钝角三角形，

∴最长边上的高是过最长边所对的角的顶点，作对边的垂线，垂足在最长边上．

故选：

C．

点评：

本题考查了三角形高的画法．当三角形为锐角三角形时，三条高在三角形内部；当三角形是直角三角形时，两条高是三角形的直角边，一条高在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，两条高在三角形外部，一条高在内部．

2.在△ABC所在的平面内存在一点P，它到A、B、C三点的距离都相等，那么点P一定是（　　）

A．△ABC三边中垂线的交点B．△ABC三边上高线的交点

C．△ABC三内角平分线的交点D．△ABC一条中位线的中点

考点：

三角形的角平分线、中线和高．.

分析：

根据已知，作出图形，已知△ABC内一点P，PA=PB=PC，如图所示，作辅助线PM、PN、PK分别垂直三角形的三边AC、BC、AB，可证得点P是三角形的外心．问题可求．

解答：

解：

如图所示，PA=PB=PC，作PM⊥AC于点M，

则∠PMA=∠PMC=90°，在两直角三角形中，

∵PM=PM，PA=PC，∴△APM≌△CPM，

∴AM=MC；

同理可证得：

AK=BK，BN=CN，

∴点P是△ABC三边中垂线的交点．故选A．

点评：

解答本题的关键是熟练掌握三角形的内心（三边垂直平分线的交点）和外心（三条角平分线的交点）；垂心是三条高的交点．

3．已知BD是△ABC的中线，AB=4，AC=3，BD=5，则△ABD的周长为（　　）

A．12B．10.5C．10D．8.5

考点：

三角形的角平分线、中线和高．.

分析：

先由BD是△ABC的中线，得出AD=

AC=1.5，再根据三角形周长的定义得出△ABD的周长=AB+BD+AD，将数值代入计算即可求解．

解答：

解：

∵BD是△ABC的中线，

∴AD=

AC=1.5，

∴△ABD的周长=AB+BD+AD=4+5+1.5=10.5．

故选B．

点评：

本题考查了三角形的中线与周长，比较简单，根据中线的定义得出AD=

AC=1.5是解题的关键．

4．三角形的下列四种线段中一定能将三角形分成面积相等的两部分的是（　　）

A．角平分线B．中位线C．高D．中线

考点：

三角形的角平分线、中线和高．.

分析：

三角形的角平分线与中线重合时才能将三角形分成面积相等的两部分，三角形的中位线将三角形分成面积为1：

3，三角形的高只有与中线重合时才能将三角形分成面积相等的两部分，三角形的中线将三角形的一条边平均分成2部分，以这2部分分别为底，分别求新三角形的面积，面积相等．

解答：

解：

（1）

三角形的角平分线把三角形分成两部分，这两部分的面积比分情况而定；

（2）

三角形的中位线把三角形分成两部分，这两部分的面积经计算得：

三角形面积为梯形面积的

；

（3）

三角形的高把三角形分成两部分，这两部分的面积比分情况而定；

（4）

三角形的中线AD把三角形分成两部分，△ABD的面积为

•BD•AE，△ACD面积为

•CD•AE；

因为AD为中线，所以D为BC中点，所以BD=CD，

所以△ABD的面积等于△ACD的面积．

∴三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分．

故选D．

点评：

考查中线，高，中位线，角平分线的定义，及中线，高，中位线在实际运算中的应用．

5．如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD比△ACD的周长大6cm，则AB与AC的差为（　　）

A．2cmB．3cmC．6cmD．12cm

考点：

三角形的角平分线、中线和高．.

分析：

根据三角形的周长和中线的定义求AB与AC的差．

解答：

解：

∵AD是△ABC的中线，

∴BD=DC．

∴△ABD比△ACD的周长大6cm，即AB与AC的差为6cm．

故选C．

点评：

三角形的中线即三角形的一个顶点与对边中点所连接的线段．

6．下列说法正确的是（　　）

①三角形的三条中线都在三角形内部；②三角形的三条角平分线都在三角形内部；③三角形三条高都在三角形的内部．

A．①②③B．①②C．②③D．①③

考点：

三角形的角平分线、中线和高．.

