(C){x|x<-1}∪{x|x>2}(D){x|x≤-1}∪{x|x≥2}
B 解析:
∵x2-x-2>0,∴(x-2)(x+1)>0,∴x>2或x<-1,即A={x|x>2或x<-1}.在数轴上表示出集合A,如图所示.
由图可得∁RA={x|-1≤x≤2}.
故选B.
2.已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},则A中元素的个数为( )
(A)9(B)8(C)5(D)4
A 解析:
将满足x2+y2≤3的整数x,y全部列举出来,即(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,-1),(0,0),(0,1),(1,-1),(1,0),(1,1),共有9个.
故选A.
3.已知集合A={x|x<1},B={x|3x<1},则( )
(A)A∩B={x|x<0} (B)A∪B=R
(C)A∪B={x|x>1}(D)A∩B=∅
A 解析:
集合A={x|x<1},B={x|x<0},∴A∩B={x|x<0},A∪B={x|x<1}.故选A.
4.设函数y=
的定义域为A,函数y=ln(1-x)的定义域为B,则A∩B=( )
(A)(1,2)(B)(1,2]
(C)(-2,1)(D)[-2,1)
D 解析:
由题意可知A={x|-2≤x≤2},B={x|x<1},故A∩B={x|-2≤x<1}.
5.下面结论正确的是________.(写出所有正确结论的编号)
(1){1,2,3}={3,2,1}.
(2)∅={0}.
(3)若A∩B=A∩C,则B=C.
(4)已知集合M={1,2,3,4},N={2,3},则M∩N=N.
(5)若全集U={-1,0,1,2},P={x∈Z|x2<4},则∁UP={2}.
解析:
(1)集合中元素有无序性,正确;
(2)∅不含任何元素,不正确;
(3)若A={1},B={1,2},C={1,2,3}满足A∩B=A∩C,而B≠C.不正确;
(4)正确;
(5)由题知P={0,-1,1},则∁UP={2},正确.
答案:
(1)(4)(5)
考点一 集合的基本概念
(1)已知集合A={(x,y)|x,y为实数,且x2+y2=1},B={(x,y)|x,y为实数,且x+y=1},则A∩B的元素个数为( )
(A)4(B)3(C)2(D)1
(2)已知集合A={m+2,2m2+m},若3∈A,则m的值为________.
(1)C 解析:
由题意知集合A表示圆,B表示一条直线.画出图形如图所示.
由图可知有2个交点,故A∩B中共有2个元素.
(2)解析:
若m+2=3,则m=1,此时A={3,3},舍
若2m2+m=3,则m=1(舍)或m=-
经验证m=-
满足题意.
答案:
-
【反思归纳】
(1)用描述法表示集合,首先要搞清楚集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明白集合的类型,是数集、点集还是其他类型集合;
(2)集合中元素的互异性常常容易忽略,求解问题时要特别注意.分类讨论的思想方法常用于解决集合问题.
【即时训练】
(1)设集合A={1,2,3},B={4,5},M={x|x=a+b,a∈A,b∈B},则M中的元素个数为( )
(A)3(B)4(C)5(D)6
(2)已知a,b为两个不相等的实数,集合M={a2-4a,-1},N={b2-4b+1,-2},f:
x→x表示把集合M中的元素x映射到集合N中仍为x,则a+b等于( )
(A)1(B)2(C)3(D)4
解析:
(1)因为集合M中的元素x=a+b,a∈A,b∈B,
所以当b=4时,a=1,2,3,此时x=5,6,7.
当b=5时,a=1,2,3,此时x=6,7,8.
所以根据集合元素的互异性可知,x=5,6,7,8.
即M={5,6,7,8},共有4个元素.故选B.
(2)因为集合M中的元素x映射到集合N中仍为x,所以
即
因为a,b为两个不相等的实数,不妨设a<b,解得a=2-
,b=2+
,所以a+b=4.故选D.
答案:
(1)B
(2)D
考点二 集合的基本关系
(1)已知集合A={x|x2-2x-3≤0,x∈N*},则集合A的真子集的个数为( )
(A)7(B)8(C)15(D)16
(2)已知集合A=
,B={x2,x+y,0},若A=B,则x+y=________.
答案:
(1)A
(2)2
【反思归纳】
(1)已知两集合的关系求参数时,关键是将两集合的关系转化为元素间的关系,进而转化为参数满足的关系,解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图帮助分析,而且经常要对参数进行讨论.注意区间端点的取舍.
(2)判断集合间的关系,要注意先对集合进行化简,再进行判断,并且在描述关系时,要尽量精确.
【即时训练】已知集合A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m-1},若B⊆A,则实数m的取值范围是________.
解析:
当B=∅时,有m+1≥2m-1,
则m≤2.当B≠∅时,若B⊆A,如图.
