届高三前半期第一次月考数学重庆市第一中学.docx
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届高三前半期第一次月考数学重庆市第一中学
2022届高三前半期第一次月考数学（重庆市第一中学）
解答题
选修4-4：
坐标系与参数方程
直角坐标系中曲线的参数方程（为参数），在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，点的极坐标，在平面直角坐标系中，直线经过点，倾斜角为
（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的参数方程；
（2）设直线与曲线相交于两点，求的值.
【答案】
（1）（为参数）；
（2）．
【解析】试题分析：
（1）利用同角关系及二倍角公式消去参数可得的直角坐标方程，把的极坐标化为直角坐标，由直线的标准参数方程可得直线参数方程；
（2）把直线参数方程代入曲线的直角坐标方程，可得，利用参数的几何意义，有，代入计算可得．
试题解析：
（1）曲线的直角坐标方程
点的极坐标为，化为直角坐标为，
直线的参数方程为，即（为参数）
（2）将的参数方程代入曲线的直角坐标方程，得：
，
显然有，则
，
所以
解答题
如图，直线与椭圆交于两点，与轴交于点，为弦的中点，直线分别与直线和直线交于两点.
（1）求直线的斜率和直线的斜率之积；
（2）分别记和的面积为，是否存在正数，使得若存在，求出的取值；若不存在，说明理由.
【答案】
（1）；
（2）存在满足题意.
【解析】试题分析：
（1）设，由点差法可推出，由两直线相交可求得交点坐标，从而得，计算即可；
（2）是直线的交点，由两直线方程联立可解得各点坐标，求得，再由求得值即可，若不能求得，则说明不存在．
试题解析：
（1）设，由点差法可推出：
在联立可接出
所以，
（2）假设这样的存在，联立，在
（1）问中已解得，
所以；
在中令得；
在联立
所以；
由
当时，点坐标为，经检验在椭圆内，即直线与椭圆相交，
所以存在满足题意.
解答题
已知函数
（1）若函数存在与轴垂直的切线，求的取值范围；
（2）若恰有一个零点，求的取值集合；
【答案】
（1）；
（2）．
【解析】试题分析：
（1）存在与轴垂直的切线，说明存在导数值为0的点，即在上有解，由此可得的范围；
（2）求出导数，由导数的知识求得有唯一最大值，结合函数的单调性知，只有当最大值时，函数才有唯一零点．
试题解析：
（1）的定义域为
在上有解
得：
所以，的取值范围为
（2），令，得
当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增，
故
①当，即时，因最大值点唯一，故符合题设；
②当，即时，恒成立，不合题设；
③当，即时，一方面，；
另一方面，（易证：
），
于是，有两零点，不合题设，
综上，的取值集合为
解答题
已知函数，若对恒成立，且
（1）求的解析式和单调递增区间；
（2）当时，求的值域；
【答案】
（1）；
（2）
【解析】试题分析：
（1）由已知得出函数图象的一条对称轴是，结合正弦函数的图象的对称性可求得值，再由正弦函数的单调性与复合函数的单调性可得单调增区间；
（2）由，求得，把作为一个整体利用正弦函数性质可得的值域．
试题解析：
（1）
由，可知为函数的对称轴，
则，
由，可知或
又由，可知，则
验证或，则，
所以
由得：
递增区间：
（2）当
则
所以，值域为：
填空题
设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为__________．
【答案】
【解析】设，则，由题意，所以在上是增函数，所以由得，即，所以．
填空题
学校艺术节对同一类的四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下:
甲说：
“作品获得一等奖”； 乙说：
“作品获得一等奖”
丙说：
“两项作品未获得一等奖” 丁说：
“是或作品获得一等奖”
若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是__________．
【答案】C
【解析】若是一等奖，则甲丙丁都对，不合题意；若是一等奖，则甲乙丁都错，不合题意；若是一等奖，则乙丙正确，甲丁错，符合题意；若是一等奖，则甲乙丙错，不合题意，故一等奖是．
选择题
若函数在区间内有极小值，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，由题意在区间上有零点，在上是增函数，所以，解得，故选C．
选择题
下列函数为奇函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由奇函数的定义，只有当时，，故选B．
选择题
函数图像的一个对称中心可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】把各点横坐标代入，只有，因此是图象的一个对称中心，故选D．
选择题
函数的部分图像如图所示，若将图像上所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），在向右平移得到的图像，则的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由题意，，则，又，而，所以，即，所以，即，故选B．
选择题
下列说法正确的是（ ）
A.“”是“函数是奇函数”的充要条件
B.若为假命题，则为假命题
C.已知角的终边均在第一象限，则“”是“”的充分不必要条件
D.“若，则”是真命题
【答案】D
【解析】满足，但不是奇函数，A错；
为假命题，只要中有一个为假即可，当一真一假时满足为假命题，但为真命题，B错；
由于（），因此与之间没有任何关系，C错；
因此时，，因此“若，则”是真命题，D正确．
故选D．
解答题
选修4-5：
不等式选讲
已知函数
（1）求不等式的解集；
（2）若函数的最小值为，正数满足，求证：
【答案】
（1）或；
（2）见解析．
【解析】试题分析：
（1）解这个绝对值不等式，可按绝对值的定义去掉绝对值符号，化绝对值不等式为一元一次不等式，从而求得解．
（2）利用绝对值三角不等式可求得的最小值为，求和后，再得用基本不等式可证题中结论．
试题解析：
（1）当时，得
当时，得无解
当时，得
所以，不等式的解集为或；
（2），即
又由均值不等式有：
两式相加得
解答题
已知二次函数满足以下要求：
①函数的值域为；②对恒成立.