分析：

根据三角形的三条中线都在三角形内部；三角形的三条角平分线都在三角形内部；三角形三条高可以在内部，也可以在外部，直角三角形有两条高在边上作答．

解答：

解：

①、②正确；

而对于三角形三条高：

锐角三角形的三条高在三角形的内部；

直角三角形有两条高在边上；

钝角三角形有两条高在外部，故③错误．

故选B．

点评：

考查了三角形的三条中线，三条角平分线，三条高的位置．

三角形的三条中线都在三角形内部；

三角形的三条角平分线都在三角形内部；

三角形三条高可以在内部，也可以在外部，直角三角形有两条高在边上．

7．如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（　　）

A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不能确定

考点：

三角形的角平分线、中线和高．.

分析：

根据三角形的高的特点对选项进行一一分析，即可得出答案．

解答：

解：

A、锐角三角形，三条高线交点在三角形内，故错误；

B、钝角三角形，三条高线不会交于一个顶点，故错误；

C、直角三角形的直角所在的顶点正好是三条高线的交点，可以得出这个三角形是直角三角形，故正确；

D、能确定C正确，故错误．

故选：

C．

点评：

此题主要考查了三角形的高，用到的知识点是钝角三角形的三条高所在的直线的交点在三角形的外部；锐角三角形的三条高所在的直线的交点在三角形的内部；直角三角形的三条高所在的直线的交点是三角形的直角顶点．

8．下列说法错误的是（　　）

A．三角形的中线、高、角平分线都是线段

B．任意三角形内角和都是180°

C．三角形按角可分为锐角三角形、直角三角形和等腰三角形

D．直角三角形两锐角互余

考点：

三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理；直角三角形的性质．.

专题：

推理填空题．

分析：

根据三角形的中线高角平分线定义即可判断A；由三角形内角和定理能判断B；由直角三角形的分类能判断C；根据直角三角形的性质能判断D．

解答：

解：

A、三角形的中线高角平分线都是线段，故本选项错误；

B、根据三角形的内角和定理，三角形的内角和等于180°，故本选项错误；

C、因为三角形按角分为直角三角形和斜三角形（锐角三角形、钝角三角形），故本选项正确；

D、直角三角形两锐角互余，故本选项错误；

故选C．

点评：

本题考查了三角形的角平分线、中线、高，三角形的内角和定理，直角三角形的性质等知识点，熟练理解和掌握这些知识是解此题的关键．

二．填空题（共6小题）

9．在△ABC中，AD为BC边的中线，若△ABD与△ADC的周长差为3，AB=8，则AC=　5　．

考点：

三角形的角平分线、中线和高．.

分析：

根据三角形的中线的定义可得BD=CD，然后求出△ABD与△ADC的周长差AB与AC的差，然后代入数据计算即可得解．

解答：

解：

∵AD为BC边的中线，

∴BD=CD，

∴△ABD与△ADC的周长差=（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）=AB﹣AC，

∵△ABD与△ADC的周长差为3，AB=8，

∴8﹣AC=3，

解得AC=5．

故答案为：

5．

点评：

本题考查了三角形的中线，熟记概念并求出两个三角形的周长的差等于两边长的差是解题的关键．

10．如图，在△ABC中，BE是边AC上的中线，已知AB=4cm，AC=3cm，BE=5cm，则△ABC的周长是　

　cm．

考点：

三角形的角平分线、中线和高．.

分析：

根据三角形的中线定理：

AB2+BC2=2（BE2+AE2），来求出BC的长度，然后再来求△ABC的周长．

解答：

解：

∵在△ABC中，BE是边AC上的中线，

∴AB2+BC2=2（BE2+AE2），AE=

AC，

∵AB=4cm，AC=3cm，BE=5cm，

∴BC=

（cm），

∴AB+BC+AC=

（cm），即△ABC的周长是

cm．

点评：

本题主要考查了三角形的中线定理．

11．在△ABC中，已知AD是角平分线，∠B=50°，∠C=70°，∠BAD=　30　°．

考点：

三角形的角平分线、中线和高．.

