高考数学理名师揭秘之一轮总复习专题26+平面向量的概念及运算检测.docx

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高考数学理名师揭秘之一轮总复习专题26+平面向量的概念及运算检测

本专题特别注意：

1.向量加减的几何意义

2.向量共线的问题

3.零向量问题

4.向量夹角为锐角和钝角问题

5.基本定理的两条路径法表示向量

6.向量共线与三点共线的区别与联系

7.向量的模与夹角的运算及应用问题

8.平行与垂直问题

【学习目标】

1．理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；理解向量的几何表示．

2．掌握向量的加法、减法的运算，并理解其几何意义．

3．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．

4．了解向量线性运算的性质及其几何意义．

【方法总结】

1.向量线性运算技巧

（1）用已知向量表示与其相关的另外一些向量时，在运用向量的加法、减法、数乘运算的同时，应充分利用平面几何的一些基本定理.

（2）在求向量时尽可能转化到某平行四边形或三角形内，以便运用平行四边形法则和三角形法则，涉及到线段比时，一方面考虑平行线定理，另一方面充分运用数乘运算的几何意义.

2.向量共线问题

（1）向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法和方程思想的运用.

（2）证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.

高考模拟：

一、单选题

1．已知平面向量，则（）

A.B.2C.D.3

【答案】C

【解析】分析：

首先根据向量的数乘以及向量的减法运算，求得对应向量的坐标，利用模的坐标公式求得结果.

详解：

因为平面向量，，则向量，

所以，故选C.

点睛：

该题考查的是有关向量的模的问题，在解题的过程中，需要应用向量的数乘以及减法运算公式，求得对应向量的坐标，之后应用模的坐标运算式求得结果.

2．设为向量，则“”是“”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】分析：

“”可得，由“”可得向量夹角为或，利用充分不必要的定义可得结果.

点睛：

判断充要条件应注意：

首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.

3．已知向量，且，则（）

A.B.C.D.5

【答案】B

【解析】分析：

首先应用向量共线时坐标所满足的关系，求得，从而可以求得，之后应用向量的模的坐标公式求得结果.

点睛：

该题考查的是有关向量模的求解问题，在解题的过程中，需要利用向量共线坐标所满足的条件，求得相关的参数的值，之后应用向量加法运费法则求得和向量的坐标，接着应用向量的模的坐标公式求得结果.

4．已知四个命题：

①如果向量与共线，则或；

②是的必要不充分条件；

③命题：

，的否定：

，；

④“指数函数是增函数，而是指数函数，所以是增函数”

此三段论大前提错误，但推理形式是正确的.

以上命题正确的个数为（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【解析】①错，如果向量与共线，则；

②是的必要不充分条件；正确，由可以得到，但由不能得到

，如；

③命题：

，的否定：

，；

正确

④“指数函数是增函数，而是指数函数，所以是增函数”

此三段论大前提错误，但推理形式是正确的.，正确.

故选D.

5．两个单位向量，的夹角为，则（）

A.B.C.D.

【答案】D

【解析】两个单位向量，的夹角为,则

代入得到.

故答案为：

.

6．已知，是两个单位向量，则的最大值为（）

A.B.C.D.

【答案】A

点睛：

本题的难点在于解题思路的找寻，对于这个最值，一般利用函数的思想，先建立的三角函数，进而研究函数的最值.

7．若向量、满足、，，则与的夹角为（）

A.B.C.D.

【答案】C

【解析】试题分析：

因为，，所以，，即，

所以，又，故与的夹角为，

选.

考点：

平面向量的数量积、模、夹角.

8．已知向量，满足，，若且（，），则的最小值为（）

A.1B.C.D.

【答案】D

点睛：

本题考查向量的基本运算，向量模的求法，基本不等式的应用，考查计算能力．解题时二次函数的配方是解题的关键

9．已知是互相垂直的两个单位向量，，，则

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】

本题选择B选项.

10．设平面向量满足，且，则的最大值为（）

A.2B.3C.D.

【答案】C

【解析】设，

∵，且，

∴．

∵，当且仅当与共线同向时等号成立，

∴的最大值为．选C．

点睛：

由于向量，且，因此向量确定，这是解题的基础也是关键．然后在此基础上根据向量模的三角不等式可得的范围，解题时要注意等号成立的条件．

11．四边形中，，且，则四边形是（）

A.平行四边形B.菱形C.矩形D.正方形

【答案】C

12．下列命题正确个数为的是（）

①对于任意向量、、，若∥，∥，则∥

②若向量与同向，且︳︳＞︳︳，则＞

③

④向量与是共线向量，则A、B、C、D四点一定共线

A.4个B.3个C.2个D.0个

【答案】D

【解析】对于①，若，则不能得出，①错；对于②，向量不能比较大小，所以②错；对于③，表示与共线的向量，表示与共线的向量，所以与不一定相等，③错；对于④，与是共线向量，等价于，A、B、C、D四点不一定共线，所以④错，正确个数为0个，选D.

