杨启刚高中数学教学解析几何思维方法引导初探.docx

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杨启刚高中数学教学解析几何思维方法引导初探

高中数学教学解析几何思维方法引导初探

◇贵州省余庆中学／杨启刚

【摘要】在高中数学教学中，学生在解决有关解析几何的问题时，最大的问题是没有掌握解析几何的思维方法。

在一些老师的教学中，给学生传授的秘籍也是能联立你就联立，其实，作为教师，一定要交给学生研究数学问题的思维方法。

【关键词】解析几何思维方法几何性质分析理解

在高中数学教学中，要解决解析几何问题首先要做的就是要将几何问题代数化。

如何代数化?

实际上，要将几何问题转化为代数的问题，不是简简单单的联立方程组就可以解决的。

要交给学生审题的思维过程，要引导学生归纳概括出思考解析几何问题的思维方法。

一、要从几何的背景、几何的图形中得到几何的性质如果一个点在某条线段的垂直平分线上，那么它必然到线段的两个端点的距离相等；如果一个点是三角形的一边上的中点，那么就可以考虑在另外的一边上取中点，用三角形的中位线的性质；如果是有关三角形的内切圆的图形，那就要分析出线段相等，角相等的有关性质等等。

例如，已知一条直线y=kx一1和圆（已知方程，含参数k，m）相交与M，N两点，（学生读到这里就会情不自禁地将这两个方程联立了）并且M，N点关于直线x+y=O对称，求k+m的值。

我们可以问学生：

直线和圆交于两点这个已知条件的几何含义是什么呢?

结合画出的图象，让学生看到，此时得到圆的弦MS；第二个条件即点M，N关于直线x+y=O对称的几何含义又是什么呢?

要让学生说出直线x+y=O垂直平分弦MN。

学生如果能够分析到这里，下面一句话他就自然会脱口而出：

直线x+y=0过圆心。

这正是我们需要的几何的性质。

我们只需要把圆心的坐标如（一k，一m）代入，就可以得~tm+k=0了。

学生如果不会这么想，责任在我们。

是我们没有这样教给学生去思考问题，没有在我们的习题教学中帮助学生如何去分析问题。

其次，要训练学生从方程、数据等代数的结论中找到几何的性质。

学生缺乏从代数结果中分析几何性质的意识和能力。

例如，直线ax+by+b—a=0，这是什么样的直线?

可以问问学生．让学生思考，为什么这么多的直线可以用一个方程来表示?

在这个问题上，很多教师介绍了许多的证明直线过定点的方法。

其实这些方法的确很重要，但更为重要的是要让学生能够意识到这直线之所以能够用同一个代数的形式表达出来，一定是有共同的几何特征。

也就是要交给学生提出问题、思考问题的方法。

二、要引导学生学会分析题目、理解问题分析的思维方法要符合解析几何的思维特点，即：

对于题目中的几何元素要会分析它的几何特征并进行有效的代数化；对于题目中的代数的结论如方程或数值要学会分析它的几何含义。

例1：

直线l：

ax+y+2=O与过A（一2，3）与B（3，2）的线段相交，求a的取值范围。

这道题目学生都是从斜率的角度进行计算，这也是老师们教给学生的典型方法。

但从几何特征的角度看，A，B两点与直线的位置关系是分析的要点。

lilt，B两点在直线l的两侧。

而这个特征的代数化就非常的简单。

只要把两点坐标带入到直线1方程的左侧所得到的两个数值乘积小于等于零即可。

例2：

如何理解直线l：

x／a+y／b=1过点M（cos&，sin&）?

对于这个问题的理解，一般思维层次的学生只是把M点的坐标带入到直线1方程中去再进行相关的运算。

而我们的解析几何教学的目的是要学生能够从代数的结果或形式中发现（挖掘）几何的特征，这应该是我们教师在本段教学或复习的追求。

我们可以启发学生：

点M是一个点吗?

点M是什么样的点?

实际上点M是动点，其代数特征是横纵坐标的平方和为一，对应的几何特征是单位圆。

只有看到了这一层含义，才叫真正的理解了本题，而随后要进行的代数化就非常的简单。

因为直线1与单位圆相切或相交，圆心（O，o）N直线l：

x／a+y／b=1的距离小于等于1，得解。

三、要有效地提高解析几何的解题效率

要有效地提高解析几何的解题效率，最为关键的一点是，要让学生真正地理解解析几何这门学科的思维特点。

我们的学生存在的最大的问题是不会思考问题，把解析几何的所有问题都归结为算，一算了之。

看似是在用代数的方法解决几何问题，实际上只是了解个皮毛而已。

例如：

直线1：

y：

4x+m和椭圆C（方程略去），如果椭圆C上有两个点A，B关于直线I对称，求m的取值范围。

部分学生见到此题几乎不假思索就把直线l的方程和椭圆c的方程联立，消y之后，得到关于x的一元二次方程，利用判别式大于零得出m的取值范围．这是学生最为熟悉的套路，可惜套错了。