分析：

要求∠BAD的度数，只要求得∠BAC的度数即可，可根据三角形的内角和，利用180°减去另外两个角的度数可得答案．

解答：

解：

△ABC中，∠B=50°，∠C=70°，

∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C，

=180°﹣50°﹣70°，

=60°，

∵AD是角平分线，

∴∠BAD=

∠BAC=

×60°=30°．

故填30．

点评：

本题考查了三角形的角平分线、中线和高的相关知识；利用三角形的内角和求得∠BAC的度数是正确解答本题的关键．

12．如图，AD是△ABC的边BC上的中线，已知AB=5cm，AC=3cm，则△ABD与△ACD的周长之差为　2　cm．

考点：

三角形的角平分线、中线和高．.

分析：

根据三角形的周长的计算方法得到，△ABD的周长和△ADC的周长的差就是AB与AC的差．

解答：

解：

∵AD是△ABC中BC边上的中线，

∴BD=DC=

BC，

∴△ABD和△ADC的周长的差

=（AB+

BC+AD）﹣（AC+

BC+AD）

=AB﹣AC

=5﹣3

=2（cm）．

故答案为：

2．

点评：

本题考查三角形的中线的定义以及周长的计算方法，难度适中．在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段，叫做这个三角形的中线．三角形的周长即三角形的三边和，C=a+b+C．

13．如图，在△ABC中，AC⊥BC，CD⊥AB于点D．则图中共有　3　个直角三角形．

考点：

三角形的角平分线、中线和高．.

分析：

根据直角三角形的定义，解答出即可．

解答：

解：

∵AC⊥BC，CD⊥AB，

∴∠ACB=∠ADC=∠BDC=90°，

∴直角三角形有：

△ACB，△ADC，△BDC．

故答案为：

3．

点评：

本题主要考查了直角三角形的定义，有一个角是直角的三角形是直角三角形．

14．AD为△ABC的高，AB=AC，△ABC的周长为20cm，△ACD的周长为14cm，则AD=　4cm　．

考点：

三角形的角平分线、中线和高．.

分析：

如图，由于AD为△ABC的高，AB=AC，那么D为BC中点，而△ABC的周长为20cm，由此可以求出AC+CD的值，而△ACD的周长为14cm，由此就可以求出AD的长度．

解答：

解：

如图，∵AD为△ABC的高，AB=AC，

∴D为BC中点，

而△ABC的周长为20cm，

∴AC+CD=

×20=10cm，

而△ACD的周长=AC+CD+AD=14cm，

∴AD=4cm．

故答案为：

4cm．

点评：

此题主要考查了等腰三角形的底边上中线的性质，也利用了三角形的周长公式，然后求出所求线段的长度．

三．解答题（共6小题）

15．在△ABC中，BD是AC边上的中线，已知AB=6cm，△ABD的周长与△CBD的周长的差1cm，求边BC的长．

考点：

三角形的角平分线、中线和高．.

分析：

根据三角形的中线得出AD=CD，根据三角形的周长求出即可．

解答：

解：

∵BD是△ABC的中线，

∴AD=CD，

∴△ABD和△BCD的周长的差是：

（AB+BD+AD）﹣（BC+BD+CD）=AB﹣BC=1cm．

又∵AB=6cm，

∴BC=1cm．

点评：

本题主要考查对三角形的中线的理解和掌握，能正确地进行计算是解此题的关键．

16．如图，已知：

AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC=60°，∠BCE=40°，求∠ADB的度数．

考点：

三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理．.

