北大心理统计重点讲义资料.docx
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北大心理统计重点讲义资料
北大心理统计
第一章绪论
&1.随机现象与统计学
确定现象随机现象
本人性别生男生女
光的速度学习成绩
种豆得豆（人的）反应速度
随机现象：
具有以下三个特性的现象称为随机现象
（i）一次试验有多种可能结果，其所有可能结果是已知的。
（ii）试验之前不能预料哪一种结果会出现
（iii）在相同条件下可以重复试验
随机事件：
随机现象的每一种结果叫做一个随机事件。
随机变量：
把能表示随机现象各种结果的变量称为随机变量
统计学的研究对象是随机现象规律性随机变量的分布：
（i）正态分布eg:
学习成绩
图（略）
（ii）双峰分布eg:
:
汽车拥挤程度
图（略）
（iii）另一种分布eg:
如下
图（略）
&2.总体和样本
总体：
是我们所研究的具有某种共同特性的个体的总和
样本：
是从总体中抽取的作为观察对象的一部分个体。
（i）总体：
有限总体：
总体所包含的个体数目有限时
无限总体：
总体所包含的个体数目无限时→参数：
总体上的各种数字特征
（ii）总体→抽样→样本：
大样本：
>30>50
小样本：
≤30≤50（更精神）
（样本容量：
样本中包含的个体数目）
→统计量：
样本上的数字特征
根据统计量来估计参数
&3.心理统计学的内容
1．描述统计：
对已获得的数据进行整理，概括，显现其分布特征的统计方法。
集中量平均数＃
描述差异量标准差S:
S大：
差异大/不稳定对个别
S小：
差异小/稳定对个别
统计相关量：
相关系数（表示两件事情的相互关系）r.r∈[-1,1]（r表示从无关道完全相关，相关：
正相关，相关，负相关）
2．推断统计
参数估计：
＃→μ
s→σ
推断r→р
统计假设检验：
参数检验
非参数检验
3．实验设计
↓
初级的，用平均数，百分比
↓
后来，平均数→T检验（2个对象）
标准差
↓
中级的，（2个或2个以上对象）（方差分析）下检验。
↓
高级的，相关回归（用相关系数）
↓
再高级的，（研究生学）因素分析（探索性的）两两相关，写相关系数
↓
更高级的，协方差结构方程（验证性的）
前程：
相同符号的一串→非参数检验中的一种
第二章数据整理
&1.数据种类
一．间断变量与连续变量eg:
人数～间断
二．四种量表。
1．称名量表。
Eg:
307室，学好，电话好吗不能进行数学运算（也包括不能大小比较）
2．顺序量表。
Eg:
名次。
能力大小，不能运算
3．等距量表。
可以运算（做加减法），不能乘除
要求：
没有绝对0
年龄有绝对0
时间（年代，日历。
。
。
）位移无绝对0，可能有相对0，即有正负
4．等比量表。
可做乘除法。
要有绝对零。
成绩中的，0分不是绝对0（因为并不说明此人一窍不通）
分数代表的意义。
Eg:
0~10分
与90～100分。
每一分的"距离"不一样
因为严格来说，成绩是顺序量表。
但为了实际运用中的各种统计，把它作为等距量表
&2.次数分布表
一．简单次数分布表
eg:
组别次数（人次）
1002
90～995
80～8914
70～7915
60～697
60分以下3
1．求全距R=Max-Min（连续变量）
（间断变量）--R=Max－Min+1
2．定组数K（组数）＝1.87（N－1）。
。
。
→取整N-总数
3．定组距I=R/K。
一般，取奇数或5的倍数（此种更多）。
4．定各组限
5．求组值X=（上限＋下限）/2上限--指最高值加或取10的倍数等）
6．归类划记
7．登记次数
例题：
9996929090（I）R=99-57+1=43
8786848383
8282807978（II）K=1.87（50-1）。
。
。
≈9
7878787777
7776767676
7575747473（III）I=R/K=43/9≈5
7272727171
7170706969
6867676765（iu）组别组值次数
646262615795~99972
90~94923
85~89872
80～84826
75～797714
70～747211
65～69677
60～64624
55～59571
总和50
二．相对（比值）次数分布表。
累积次数分布表
相对（比值）累积次数：
