万有引力专题整理.docx

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万有引力专题整理

万有引力定律及其应用专题

知识梳理

1.开普勒行星运动定律

1．万有引力定律

3．万有引力定律应用解决天体、卫星运动问题

3．万有引力定律与牛顿运动定律相结合

一、开普勒行星运动定律

1．开普勒第一定律

所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上。

这就是开普勒第一定律，又称椭圆轨道定律。

2．开普勒第二定律

对于每一个行星而言，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过相等的面积。

这就是开普勒第二定律，又称面积定律。

3．开普勒第三定律

所以行星轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等。

这就是开普勒第三定律，又称周期定律。

若用a表示椭圆轨道的半长轴，T表示公转周期，则

（k是一个与行星无关的常量）。

▲疑难导析

1．开普勒第一定律告诉我们行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在它的一个焦点上由第一定律出发，行星运动时，轨道上出现了近日点和远日点。

由第二定律可以知道，从近日点向远日点运动时，速率变小，从远日点向近日点运动时速率变大。

由第三定律知道

，而k值只与太阳有关，与行星无关。

2．开普勒定律的应用

（1）行星的轨道都近似为圆，计算时可认为行星做匀速圆周运动，这时太阳在圆心上，第三定律为

（2）开普勒定律不仅适用于行星，也适用于卫星，若把卫星轨道近似看作圆，第三定律公式为

，这时

由行星决定，与卫星无关。

当天体绕不同的中心星球运行时，

中的

值是不同的。

（3）对于椭圆轨道问题只能用开普勒定律解决。

卫星变轨问题，可结合提供的向心力和需要的向心力的关系来解决。

二、万有引力定律：

（1687年）

适用于两个质点或均匀球体；r为两质点或球心间的距离；G为万有引力恒量（1798年由英国物理学家卡文迪许利用扭秤装置测出）

▲疑难导析

重力和万有引力

重力是地面附近的物体受到地球的万有引力而产生的；万有引力是物体随地球自转所需向心力和重力的合力。

如图所示，

产生两个效果：

一是提供物体随地球自转所需的向心力；二是产生物体的重力。

由于

，随纬度的增大而减小，所以物体的重力随纬度的增大而增大，即重力加速度从赤道到两极逐渐增大；但

一般很小，在一般情况下可认为重力和万有引力近似相等，即

常用来计算星球表面的重力加速度。

在地球同一纬度处，g随物体离地面高度的增加而减小，因为物体所受万有引力随物体离地面高度的增加而减小，即

。

说明：

和

不仅适用于地球也适用于其他星球。

在赤道处，物体的

分解的两个分力

和mg刚好在一条直线上，则有

。

三、万有引力定律的应用

1．解题的相关知识：

（1）在高考试题中，应用万有引力定律解题的知识常集中于两点：

一、天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即

＝

；

二、地球对物体的万有引力近似等于物体的重力，即G

＝mg从而得出GM＝R

g（黄金变换）

（2）圆周运动的有关公式：

＝

，v=

r。

讨论：

由

可得：

r越大，v越小。

由

可得：

r越大，ω越小。

由

可得：

r越大，T越大。

由

可得：

r越大，a向越小。

点评：

需要说明的是，万有引力定律中两个物体的距离，对于相距很远因而可以看作质点的物体就是指两质点的距离；对于未特别说明的天体，都可认为是均匀球体，则指的是两个球心的距离。