部分教师为了学生能够掌握所谓的方法，总结出了许多的题型套路，但效果奇差。

原因就是套路等等是违背了数学思维的特点，是僵化的思维．这样的教学最终是让学生放弃了思考问题的意识，丧失了思考问题的能力。

本题学生理解题目的关键是：

椭圆C上有两个点A，B关于直线l对称的真正含义。

实际上，直线l和椭圆相交，在椭圆上未必一定有两个点关于直线l对称。

但斜率为-1／4的直线AB与椭圆C相交得到的弦AB一定有斜率为4的中垂线，即直线1．因此可以利用直线AB与椭圆相交，得出直线AB的纵截距的范围，再通过AB弦的中点在直线I上，找到直线AB的纵截距与m的关系，最终得m的取值范围。

巧设开场导语激发学生学习高中数学的兴趣

贵州省遵义市余庆中学杨启刚

【摘要】开场导语常常影响整个数学课堂教学效果的成败优劣。

开场导语往往有提示数学在各学科中的地位和作用的功能，解决学生学习数学的心理障碍，根据教材内容．结合生产、生活实践的需要，插讲些数学发展史，利用直观的趣味性，对学生进行感情教育，创设积极、和谐、富于情趣的教学环境，成就高中数学高效课堂。

【关键词】开场导语；培养激发；数学兴趣

中学数学课程标准中指出：

要培养学生对数学的兴趣，激励学生为实现四个现代化学好数学的积极性。

培养和激发学生学习数学兴趣的途径是多方面的，但学生对知识兴趣的第一个源泉，就是教师对每个学科、每个单元、每个课题的“开场白”。

实践证明，开场导语常可影响整个教学效果的成败优劣。

那么，开场导语在高中数学课堂教学中到底有什么意义呢?

开场导语又该如何设置吗?

首先，利用开场导语提示数学在各学科中的地位和作用，阐述其对现代科学重要影响。

从而激发学生学习数学的兴趣，经常地、不失时机地引导学生步人数学这座精美的科学殿堂，以极大的兴趣和勇气去汲取其中的营养。

其次，利用开场导语解决学生学习数学的心理障碍，逐步培养学生学好数学的信心。

教师要通过新学期、新单元的开场导语及时给学生讲解，作为科学的数学，尽管具有宏观上的连贯性，但数学的最大特点之一是按某种体系讲述某一部分的内容，并不依赖前面讲述过的全部内容，甚至某两部分内容可以平行或颠倒次序讲述。

因此，过去的没学好（当然不是一无所知），只要努力，现在照样能学好。

再讲一些“半路出家”的数学家的故事和一些学生后来居上的实例，帮助那些因过去未学好教学而灰心丧气的同学医治心理创伤；同时也鞭策了基础较好的学生克服自满情绪，继续努力学习。

使同学们感到在新学期、新知识面前都处在同一起跑线上，从而满怀信心、兴趣盎然地投入新学期、新单元的学习。

其次，利用开场导语穿插讲些数学发展史，从数学的渊源历史，古今中外许多数学家投身数学研究的故事，数学的繁荣及数学广泛的应用等方面，激励学生学习数学的兴趣和热情。

如，讲古希腊的希腊《复数》一章的开场导语可结合数学的发展简史，讲古希腊的希勒索斯因发现无理数而被沉舟身亡的典型史实。

讲虚数的产生、形成的漫长而曲折的历程。

结合有关章节的内容讲祖冲之父子和我国其他数学家的故事，讲我国数学界对世界数学的发展作出的不可磨灭的贡献和所处的历史地位等。

这样，不仅激励了学生的学习兴趣和勇于探索的钻研精神，而且还激发了学生的民族自尊心和爱国热情。

其次，开场导语要根据教材内容，结合生产、生活实践的需要，调动学生掌握与应用数学知识的热情。

如《三角函数》一章的开场导语，先让学生观察一个用硬纸筒做的直角弯头，然后问，如果要用白铁皮制做这样的弯头该怎样下料呢?

同学们积极思维，大胆猜想弯头一端沿内测（或外侧）剪开后，展成平面图的曲边形状——等腰三角形、半圆、抛物线……待展开并在黑板上描出平面图后，同学们发现以上猜想都不对，顿时愕然、生疑，全神贯注地期待“下文”。

老师欲放故收：

“曲边到底属于什么曲线，又怎样描绘出来?