累积次数值/总数N
注：
一般避免不等距组（"以上""以下"称为开口组）
相对次数累积次数（此处意为"每组上限以下的人次）"小于制"
.0450
.0648
.0445
.1243
.2837
.2223
.1412
.085
.021
1.00
&3.次数分布图
一．直方图
1．标出横轴，纵轴（5：
3）标刻度
2．直方图的宽度（一个或半个组距）
3．编号，题目
4．必要时，顶端标数）
图
二．次数多边图
1．画点，组距正中
2．连接各点
3．向下延伸到左右各自一个组距的中央
最大值即y轴最大值
相对次数分布图，只需将纵坐标改为比率。
（累积次数，累积百分比也同样改纵坐标即可）"S形"曲线是正态分布图的累积次数分布图
图
第三章常用统计量数
&1.集中量
一．算术平均数
公式
算术平均数的优缺点。
P36~37
算术平均数的特征。
Σ（X-#）=0离（均数）差
Σ（X-#）（X-#）取#时，得最小值
即：
离差平方和是一最小值
二．几何平均数
＃g=略
long#g=1/NσlogXi
根据按一定比例变化时，多用几何平均数
eg:
91年9293949596
12％10％11％9％9％8%
求平均增长率
xg=
加权平均数
甲：
600人#=70分
乙：
100人#=80分
加权平均数：
＃=（70*600+80*100）/（600+100）（总平均数）eg:
600人，100人
简单平均数：
（70＋80）/2
三．中（位）数。
（Md）
1.原始数据计算法
分：
奇、偶。
2．频数分布表计算法（不要求）
3．优点，缺点，适用情况（p42）
四．众数（Ｍo）
1．理论众数
粗略众数
2．计算方法：
Mo=3Md-2#
Mo=Lmo+fa/（fa+fb）*I
计算不要求
3．优缺点
平均数，中位数，众数三者关系。
&2.差异量数
一．全距
R=Max-Min
二．平均差（MD或AD）
MD={Σ|x-#（或Md）|}/N
三．方差
总体方差的估计值
S2=Σ（X－#）2反编
样本的方差：
σ2x有编
N很小时，用S2估计总体
N>30时，用S2或σ2x都可以
计算方法：
σ2x＝Σx2/N－（ΣX/N）2
标准差σx＝σ2x2/1
四．差异系数（CV）
CV=σx/#*100%CV∈[5%,35%]
3个用途
五．偏态量与锋态量（SK）
1.偏态量：
sk=（#-Mo）/σx
动差（一级~四级）a3=Σ（x-#）3、/N/σx3三级动差计算偏态系数）
2．峰态量：
高狭峰a4>0（a4=0--正态峰）
低调峰。
A4<0
用四级动差a4=Σ（X-#）4/N/σx4－3
&3.地位量数
一．百分位数
eg:
P30=60（分）"60分以下的还有30%的人"
二．百分等级
30→60（在30％的人的位置上，相应分数为60）
So→Md
第四章概率与分布
&1．概率
一．概率的定义
W（A）=m/n（频率/相对频数）
后验概率：
P（A）=limm/n
先验概率：
不用做试验的
二．概率的性质和运算
1．性质：
o≤P≤1
p=1必然可能事件
p=0不可能事件
2．加法。
P（a+b）=P（a）+P（b）
"或"：
两互不相克事件和。
推广：
"有限个"P（A1+A2+…+An）=P（A1）+P（A2）+…+P（An）
eg:
（1）A=出现点数不超过4（x≤4）
P（A）=P（x=1）+P（x=2）+P（x=3）+P（x=4）=1/6+…1/6=4/6=2/3
（2）完全凭猜测做判断题，（共2道），做对1题的概率为：
A={T.TiB={F.TiC={T.FiD={F.Fi
P=P（B）+P（C）=1/4+1/4=0.5
3.乘法：
P（A1,A2…An）=P（A1）,P（A2）…P（An）
Eg:
（1）四选1。
（十道）完全凭猜测得满分得概率：
（1/4）*（1/4）…*（1/4）=1/410
&2.二项分布
一．二项分布
P（x）=Cnxpxgn-x做对的概率px：
做错的概率gn-x：
X:
对的数量pxgn-x--每一种分情况的概率。
一种情况：
pxgn-x再乘上系数。
Eg:
产品合格率为90％取n=3（个）
TTT的情况90*90*90=P30.729
TFT90*0.10*90=P2g10.081
两个合格的情况→TTF
FTT
其概率C32P2g1=3p2g1.