点睛：

本题主要考查向量中的有关概念，属于易错题。

解答本题的关键是熟练掌握向量中的相关概念、性质等。

13．如图，以为直径在正方形内部作半圆，为半圆上与不重合的一动点，下面关于的说法正确的是（）

A.无最大值，但有最小值

B.既有最大值，又有最小值

C.有最大值，但无最小值

D.既无最大值，又无最小值

【答案】A

【解析】设正方形的边长为2，如图建立平面直角坐标系，

点睛：

本题考查了向量的加法及向量模的计算，利用建系的方法，引入三角函数来解决使得思路清晰，计算简便，遇见正方形，圆，等边三角形，直角三角形等特殊图形常用建系的方法.

14．下列命题正确的是（）

A.与,与共线，则与也共线

B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点

C.向量与不共线，则与都是非零向量

D.有相同起点的两个非零向量不平行

【答案】C

15．已知向量与的夹角为，，，，，在时取最小值，当时，的取值范围为（）

A.B.C.D.

【答案】D

【解析】解：

建立如图所示的平面直角坐标系，则由题意有：

，

由向量关系可得：

，

则：

，

整理可得：

，

满足题意时：

，

据此可得三角不等式：

，

解得：

，即的取值范围是.

本题选择D选项.

点睛：

求两个向量的数量积有三种方法：

利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．

16．下列命题中：

①∥存在唯一的实数，使得；

②为单位向量，且∥，则；

③；

④与共线，与共线，则与共线；

⑤若

正确命题的序号是（）

A.①⑤B.②③C.②③④D.①④⑤

【答案】B

【解析】分析：

逐一分析判断即得正确答案.

点睛：

（1）本题主要考查平面向量的基本概念和性质定理，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和辨别能力.

（2）本题的几个命题是典型的易错题，要理解掌握.如：

∥存在唯一的实数，使得；与共线，与共线，则与共线；若.

17．给出下列命题：

①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量.

②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小.

③（为实数），则必为零.

④为实数，若，则与共线.

其中正确的命题的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

18．对于非零向量，下列命题正确的是（）

A.若，则

B.若，则在上的投影为

C.若，则

D.若，则

【答案】C

【解析】A.：

若，，时，不一定有，故A错误

B：

可得在上的投影为或，故B错误；

C：

由，可得从而有，故C正确

D：

由不一定成立，故D错误

故选C

19．设都是非零向量，下列四个条件中，一定能使成立的是（　　）

A.B.//C.D.

【答案】D

20．在以下关于向量的命题中，不正确的是（）

A.若向量，向量，则

B.若四边形ABCD为菱形，则

C.点是ΔABC的重心，则

D.ΔABC中，和的夹角等于

【答案】D

【解析】ΔABC中，和的夹角等于的补角，D的说法是错误的.

本题选择D选项.

二、填空题

21．已知向量，，其中，且与共线，则当取最小值时，为__________．

【答案】

【解析】由向量共线的充要条件得

则

当且仅当时，取等号，此时，

则

22．已知向量，若（为实数），则_______.

【答案】

23．若，则__________.

【答案】

【解析】如图所示，由可知点P是线段AB上靠近点A的三等分点，则

结合题意可得：

.

24．如图所示,已知,由射线和射线及线段构成如图所示的阴影区（不含边界）.

（1）若为中点,______（用,表示）

（2）已知下列四个向量:

①;②;

③;④.

对于点,,,,落在阴影区域内（不含边界）的点有_____（把所有符合条件点都填

上）

【答案】

25．已知向量，，，则_________.

【答案】

【解析】由,得,

由，平方得，

因为，所以，

有，解得

26．已知，，，若向量满足，则的取值范围是__________．

【答案】

【解析】易知，由得，

所以或，由此可得的取值范围是.

27．在平面直角坐标系中，已知为坐标原点，，，，若动点，则的最大值为______.

【答案】

点睛：

本题主要考查了平面向量的线性运算及其运用，综合了圆上点与定点之间的距离最大值，先给出动点的轨迹方程，再表示出向量的坐标结果，依据其几何意义计算求得结果，本题方法不唯一，还可以直接计算含有三角函数的最值

28．已知向量的夹角为，若，则___________。

【答案】3

【解析】由题意可得：

，

整理可得：

，

据此可得：

.

29．已知，，且，若点P满足，则的取值范围为______．

【答案】

30．在锐角中，，，则__________．

【答案】3

【解析】由题设可得，即，也即，则，故，应填答案。

.

31．如图，在中，为线段上的一点，，且，则_______，_______.

【答案】

【解析】由题意，结合图形，根据平面向量的运算法则，由，得，即，所以，.

32．①若与为非零向量，且时，则必与或中之一的方向相同；

②若为单位向量，且，则；

③；

④若与共线，与共线，则与必共线；

⑤若平面内有四个点，则必有.

上述命题正确的有______.（填序号）

【答案】⑤

点睛：

此题主要考查平面向量中的相等向量、共线向量、数量积、加减法则等有关方面的知识与技能，属于中低档题，也是平面向量的基础知识点.在此问题中，针对每个命题的条件与结论，逐一对照平面向量相关的知识，进行运算、判断