11第十一讲面积计算一.docx
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11第十一讲面积计算一
第十一讲面积计算
（一）
一、生活实例
李老汉今年已八十高龄，失去了下田劳作的能力，于是他决定把家里的一亩三分田平均分给两个儿子去耕作。
但老汉家的田地理位置比较特殊，正好是一块三角形。
分田的那天，老汉先让两个儿子去测量一下这块田每条边长是多少，结果两个儿子经过测量得到的数据为84米，96米，136米。
那么老汉怎么去分呢？
从这个不规则的图形来看，我们要把它分成相等的两部分，确实有点困难。
但我们可以想，三角形的面积为底边乘以高，如果两块三角形都是等底等高，那么老汉的难题就可以解决了。
A
C
BD
图1
如图1中过点A作BC的中线，交BC于D，此时BD=DC，△ABD与△ADC底边相等，且等高。
因此△ABD与△ADC面积相等。
同样在AC边上画中线，在AB边上画中线都可以把这块三角田分成相等的两部分，当然，我们还可以用其它用法，可以作更多的探讨。
二、要点点击
1、
2、对已学过的三角形，正方形，长方形，梯形，平形四边形等平面图形的面积计算能灵活的运用。
3、善于观察图形的形与形的组合关系，找到规律，巧妙地计算面积。
三，例题精讲
例题1如图2,边长为4,6的两个正方形排放在一起,N,M分别为所在边的中点,问四边形BCMN的面积占总面积的几分之几?
图2
分析与解由题中已知得,四边形BCMN是一个不规则的四边形,因此普通的底乘以高求面积很难解决.但我们发现剩下来的空白部分都依着正方形的边,它的面积可以求得:
△ABN=（6÷2）×6÷2=9
△FMN=（6÷2）×（6÷2）÷2=4.5
△MDC=（6+2）×4÷2=16
△ABN+△FMN+△MDC=29.5
总面积=6×6+4×4+（6-4）×4÷2
=36+16+4
=56
阴影部分BCMN面积=总面积-（△ABN+△FMN+△MDC）
=56-29.5
=26.5
例2有一个正方形，其对角线长为ａ，那么它的面积是多少？
分析与解我们求正方形的面积通常是以长乘边长来计算，但在此题中，它没有告诉我们边长，只告诉对角线长为ａ，在这里我们可以对它的对角线来做一定的研究。
图3
从图3中我们发现两条对角线AD,BC垂直平分与E,这时AE=ED=EC=EB=
正方形的面积就可以由四个小三角形组成:
AE•BE÷2×4=
÷2×4=
.当然我们也可以通过图形的拆拼把它当作一个大的等腰直角三角形来计算.如:
例3如图4，△ABC的面积为28平方厘米，是平行四边形DEFC的2倍，那么阴影部分面积为多少平方厘米？
图4
分析与解在这题中，我们唯一可以看到的是两个在面积有关系的数据。
似乎与阴影三角形ADE无有利的关系。
这种情况下，我们利用三角形的积变形方面去考虑。
仔细看我们发现DEFC是一个平行四边形，即DE=FC，DE‖AC，这就让我们想到阴影三角形ADE是与平行四边形DEFC等底等高，那么它的面积将是平行四边形DEFC的一半，由此我们可能算得：
28÷2÷2=7平方厘米
（备注：
若几个三角形的底边相等，并在两条平行线中的同一直线上，而且相等的底边所对的顶点在两条平行线中的另一条上，则这几个三角形的面积相等。
）
例4在△ABC中，已知其面积为30，且M，N分别在AC，BC上，BM与AN相交于O。
若△AOM，△ABO和△OBN的面积比为3：
2：
1。
求△MNC的面积。
图5
分析与解如图5中，要解决上面的问题，我们必须先撑握这样一条原则：
若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。
这时，我们就找到了解决问题目的方法，这块三角形利用比例分配就可以得出△MNC的面积。
由于△AOM：
△ABO=MO：
BO=3：
2
所以MO：
BO=△MNO：
△OBN=3：
2
而△OBN所占的比例份数是1，那么△MNO所占的份数即为1.5，由于：
△ABM：
△ABC=AM：
MC=△ANM：
△NMC
所以
解得：
△NMC所占面积的份数是22.5。
则根据按比例分配的原则可得到：
例5如图6，每个小平行四边形的面积都是1，试计算图中多边形的面积。
图6
分析与解如图7，我们可以图中的格线把这个多边形分割成A、B、C、D、E、F、G、H、J，9块，再根据每块的面积算出总面积。
图7
根据每块小平行四边形的面积为1，可以得到：
A=3×4÷2=6B=7×2÷2=7C=2×3=6
D=1×2÷2=1E=1×2÷2=1F=2×3÷2=3
G=1×6=6H=5×2÷2=5J=3×3÷2=4.5
则总面积为6+7+6+1+1+3+6+5+4.5=45.5
例6如图8所示,三角形ABC中,AC为7,AB为6,BC为5,要求在三角形中取一矩形,动点Q在AC边上移动,则矩形面积最大可取到多少?
如图8
分析与解如图8，要使矩形DQEB的面积取得最大,最佳的方案就是让DQEB成为一个正方形.由于DQ‖AB，得到：
由于
可知：
则矩形BDQE的最大面积为
。
四、自我测试
1、用三种不同方法把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形。
2、如图
（1）四边形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，DF=FC，CE=2EB。
已知三角形ADF的面积为2，四边形AECF的面积为8，求四边形ABCD的面积。
图
（1）
3、如图
（2），梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于O，则图中有哪几对面积相等的三角形。
图
（2）
图（3）
4、在图（3）中，直线CF与平行四边形ABCD的AB边相交于E点，如果三角形BEF的面积为6平方厘米，求三角形ADE的面积是多少？
5、如图（4），在△ABC中，AD是AC的三分之一，AE是AB的四分之一，若△AED的面积是2平方厘米，那么△ABC的面积是多大？
图（4）
图（5）
6、在图（5）中，ABCD是平行四边形，AC为对角线，且EF平行于AC，如果三角形ADE的面积为10平方厘米，那么三角形CDF的面积是多少？
五、赛题链结
1、长方形草地ABCD被分为面积相等的甲，乙，丙，丁四份，其中图形甲的长和宽的比是a:
b=2:
1,其中图形乙的长和宽是多少？
图（6）（华罗庚金杯）
图（6）图（7）
2、如上图中，四边形CDEF是正方形，ABCD是等腰梯形，它的上底AD=23厘米，下底BC=35厘米，求三角形ADE的面积。
图（7）（少年数学邀请赛）
3、如下图8所示，ABCD是直角梯形，四边形AEGF，四边形MBKN都是正方形，且AE=MB，EP=KC=9，DF=PM=4则△DPC的面积。
（2001年国小学生数学奥林匹克竞赛（决赛））
图（8）图（9）
4、如上图9所示，ABCD是边长12厘米的正方形，E、F分别是AB、BC边的中点，AF与CE交于G，则求四边形AGCD的面积。
（2002年国小学生数学奥林匹克竞赛（决赛））
5、下图（10）是由边长为10厘米，6厘米的正方形和一个长为4厘米的长方形拼接成的，线段MN把它们各分成两部分，已知A、B、C三块的面积和是D、E、F三块面积和的2倍。
求长方形的宽。
（小学生数学报）
图（10）图（11）
6、如上图（11）所示，长方形ABCD是面积为120平方厘米，BE=3AE，BF=2FC，求四边形EGFB的面积。
（十一届祖冲之杯）
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