Cn0P0gn+CnP1gn-1+…+CnPng0=1
注：
二项分布可能的结果只有两种。
F0rT
合格Or不合格
选对Or选错
例：
（1）10道是非题，凭猜测答对5，6，7，8，9，10题的概率？
至少答对5题的概率？
P（x=5）＝C510P5g5=C510（1/2）51/2）5=.24609
P（x=6）=C610P6g4=C610（1/2）6（1/2）4=.20508
P（x=7）=C710P7g3=C710（1/2）7（1/2）3=.11719
=.04395
=.00977
+P（x=10）=C1010P10g0=（1/2）10=.000098
至少答对5题：
P（X≥5）=0.62306
（2）四选一，猜中8，9，10题的概率？
P（x=8）=C819P8g2=C819（1/4）8（3/4）2=.0039
二．二项分布图（P84~85）
三．二项分布的平均数与标准差（前提np≥5且ng≥5）
平均数--M=np标准差--r=npg1/2
&3.正态分布
一．正态分布曲线
二．标准正态分布。
（P387附表可查面积P）
Z=（x-ц）/r（x:
原始分数）
标准分数（有正有负）ΣZ=0
三．正态分布表的使用
查表P（0≤Z≤1）=0.34134--Z的范围中的人数比例（百分数）
P（0≤Z≤1.645）=0.4500
1.64－.44950=0.45
1.65－.45053=0.45
之上，标准分数高于2个标准差，则非常聪明。
Eg:
1.μ=70（分）σ＝10
P（70≤x≤80）=p（o≤z≤1）
P（60≤x≤70）=P（-1≤z≤0）
2.μ
P（0≤z≤1）=P（μ≤x≤μ+σ）
P（-1≤z≤0）=P（μ-σ≤x≤μ）
图（略）
例：
某地区高考，物理成绩μ＝57。
08（分）σ＝18。
04（分）
总共47000人。
（1）成绩在90分以上多少人？
（2）成绩在（80，90）多少人？
（3）成绩在60分以下多少人？
解:
X~N（57.08,18.042）--参数（μ,σ2）
Normal表示符合正态分布
令Z=（x-57.08）/18.04）,则Z~N（0,12）标准分数平均数一定为0，标准差一定为1。
（1）Z1=（90－57。
08）/18.04=1.82
P（Z>1.82）=.0344
N1=np=47000*0.0344=1616（人）
（2）Zz=（80-57.08）/18.04=1.27
P（1.27N2=NP=3177（人）
（3）Z3=（60-57.08）/18.04=0.16
P（Z<0.16）=.56356
N3=26487（人）
四．正态分布的应用
T=KZ+CT~N（C,K2）
IQ=15Z+100IQ=100一般
IQ≥130--超常
（30=2x*15）
IQ<70--弱智
70几--bndenline
eg:
1.某市参加一考试2800人，录取150人，平均分数75分，标准差为8。
问录取分数定为多少分？
解：
X~N（75.82）
Z=（x-#）/σx=（x-15）/8～N（0,12）
P=150/2800=0.053
0.5-0.053=0.447
Z=1.615
X=1.615*8+75≈88（分）
2．某高考，平均500分，标准差100分，一考生650分，设当年录取10％，问该生是否到录取分？
解：
Zo=（650-500）/100=1.5（X～N（500,1002）（Z～N（0,12）
Po=0.5-0.43319=0.06681=6.681%<10%
所以可录取。
第五章抽样分布（概率P）
&1.抽样方法
一．简单随机抽样
二．等距抽样
三．分层抽样
四．整群抽样
五．有意抽样
&2.抽样分布
（1）
（2）（3）（4）（5）
2025303540
（1）＃＝2022.52527.530
（2）22.52527.53032.5
（3）2527.53032.535
（4）27.53032.53537.5
（5）3032.53537.540
总体分布
图
抽样分布
图
一．平均数
E（#）=μ
二。
标准差，方差。
σx=σ/n1/2σ#2=σ2/n
&3.样本均值（#）的抽样分布
一．总体方差σ2已知时，＃的抽样分布
1．正态总体，σ2已知时，＃的抽样分布
设（X1,X2,…Xn）为抽自正态总体X~N（μ,σ2）
的一个简单随机样本，则其样本均值＃也是一个正态分布的随机变量，且有：
E（#）=μ,σx2=σ2/n
即＃～N（μ,σ2/n）
Z=（#-μ）σ/n1/2
Eg:
一次测验，μ=100σ＝5
从该总体中抽样一个容量为25的简单随机样本，求这一样本均值间于99到101的概率？
解：
已知X～N（100,52）
n=25.