分析：

根据AD是△ABC的角平分线，∠BAC=60°，得出∠BAD=30°，再利用CE是△ABC的高，∠BCE=40°，得出∠B的度数，进而得出∠ADB的度数．

解答：

解：

∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC=60°，

∴∠DAC=∠BAD=30°，

∵CE是△ABC的高，∠BCE=40°，

∴∠B=50°，

∴∠ADB=180°﹣∠B﹣∠BAD=180°﹣30°﹣50°=100°．

点评：

此题主要考查了角平分线的性质以及高线的性质和三角形内角和定理，根据已知得出∠B的度数是解题关键．

17．如图，已知△ABC的周长为21cm，AB=6cm，BC边上中线AD=5cm，△ABD周长为15cm，求AC长．

考点：

三角形的角平分线、中线和高．.

分析：

先根据△ABD周长为15cm，AB=6cm，AD=5cm，由周长的定义可求BD的长，再根据中线的定义可求BC的长，由△ABC的周长为21cm，即可求出AC长．

解答：

解：

∵AB=6cm，AD=5cm，△ABD周长为15cm，

∴BD=15﹣6﹣5=4cm，

∵AD是BC边上的中线，

∴BC=8cm，

∵△ABC的周长为21cm，

∴AC=21﹣6﹣8=7cm．

故AC长为7cm．

点评：

考查了三角形的周长和中线，本题的关键是由周长和中线的定义得到BC的长，题目难度中等．

18．如图，在△ABC中，∠B=60°，∠C=20°，AD为△ABC的高，AE为角平分线

（1）求∠EAD的度数；

（2）寻找∠DAE与∠B、∠C的关系并说明理由．

考点：

三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理．.

分析：

（1）根据三角形的内角和定理首先求得∠BAC，然后利用角平分线的定义求得∠BAE，再在直角△BAD中求得∠BAD的度数，根据∠EAD=∠EAB﹣∠BAD即可求得；

（2）根据三角形的内角和定理，以及角平分线的定义用∠B与∠C表示出∠EAB，在直角△ABD中，利用∠B表示出∠BAD，根据∠EAD=∠EAB﹣∠BAD即可求得．

解答：

解：

（1）∵在△ABC中，∠BAC=180°﹣∠C﹣∠B=180°﹣20°﹣60°=100°，

又∵AE为角平分线，

∴∠EAB=

∠BAC=50°，

在直角△ABD中，∠BAD=90°﹣∠B=90°﹣60°=30°，

∴∠EAD=∠EAB﹣∠BAD=50°﹣30°=20°；

（2）根据

（1）可以得到：

∠EAB=

∠BAC=

（180°﹣∠B﹣∠C）

∠BAD=90°﹣∠B，

则∠EAD=∠EAB﹣∠BAD=

（180°﹣∠B﹣∠C）﹣（90°﹣∠B）=

（∠B﹣∠C）．

点评：

本题考查了角平分线的定义，以及三及三角形的内角和定理，正确用∠B与∠C表示出∠EAB是关键．

19．如图，已知△ABC的高AD，角平分线AE，∠B=26°，∠ACD=56°，求∠AED的度数．

考点：

三角形的角平分线、中线和高．.

分析：

由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和知，∠BAC=∠ACD﹣∠B，∠AEC=∠B+∠BAE，而AD平分∠BAC，故可求得∠AEC的度数．

解答：

解：

∵∠B=26°，∠ACD=56°

∴∠BAC=30°

∵AE平分∠BAC

∴∠BAE=15°

∴∠AED=∠B+∠BAE=41°．

点评：

本题利用了三角

形内角与外角的关系和角平分线的性质求解．

20．如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠EAD=5°，∠B=50°，求∠C的度数．

考点：

三角形的角平分线、中线和高．.

分析：

根据直角三角形两锐角互余求出∠AED，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BAE，然后根据角平分线的定义求出∠BAC，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．

解答：

解：

∵AD是BC边上的高，∠EAD=5°，

∴∠AED=85°，

∵∠B=50°，

∴∠BAE=∠AED﹣∠B=85°﹣50°=35°，

∵AE是∠BAC的角平分线，

∴∠BAC=2∠BAE=70°，

∴∠C=180°﹣∠B﹣∠BAC=180°﹣50°﹣70°=60°．

点评：

本题考查了三角形的角平分线、中线和高，主要利用了直角三角形两锐角互余，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记各性质并准确识图是解题的关键．