三年高考真题文科数学试题分类汇编专题11 平面向量.docx
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三年高考真题文科数学试题分类汇编专题11平面向量
专题11平面向量
1.【2019年高考全国I卷文数】已知非零向量a,b满足,且b,则a与b的夹角为
A.B.
C.D.
【答案】B
因为b,所以=0,所以,所以=,所以a与b的夹角为,故选B.
【名师点睛】对向量夹角的计算,先计算出向量的数量积及各个向量的摸,在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值,再求出夹角,注意向量夹角范围为.
2.【2019年高考全国II卷文数】已知向量a=(2,3),b=(3,2),则|a-b|=
A.B.2
C.5D.50
【答案】A
由已知,,
所以,
故选A.
【名师点睛】本题主要考查平面向量模长的计算,容易题,注重了基础知识、基本计算能力的考查.由于对平面向量的坐标运算存在理解错误,从而导致计算有误;也有可能在计算模的过程中出错.
3.【2018年高考全国I卷文数】在中,为边上的中线,为的中点,则
A.B.
C.D.
【答案】A
根据向量的运算法则,可得
,所以,故选A.
【名师点睛】该题考查的是有关平面向量的基本问题,涉及的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题,在解题的过程中,需要认真对待每一步运算.
4.【2018年高考全国II卷文数】已知向量,满足,,则
A.4B.3
C.2D.0
【答案】B
因为所以选B.
【名师点睛】本题主要考查平面向量的数量积,考查考生的运算求解能力,考查的数学核心素养是数学运算.
5.【2018年高考浙江卷】已知a,b,e是平面向量,e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为,向量b满足b2−4e·b+3=0,则|a−b|的最小值是
A.−1B.+1
C.2D.2−
【答案】A
设,则由得,
由b2−4e·b+3=0得因此|a−b|的最小值为圆心到直线的距离减去半径1,为选A.
【名师点睛】本题主要考查平面向量的夹角、数量积、模及最值问题,考查数形结合思想,考查考生的选算求解能力以及分析问题和解决问题的能力,考查的数学核心素养是直观想象、数学运算.
6.【2018年高考天津卷文数】在如图的平面图形中,已知,则的值为
A.B.
C.D.0
【答案】C
如图所示,连结MN,由可知点分别为线段上靠近点的三等分点,则,
由题意可知:
,,
结合数量积的运算法则可得:
.
本题选择C选项.
【名师点睛】求两个向量的数量积有三种方法:
利用定义;利用向量的坐标运算;利用数量积的几何意义.具体应用时可根据已知条件的特征来选择,同时要注意数量积运算律的应用.
7.【2017年高考全国II卷文数】设非零向量,满足,则
A.⊥B.
C.∥D.
【答案】A
由向量加法与减法的几何意义可知,以非零向量,的模长为边长的平行四边形是矩形,从而可得⊥.故选A.
【名师点睛】本题主要考查向量的数量积与向量的垂直.
8.【2017年高考北京卷文数】设m,n为非零向量,则“存在负数,使得”是“”的
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】A
若,使,则两向量反向,夹角是,那么
;
若,那么两向量的夹角为,并不一定反向,即不一定存在负数,使得,所以是充分而不必要条件,故选A.
【名师点睛】本题考查平面向量的线性运算,及充分必要条件的判断,属于容易题.
9.【2019年高考北京卷文数】已知向量=(–4,3),=(6,m),且,则m=__________.
【答案】8
向量则.
【名师点睛】本题考查平面向量的坐标运算、平面向量的数量积、平面向量的垂直以及转化与化归思想的应用.属于容易题.
10.【2019年高考全国III卷文数】已知向量,则___________.
【答案】
.
【名师点睛】本题考查了向量夹角的运算,牢记平面向量的夹角公式是破解问题的关键.
11.【2019年高考天津卷文数】在四边形中,,点在线段的延长线上,且,则_____________.
【答案】
建立如图所示的直角坐标系,∠DAB=30°,
则,.
因为∥,,所以,
因为,所以,
所以直线的斜率为,其方程为,
直线的斜率为,其方程为.
由得,,
所以.
所以.
【名师点睛】平面向量问题有两大类解法:
基向量法和坐标法,在便于建立坐标系的问题中使用坐标方法更为方便.
12.【2019年高考江苏卷】如图,在中,D是BC的中点,E在边AB上,BE=2EA,AD与CE交于点.若,则的值是_____.
【答案】.
如图,过点D作DF//CE,交AB于点F,由BE=2EA,D为BC的中点,知BF=FE=EA,AO=OD.
,
,
得即故
【名师点睛】本题考查在三角形中平面向量的数量积运算,渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养.采取几何法,利用数形结合和方程思想解题.