则＃～N（100,12）
Z=（#-100）/1～N（0,1）
当#=99时，Z=-1
当#=101时，Z=1
所以P（99≤#≤101）
=P（-1≤Z≤1）=.68268
2.非正态总体，σ2已知时，#的抽样分布
设（X1,X2,…Xn）是抽自非正态总体的一个简单1随机样本。
当n≥30时，其样本均值＃接近正态分布，且有：
E（#）=μ,σx2=σ2/n
即#～N（μ,σ2/n）
若是小样本，题目无解。
Eg
（1）一种灯具，平均寿命5000小时，标准差为400小时（无限总体）从产品中抽取100盏灯，问它们的平均寿命不低于4900小时的概率。
解：
已知：
μ＝5000，σ＝400，n=100>30是大样本
所以＃近似正态分布
＃～N（5000,402）
当＃＝4900时，Z=（4900-5000）/400/1001/2=-2.5
P（#≥4900）=P（Z≥-2.5）=0.99379
3.有限总体的修正系数
（引出）
（2）同上题，从2000（有限总体）盏中不放回地抽取100盏，问。
。
。
。
。
（概念）设总体是有限的总体，其均值为μ，方差为σ2（X1,X2…Xn）是以不放回形式从该总体抽取的一个简单随机样本。
则样本均值＃的数学期望（E（#））与方差为
E（#）=μ#=μ和σ2＝（N-n）/（N-1）*（σ2/n）
N→∞时，修正系数不计。
σ＝[（N-n）/（N-1）*（σ2/n）]1/2
.n/N≥0.05%,要用修正系数
如题
（2），n/N＝0.05所以要用修正系数
所以解题2：
σx2＝（N-n）/（N-1）*（σ2/n）＝2000－100）/2000-1=4002/100=1520
σ#=15201/2=38.987
Z=（4900-5000）/38.987=-2.565
P（Z≥-2.565）=.9949
二．总体方差σ2未知时，样本均值＃的抽样分布。
用S2（总体方差的估计值）代替σ2
t=（x-μ）/s/n1/2～tn-1→dp（自由度）=n-1
设（X1,X2,…Xn）
为抽自正态总体的一个容量为n的简单随机样本，即t=（x-μ）/s/n1/2符合自由度为n-1的t分布
当总体为非正态分布，且σ2未知。
则样本小：
无解
大：
接近七分布t≈t=（x-μ）/s/n1/2～tn-1
Z≈t=（x-μ）/s/n1/2~N（0,1）（也可用Z）
总体均值为80，非正态分布，方差未知，从该总体中抽一容量为64的样本，得S=2,问样本均值大于80.5得概率是多少？
解：
因为64>30是大样本
P（#>80.5）=P（t>（x-μ）/s/n1/2）=P（t>2）df=63P≈0.025
若用Z，P（Z>z）≈0.02275
（若N24，总体正态，则Z分布1不能用，只能用七分布）
非正态总体：
小样本--无解
大样本--Z≈（x-μ）/σ/n1/2
σ2已知
正态总体Z=≈（x-μ）/σ/n1/2
非正态总体：
小样本--无解
σ2未知：
大样本--t≈（x-μ）/σ/n1/2≈Z
正态总体：
小样本--t=（x-μ）/σ/n1/2
大样本--Z≈t=（x-μ）/σ/n1/2
&3.两个样本均值之差（#1-#2）的抽样分布
若＃1是独立地抽自总体X1～N（μ1,σ2）的一个容量为n,的简单随机样本的均值；＃是。
。
。
X2～N（μ2,σ22）的。
。
。
n2.的。
。
。
则两样本均值之差（#1－#2）～N（μ1-μ2,σ12/n1,σ22/n2）
复杂计算
一种钢丝的拉强度，服从正态分布
总体均值为80，总体标准差6，抽取容量为36的简单随机样本，求样本均值∈[79，81]的概率
X~N（80,62）
Z~N（0,12）
Z=（x-μ）/6/361/2=（x-8）/1
x∈[79,8081]
Z∈[-1,1]
P=.68268
若σ不知。
S=b，则X～（80,σ2）