通过本章的学习，将会圆满解决这个新问题。

”这样“以疑人读”、“以用人读”，造就学生的知识饥饿感，促其产生强烈的求知欲。

再次，开场导语要注意利用直观的趣味性，激发学生的学习兴趣，帮助他们理解事物的本事。

教具、挂图、手势和教室空间等生动具体的直观现象，都是开场导语无声语言不可忽视的素材。

“数学归纳法”既是高中数学教学重点，又是难点。

由于抽象性强，对习惯于演绎法证明的学生难于一下子接受。

如果这节课用八九块录音盒，按适当的距离（1盒高距离盒高）规定的顺序，“一”字立排于讲桌上。

当把第三块推倒，第四块及后面的则依次倒下……然后老师说，这是比玩积木还简单的游戏，但它却蕴涵着一种十分重要的全新证明方法——数学归纳法。

这样通过直观设置悬念，诱导学生变枯燥抽象的教学原理学习为生动活泼的规律探索，启示学生尽快地理解教学归纳法的真谛。

最后，利用开场导语进行感情教育，缩短师生的思想距离，创设积极、和谐、富于情趣的教学环境，师生关系的亲暖疏冷影响着情绪和心态，决定着教学功能的实现程度。

常看到，师生关系好，学生便爱听他的课，乐于接受他持观点，对这门课有浓厚的学习兴趣；反之则效果相反。

“亲其师，信其道”是富于哲理的古训，因为兴趣是带有感情色彩的认识倾向。

良好持师生关系确能充分调动教与学的积极性，而建立良好的师生关系的关键是教师要以身作则，知识广博，具有吸引力，从而影响学生的素质和修养。

课堂上要注意利用开场导语，对学生不烦多方位地关怀、鼓劲、启发、教导。

教师要善于捕捉学生的闪光点，对于各方表现突出的同学，有独到见解的同学，要当众给以鼓励和表彰，对于进步显著的同学也不要忽视，使尽可能多的同学感受到老师对他的关怀、器重、信任和鼓舞，感受到发现与创造的欢乐，感受到老师认识其价值的愉快。

这种欢乐和愉快的心境无疑又会转化为他们继续学习的积极性。

开场导语是辅助教学的一种常见手段，更是一种艺术。

恰到好处的开场导语能创造良好的教学情境，成为启迪思维、强化记忆、帮助理解、发展能力的“兴奋剂”和“催化剂”。

因此，运用开场导语还应遵循以下几点原则：

必要性原则，宜讲则讲，不宜讲则止，地、切忌为迎合学生猎奇心理而生拉硬凑、矫揉造作、故弄玄虚；启发性原则，开场导语无论讲什么内容，采取什么形式，其目的都在于创设情境、启发诱导、激发兴趣，力求让学生在亢奋“愤”“悱”持最佳心理状态下进入学习气氛，切忌穿靴带帽，油水分离；简明性原则，开场导语仅仅是“垫场…‘序曲”，语言既要短小精悍、言简意赅，又要通俗易懂，喻意明确，切忌脱离主题，信口开河，漫无边际；艺术性原则，开场导语从内容到形式要多姿多彩，语言要清新明快，富有艺术性，有较强的感染力，切忌空洞说教，言之无物；思想性原则，开场导语的内容、语言和观点要正确，格调高雅，思想性强，切忌低级趣味，庸俗粗鲁。

新课程改革下高中数学教学的几点反思

文／杨启刚

摘要：

《高中数学新课程标准》明确了高中数学教学的方向，也为教师的发展指出了道路。

在教育教学中，必须认真学习新课程理念，转变教学观念，深刻反思自己的教学思想和实践。

首先，教师要在教学观念上进行反思，更新教学观念，打破陈旧的教学理念；其次，要在教学实践中进行反思，合理设计教学，注意师生关系；最后，教师要对学生学习方法进行反思，方法是否科学，是否符合学生实际。

关键词：

高中数学；教学反思；教学观念；教学实践；学习方法

《高中数学新课程标准》的颁布，为新一轮教学改革指明了方向，同时也为教师的发展指明了道路，作为教师的我们，须认真学习新课程标准和现代教学教育理论，深刻反思自己的教学实践并上升到理性思考，尽快跟上时代的步伐。

我从事高中数学教学已有一段时间，在教学中，经历了茫然与彷徨，体验了无所适从到慢慢摸索的课堂教学组织，其问不乏出现各种思维的碰撞，而正是这些体验、碰撞不断的引起我对高中数学教学的反思，更加坚定了课改的信念，并从中得到启迪，得到成长。

一、教学观念上的反思课改，首先更新教学观念，打破陈旧的教学理念，苏霍姆林斯基说过：

“懂得还不等于己知，理解还不等于知识，为了取得更牢固的知识，还必须思考。

”作为新课程推行的主体——教师，长期以来已习惯于“以教师为中心”的教学模式，而传统的课堂教学也过分强调了教师的传承作用，思想上把学生看做消极的知识容器，单纯地填鸭式传授知识，学生被动地接受，结果事倍功半。

新课改强调学生的全面发展，师生互动，培养学生终身学习的能力，学生在老师引导下，主动积极地参与学习，获取知识，发展思维能力，让学生经过猜疑、尝试、探索、失败，进而体会成功的喜悦，达到真正的学!