（1）求函数的解析式；
（2）设，求时的值域.
【答案】
（1）；
（2）.
【解析】试题分析：
（1）已知条件提供了二次函数的对称轴与最小值，因此二次函数解析式可配方为顶点式，从而列出关于的方程组，从而解得，得解析式；
（2）是分式函数，由于分母是一次的，分母是二次的，可用换元法设，转化后易得函数的单调性，从而得值域．
试题解析：
（1）
又 对称轴为
值域为 且
，则函数
（2）
令，则
所求值域为.
填空题
若，且，则__________．
【答案】
【解析】∵，∴，∴，
∴．
选择题
已知函数是偶函数，则在上是减函数的一个值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由已知为偶函数，，即，故排队，当，时，，递减，当，时，，递增，故选A．
选择题
若集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】集合是某些实数组成的数集，集合是平面的点集，因此，故选D．
选择题
已知角的终边经过点，且，则__________．
【答案】
【解析】由题意，解得．
选择题
记函数在点处的切线为，若直线在轴上的截距恒小于，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，切线方程为，令得截距为，由题意对，恒成立，即，
令，则，∵，∴，
①若，即时，，所以当时，，即在上单调递增，所以恒成立，所以满足题意；
②若，即时，，即在上单调递减，所以，所以不满足题意；
③若即时，，则的关系如下表：
－
0
+
递减
极小值
递增
所以，所以不满足题意．
综合①②③，可得当时，，此时切线在轴上的截距恒小于．
选择题
给出定义：
若（其中为整数），则叫做离实数最近的整数，记作，在此基础上给出下列关于函数的四个命题：
①函数的定义域为，值域为；②函数在上是增函数；③函数是周期函数，最小正周期为；④函数的图像关于直线对称，其中正确命题的个数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】的定义域要求真数大于0，则要，因此定义域为，①错误；当时，且，，当时，且，，显然的图象是由的图象向右平移1个单位而得，一般地当时，且，，于是可画出的图象，由图象知②、③、④正确．
选择题
若是方程的根，则所在的区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设，由于，，即，故选C．
选择题
已知，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由已知得，所以．
故选A．
解答题
已知函数，其中，且
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）设，若存在极大值，且对于的一切可能取值，的极大值均小于，求的取值范围.
【答案】
（1）单调递增区间为，单调递减区间为；
（2）
【解析】试题分析：
（1）计算出导数，由不等式得增区间，由得减区间，注意要按的正负分类讨论，的正负对定义域有影响；
（2）求出导数，因此必须有，才能有两个不等实根，的两实根为，，极大值为，由求根公式得，令（作为的函数），同理由导数知识得在上单调递减，从而，由可得的范围．
试题解析：
（1）时，，故
当时，，由，得得
因此的单调递增区间为：
，单调递减区间为：
当时，，由得，由得
因此单调递增区间为，单调递减区间为
（2）由题，显然，设的两根为，则当或时，，当时，，故极大只可能是，且，知，又，故，且，
从而令，
则，
故在单减，从而，
因此，解得
选择题
设，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，，且，所以，故选B．
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