13.【2019年高考浙江卷】已知正方形的边长为1,当每个取遍时,的最小值是________;最大值是_______.
【答案】0;.
以分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,如图.
则,
令0.
又因为可取遍,
所以当时,有最小值.
因为和的取值不相关,或,
所以当和分别取得最大值时,y有最大值,
所以当时,有最大值.
故答案为0;.
【名师点睛】对于此题需充分利用转化与化归思想,从“基向量”入手,最后求不等式最值,是一道向量和不等式的综合题.
14.【2018年高考全国III卷文数】已知向量,,.若,则________.
【答案】
由题可得,,,,即,故答案为.
【名师点睛】本题主要考查向量的坐标运算,以及两向量共线的坐标关系,属于基础题.解题时,由两向量共线的坐标关系计算即可.
15.【2018年高考北京卷文数】设向量a=(1,0),b=(−1,m),若,则m=_________.
【答案】
,,
由得:
,,即.
【名师点睛】如果a=(x1,y1),b=(x2,y2)(b≠0),则ab的充要条件是x1x2+y1y2=0.
16.【2018年高考上海卷】在平面直角坐标系中,已知点、,、是轴上的两个动点,且,则的最小值为___________.
【答案】-3
根据题意,设E(0,a),F(0,b);
∴;
∴a=b+2,或b=a+2;
且;
∴;
当a=b+2时,;
∵b2+2b﹣2的最小值为;
∴的最小值为﹣3,同理求出b=a+2时,的最小值为﹣3.
故答案为:
﹣3.
【名师点睛】考查根据点的坐标求两点间的距离,根据点的坐标求向量的坐标,以及向量坐标的数量积运算,二次函数求最值的公式.
17.【2018年高考江苏卷】在平面直角坐标系中,为直线上在第一象限内的点,,以为直径的圆与直线交于另一点.若,则点的横坐标为___________.
【答案】3
设,则由圆心为中点得易得,与联立解得点的横坐标所以.所以,
由得或,
因为,所以
【名师点睛】以向量为载体求相关变量的取值或范围,是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算,将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域,是解决这类问题的一般方法.
18.【2017年高考全国III卷文数】已知向量,且,则m=________.
【答案】2
由题意可得解得.
【名师点睛】
(1)向量平行:
,,.
(2)向量垂直:
.
(3)向量的运算:
.
19.【2017年高考全国I卷文数】已知向量a=(–1,2),b=(m,1).若向量a+b与a垂直,则m=________.
【答案】7
由题得,因为,所以,解得.
【名师点睛】如果a=(x1,y1),b=(x2,y2)(b≠0),则ab的充要条件是x1x2+y1y2=0.
20.【2017年高考江苏卷】如图,在同一个平面内,向量,,的模分别为1,1,,与的夹角为,且=7,与的夹角为45°.若,则___________.
【答案】3
由可得,,根据向量的分解,
易得,即,即,即得,
所以.
【名师点睛】
(1)向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来,这就为向量和函数、方程、不等式的结合提供了前提,运用向量的有关知识可以解决某些函数、方程、不等式问题.
(2)以向量为载体求相关变量的取值范围,是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算,可将原问题转化为解不等式或求函数值域的问题,是此类问题的一般方法.
(3)向量的两个作用:
①载体作用,关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”,转化为我们熟悉的数学问题;②工具作用,利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.
21.【2017年高考浙江卷】已知向量a,b满足则的最小值是________,最大值是___________.
【答案】4,
设向量的夹角为,则,
,
则,
令,则,
据此可得:
,
即的最小值是4,最大值是.
【名师点睛】本题通过设向量的夹角为,结合模长公式,可得
,再利用三角函数的有界性求出最大、最小值,属中档题,对学生的转化能力和最值处理能力有一定的要求.
22.【2017年高考天津卷文数】在中,,,.若,
,且,则的值为________.
【答案】
由题可得,则.
【名师点睛】根据平面向量基本定理,利用表示平面向量的一组基底可以表示平面内的任一向量,利用向量的定比分点公式表示向量,则可获解.本题中已知模和夹角,作为基底易于计算数量积.
23.【2017年高考山东卷文数】已知向量a=(2,6),b=,若,则________.
【答案】
由可得
【名师点睛】平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略:
(1)利用两向量共线求参数.如果已知两向量共线,求某些参数的取值时,利用“若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则的充要条件是x1y2=x2y1”解题比较方便.
(2)利用两向量共线的条件求向量坐标.一般地,在求与一个已知向量a共线的向量时,可设所求向量为λa(λ∈R),然后结合其他条件列出关于λ的方程,求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量.
(3)三点共线问题.A,B,C三点共线等价于与共线.