人造卫星及天体的运动都近似为匀速圆周运动。

2．常见题型

万有引力定律的应用主要涉及几个方面：

（1）测天体的质量及密度：

（万有引力全部提供向心力）

由

得

又

得

（2）行星表面重力加速度、轨道重力加速度问题：

（重力近似等于万有引力）

表面重力加速度：

轨道重力加速度：

（gh应理解成向心加速度）

（3）人造卫星、宇宙速度：

人造卫星分类（略）：

其中重点了解同步卫星

宇宙速度：

（弄清第一宇宙速度与发卫星发射速度的区别）

（4）双星问题：

（5）有关航天问题的分析：

（6）天体问题为背景的信息给予题

开普勒定律

例1．关于行星绕太阳运动的下列说法中正确的是：

（）

A．所有行星都在同一椭圆轨道上绕太阳运动

B．行星绕太阳运动时太阳位于行星轨道的中心处

C．离太阳越近的行星的运动周期越长

D．所有行星的轨道半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等

1．海王星与太阳的平均距离约为地球与太阳平均距离的30倍，地球公转周期是3.16×107s，那么海王星绕太阳运行的周期约为s．

2．宇宙飞船进入一个围绕太阳运动的近乎圆形的轨道上运动，如果轨道半径是地球轨道半径的9倍，那么宇宙飞船绕太阳运行的周期是（）

A．3年B．9年C．27年D．81年

万有引力定律

例１．对于质量分别为m1和m2的两个物体间的万有引力表达式为F＝G

，下列说法正确的是（）

A．公式中的G是引力常量，它是由实验得出的而不是人为规定的

B．当两物体的距离r趋于零时，万有引力趋于无穷大

C．相互作用的两个物体，质量大的物体受到的引力较大，质量小的物体受到的引力较小

D．两个物体间的引力总是大小相等、方向相反，是一对平衡力

１．地球质量大约是月球质量的81倍，一个飞行器在地球与月球之间，当地球对它的引力和月球对它的引力大小相等时，这飞行器距离地心的距离与距离月心的距离之比为（）．

A．1∶9B．9∶1C．1∶27D．27∶1

2．下列说法中正确的是（）（双选）

A．质量为m的物体在地球上任何地方其重力均相等

B．把质量为m的物体从地面移到高空上，其重力变小了

C．同一物体在赤道处的重力比在两极处的重力大

D．同一物体在任何地方其质量都是相同的

3．下列说法符合事实的是（）

A．牛顿发现了行星的运动规律

B．开普勒发现了万有引力定律

Ｃ．卡文迪许第一次在实验室测出了万有引力常量

Ｄ．人造地球同步卫星的周期与地球自转周期

４．在轨道上运行的人造卫星，如天线突然脱落，则天线将（）

A．做自由落体运动　　　Ｂ．做平抛运动

Ｃ．和卫星一起在同一轨道上绕地球运动Ｄ．由于惯性沿轨道切线方向做直线运动

５．根据观测，某行星外围有一个模糊不清的环，为了判断该环是连续物还是卫星群，又测出了环中各层的线速度V的大小与该层至行星中心的距离R，以下判断中正确的是（）（双选）

A．若V与R成正比，则环是连续物

B．若V与R成反比，则环是连续物

C．若V2与R成正比，则环是卫星群

D．若V2与R成反比，则环是卫星群

万有引力定律应用

例１．把太阳系各行星运动近似看作匀速圆周运动，则离太阳越近的行星（）．

A．周期越小B．线速度越小C．角速度越小D．加速度越小

１．设人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，卫星离地面越高，则卫星的（）．

A．线速度越大B．角速度越大C．向心加速度越大D．周期越长

２．两颗小行星都绕太阳做圆周运动，它们的周期分别是T和3T，则：

（）

A．它们绕太阳运动的轨道半径之比为1∶3

B．它们绕太阳运动的轨道半径之比为1∶

C．它们绕太阳运动的速度之比为

∶1

D．它们受太阳的引力之比为9∶

３．下列说法正确的是：

（）

A．因F=mω2r，人造卫星的轨道半径增大到2倍，向心力增大到2倍

B．因F=mv2/r，人造卫星的轨道半径增大到2倍，向心力减小为原来的1/2

C．因F=GMm/r2，人造卫星的轨道半径增大到2倍，向心力减小为原来的1/4

D．仅知道卫星的轨道半径的变化，无法确定向心力的变化

４．根据观测，某行星外围有一个模糊不清的环，为了判断该环是连续物还是卫星群，又测出了环中各层的线速度V的大小与该层至行星中心的距离R，以下判断中正确的是（）（双选）