所以，现在教师角色的定位需是在动态的教学过程中，基于对学生的观察和谈话，“适时”地点拨思维受阻迷茫的学生，“适度”地根据不同心理特点及不同认知水平的学生设计不同层次的思考问题，“适法”地针对不同类型知识选择引导的方法和技巧。

二、教学实践中的反思

教学中的师生关系不再是“人、物”关系，而是“我、你”关系；教师不再是特权式人物，教学是师与生彼此敞开心扉、相互理解、相互接纳的对话过程。

在成功的教学过程中，师生应形成一个“学习共同体”，他们一起在参与学习过程，进行心灵的沟通与精神的交融。

教学中教师要根据学生反馈的信息，反思“出现这样的问题，如何调整教学计划，采取怎样有效的策略与措施，需要在哪方面进行补充”，从而顺着学生的思路组织教学，确保教学过程沿着最佳的轨道运行，这种反思能使教学高质高效地进行。

教学时应注意，课堂回答问题活跃不等于教学设计合理，不等于思维活跃，是否存在为活动而活动的倾向，是否适用所有学生，怎么引起学生参与教学。

教师必须围绕教学目的进行教学设计，根据学生已有的知识水平精心设计，启发学生积极有效的思维，从而保持课堂张力。

设法由学生自己提出问题，然后再将学生的思考引向深入。

学生只有经过思考，教学内容才能真正进人他们的头脑，否则容易造成学生对老师的依赖，不利于培养学生独立思考的能力和新方法的形成。

有时我们在上课、评卷、答疑解难时，自以为讲清楚明白了，学生受到了一定的启发，但反思后发现，自己的讲解并没有很好的针对学生原有的知识水平，从根本上解决学生存在的问题，只是一味的想要他们按照某个固定的程序去解决某一类问题，学生当时也许明白了，但并没有理解问题的本质性的东西。

还有，教师在激发学生学习热情，也应妥善地加以管理，使课堂教学秩序有利于教师“教”和学生的“学”，要引导学生学会倾听，并加强学生合理表达自己观点的训练。

三、教师对学生学习方法的反思

就上面讲到的初高中数学存在巨大差异，高中无论是知识的深度、难度和广度，还是能力的要求，都有一次大飞跃。

学生有会学的，有不会学的，会学习的学生因学习得法而成绩好，成绩好又可以激发兴趣，增强信心，更加想学，成绩越拔尖，能力越提高，形成了良性循环。

不会学习的学生开始学习不得法而成绩不好，如能及时总结教训，改变学法，变不会学习为会学习，经过一番努力能赶上去；如不思改进，不作努力，成绩就会越来越差，当差距拉到一定程度以后，就不容易赶上去了，成绩一差会对学习丧失兴趣，不想学习，越不想学成绩越降，继而在思想上产生一种厌恶，害怕，对自我怀疑，对学习完全失去了信心，甚至拒绝学习。

由此可见，会不会学习，也就是学习方法是否科学，是学生能否学好数学的极其重要的因素。

当前高中生数学学习方法还处在比较被动的状态，存在问题较多，主要表现在：

①学习懒散，不肯动脑；②不订计划，惯性运转；③忽视预习，坐等上课，寄希望老师讲解整个解题过程，依赖性较强，缺乏学习的积极性和主动性；④不会听课，如像个速记员，边听边记，笔记是记了一大本，但问题也有一大堆；有的则一字不记，只顾听讲；有的学生只当听老师讲故事时来精神等等；⑤死记硬背，机械模仿，教师讲的听得懂，例题看得懂，就是书上的作业做不起；⑥不懂不问，一知半解；⑦不重基础知识，基本方法，基本技能，而对那些偏、难、怪题感兴趣，好高骛远，影响基础学习；⑧不重总结，轻视复习。

总之，对于我们农村中学，大部分是居于中等及以下的学生，基础知识、基本技能、基本数学思想方法差，思维能力、运算能力较低，空间想象能力以及实践和创新意识能力更无须谈说。

上面所谈到的学生问题表现尤为突出，因此教师需多花时间了解学生具体情况、学习状态，对学生数学学习方法进行指导，力求做到转变思想与传授方法结合，课上与课下结合，学法与教法结合，统一指导与个别指导结合，促进学生掌握正确的学习方法。

只有凭借着良好的学习方法，才能达到“事半功倍”的学习效果。

（作者单位：

贵州省遵义市余庆县余庆中学数学组）