用公式t=（#-μ）/s/n1/2~tn-1=t35
某种零件平均长度0.50cm,标准差0.04cm,从该总零件中随机抽16个，问此16个零件的平均长度小于0.49cm的概率
无解。
抽100个，则概率？
Z≈（x-μ）/σ/n1/2=（#-0.50）/0.004
#<0.49P（Z<-0.01/0.004）
=P（Z<-2.5）=.49379=
从500件产品中不放回地抽25件。
25/500=0.05要修正系数（N-n）/（N-1）≈.95
某校一教师采用一种他认为有效的方法，一年后，从该师班中随机抽取9名学生的成绩，平均分84.5分，S=3。
而全年级总平均分为82分，试问这9名学生的＃<84.5分的概率为多大？
#～N（82,σ2）t～t8
t=（#-μ）/s/n1/2=84.5-82）/3/3=2.5
df=8
0.975≤P（t<2.5）
说明方法有效
（S=3是σ的估计值，两组数据都很整齐。
图（略）
&4.有关样本方差的抽样分布
一．f2分布
1．f2分布的密度函数f（x）=1/2n/2*r*n/2）*e-x/2*xn/2-1（x>0）
f（x）=0（x≤0）
图（略）
2.定理：
设（X1,X2,X3…Xn）为抽自正态总体X～N（μ,σ2）的一个容量为n的简单随机样本，则#=∑（X-#）2/n-1为相互独立的随机变量，且＃~N（μ,σ2/n）
∑（X-#）2/σ2=（n-1）S2/σ2~X2n-1（I=1,2,…n）
若抽自非正态总体：
小样本--无解
大样本--X2≈（（n-1）S2/σ2
二．F分布
1．F分布的密度函数
f（x）=[（n1+n2）/2]/（n1/2）（n2/2）（n1/n2）（n1/n2*X）n1/2-1（1+n1/n2*X）-n1+n2/2（x≥0）
f（x）=0（x<0）
2.定理
设（X1,X2,…Xn）为抽自X～N（μ1,σ21）的一个容量为n1的简单~（y1,y2…yn）为抽自正态总体y～N（μ2,σ22）的一个容量n2的简单～，则：
当σ21=σ22时，
F=S21/S22~F（n1-1,n2-1）n1~分子自由度n2～分母自由度
第六章参数估计（置信水平下的区间估计）
&1.点估计
E（X）（即＃）=∑x/N→μ
（拿一个点来估计参数）
D（X）=∑（x-#）2/N-1→σ2
&2.总体均值的区间估计
一．总体均值的区间估计，σ2已知。
正态总体x~N（μ,σ2）
#~N（（μ,r2/n）Z=（#-μ）/σ/n1/2
1．某种零件的长度符合正态分布。
σ＝1.5，从总体中抽200个作为样本，＃＝8.8cm，试估计在95％的置信水平下，全部零件平均长的置信区间。
解：
已知X~N（μ,1.52）
n=200,#=8.8
1-a=0.95→a-0.05
Z0.025=1.96
P（#-Za/2σ/n1/2<μ<#+Za/2n1/2
=P（8.59<μ<9.01）=0.95
10%>5%
若不放回地从2000个（总体）中抽出200个。
--需修正系数
所以用（N-n）/（n-1）1/2P（#+-1.96*σ/n1/2*（N-n）/（n-1）1/2=0.95=P（8.60,9.00）
二σ2未知
P（#-t（a/2,n01）S/n1/2<μ<#+t（a/2,n-1）S/n1/2）=1-a
为了制定高中学生体锻标准，在某区随机抽36名男生测100米，36名学生平均成绩13.5秒，S=1.1秒，试估计在95％地置信水平下，高中男生100米跑成绩的置信区间。
P（#+-2.03*S/n1/2）=P（13.5+-2.03*1.1/361/2）=9.5
（13.5+-0.37）
即（13.13,13.87）
得（13.14,13.86）
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