A．若V与R成正比，则环是连续物B．若V与R成反比，则环是连续物

C．若V2与R成正比，则环是卫星群D．若V2与R成反比，则环是卫星群

５．我国自行研制的“风云一号”、“风云二号”气象卫星运行的轨道是不同的。

“一号”是极地圆形轨道卫星。

其轨道平面与赤道平面垂直，周期是12h；“二号”是地球同步卫星。

两颗卫星相比号离地面较高；号观察范围较大；号运行速度较大。

若某天上午8点“风云一号”正好通过某城市的上空，那么下一次它通过该城市上空的时刻将是。

例２．若已知行星绕太阳公转的半径为r，公转的周期为T，万有引力恒量为G，则由此可求出（）．

A．某行星的质量B．太阳的质量　　　　C．某行星的密度　D．太阳的密度

１．已知月球的半径为r，月球表面的重力加速度为g月，万有引力恒量为G，若忽略月球的自转，试求出月球的平均密度表达式．

2．已知某行星的半径和绕该行星表面运行的卫星的周期，可以求得下面哪些是（）

A．该行星的质量B．该行星的表面的重力加速度

C．该行星同步卫星高其表面的高度D．该行星的第一宇宙速度

例３．设地球表面重力加速度为go，物体距离地心4R（R是地球半径）处，由于地球的作用而产生的加速度为g，则g/go为：

（）

A．1B．1/9C．1/4D．1/16

１．绕地球作圆周运动的某人造地球卫星，距地球表面的高度恰好等于地球半径R，线速度为V，地球表面附近的重力加速度为g，则以上各量的关系是：

（）

A．V=

B．V=

　　　　C．V=

D．V=2

1．一宇宙飞船在离地为h高的圆轨道上作匀速圆周运动，质量为m的物块用弹簧称挂起相对于飞船静止，则此物块所受的合外力的大小为__________（已知地球半径为R，地球表面处的重力加速度为g）

例４．目前地球上空的同步卫星有很多种类，用于科学实验、资源勘测、通讯、气象等．它们虽然质量、功能各不相同，但一定具有相同的（）（双选）

A．线速度B．角速度C．向心加速度D．距地球表面的高度

1．某一颗人造地球同步卫星距地面的高度为h，设地球半径为R，自转周期为T，地面处的重力加速度为g，则该同步卫星的线速度的大小应为（）（双选）

A．

　　　Ｂ．

　　C．

　　　D．

2．用m表示地球同步通信卫星的质量，h表示卫星离地面的高度，M表示地球的质量，R0表示地球的半径，g0表示地球表面处的重力加速度，T0表示地球自转的周期，w0表示地球自转的角速度，地球同步通信卫星的环绕速度大小v为（）（双选）

A．ω0（R0＋h）B．

C．

D．

３．亚洲一号是我国发射的通讯卫星，设地球自转角速度一定，则亚洲一号（）（双选）

A．绕地球运转的角速度等于地球自转的角速度B．沿着与赤道成一定角度的轨道运动

C．运行的轨道半径为一确定值D．如果需要可以固定在北京上空

4．同步卫星离地球球心的距离为r，运行速率为v1，加速度大小为a1，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度大小为a2，第一宇宙速度为v2，地球半径为R。

则（）

A．a1：

a2=r：

RB．a1：

a2=R2：

r2C．v1：

v2=R2：

r2D．

５．在地球（看作质量均匀分布的球体）上空有许多同步卫星，下面说法中正确的是（）

A．它们的质量可能不同B．它们的速度可能不同

C．它们的向心加速度可能不同D．它们离地心的距离可能不同

６．地球同步卫星到地心的距离r可由

求出，已知式中a的单位是m，b的单位是s，c的单位是m/s2，则（　　）（双选）

A．a是地球半径，b是地球自转的周期，C是地球表面处的重力加速度；

B．a是地球半径。

b是同步卫星绕地心运动的周期，C是同步卫星的加速度；

C．a是赤道周长，b是地球自转周期，C是同步卫星的加速度

D．a是地球半径，b是同步卫星绕地心运动的周期，C是地球表面处的重力加速度。

例５．发