则
解得2<m≤4.
综上,m的取值范围为(-∞,4].
答案:
(-∞,4]
考点三 集合的基本运算
设集合A={1,2,4},B={x|x2-4x+m=0}.若A∩B={1},则B=( )
(A){1,-3}(B){1,0}(C){1,3}(D){1,5}
C 解析:
因为A∩B={1},所以1∈B,所以1是方程x2-4x+m=0的根,所以1-4+m=0,m=3,方程为x2-4x+3=0,解得x=1或x=3,所以B={1,3},选C.
【反思归纳】
(1)有关集合的运算要注意以下两点:
①要关注集合中的代表元素是什么.
②要对集合先化简再运算,并且特别注意是否含端点.
(2)有关集合的运算常有以下技巧:
①离散的数集或抽象集合间的运算,常借助Venn图求解;②连续的数集的运算,常借助数轴求解;
③已知集合的运算结果求集合,借助数轴或Venn图求解;
④根据集合运算求参数,先把符号语言译成文字语言,然后适时应用数形结合求解.
【即时训练】
(1)(2018昆明市昆十四中、官渡二中等七校模拟)设集合A={x|x2-x-2≤0},B={x|x<1,且x∈Z},则A∩B=( )
(A){-1}(B){0}
(C){-1,0}(D){0,1}
(2)设集合A={x|1<x<4},集合B={x|x2-2x-3≤0},则A∩(∁RB)=( )
(A)(1,4)(B)(3,4)
(C)(1,3)(D)(1,2)∪(3,4)
(3)设全集S={1,2,3,4},且A={x∈S|x2-5x+m=0},若∁SA={2,3},则m=________.
(1)C 解析:
依题意得A={x|(x+1)(x-2)≤0}={x|-1≤x≤2},因此A∩B={x|-1≤x<1,x∈Z}={-1,0},选C.
(2)B 解析:
因为集合B={x|x2-2x-3≤0}={x|-1≤x≤3},所以∁RB={x|x>3或x<-1},所以A∩(∁RB)={x|3<x<4}.
(3)4 解析:
因为S={1,2,3,4},∁SA={2,3},所以A={1,4},即1,4是方程x2-5x+m=0的两根,由根与系数的关系可得m=1×4=4.
课时作业
基础对点练(时间:
30分钟)
1.已知集合A={1,2,4},则集合B={(x,y)|x∈A,y∈A}中元素的个数为( )
(A)3 (B)6(C)8(D)9
答案:
D
2.若集合A={x∈R|ax2+ax+1=0}中只有一个元素,则实数a的值为( )
(A)4(B)2(C)0(D)0或4
答案:
A
3.已知集合A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)|y=x},则A∩B中元素的个数为( )
(A)3(B)2(C)1(D)0
B 解析:
A表示圆x2+y2=1上的点的集合,B表示直线y=x上的点的集合,直线y=x与圆x2+y2=1有两个交点,所以A∩B中元素的个数为2.
4.已知集合A={1,2,3},B={2,3},则( )
(A)A=B(B)A∩B=∅
(C)A
B(D)B
A
答案:
D
5.设集合A={1,4,2x},B={1,x2},若B⊆A,则x=( )
(A)0(B)-2
(C)0或-2(D)0或±2
答案:
C
6.设集合A={x|x>-1},B={x|x≥1},则“x∈A且x∉B”成立的充要条件是( )
(A)-1<x≤1(B)x≤1
(C)x>-1(D)-1<x<1
答案:
D
7.已知集合M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},P=M∩N,则P的子集共有( )
(A)2个(B)4个(C)6个(D)8个
B 解析:
因为M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},
所以M∩N={1,3}.
所以M∩N的子集共有22=4(个).故选B.
8.设集合A={x|-1<x<1},B={x|x(x-3)<0},则A∩B=( )
(A)(-1,0)(B)(0,1)(C)(-1,3)(D)(1,3)
B 解析:
A={x|-1<x<1},B={x|0<x<3},A∩B=(0,1).故选B.
9.已知集合A={x∈R||x+2|<3},集合B={x∈R|(x-m)(x-2)<0},且A∩B=(-1,n),则m=________,n=________.
解析:
A={x∈R||x+2|<3}={x∈R|-5<x<1},
由A∩B=(-1,n),可知m<2,
则B={x|m<x<2},
画出数轴,可得m=-1,n=1,
答案:
-1 1
10.已知集合A={1,3,
},B={1,m},A∪B=A,则m等于________.
解析:
由A∪B=A知B⊆A,则
m=3或m=
,即m=3或m=0或m=1.
又当m=1时不合题意,因此m=0或3.
答案:
0或3
能力提升练(时间:
15分钟)
11.已知集合M={x|x2-2x<0},N={x|x<a},若M⊆N,则实数a的取值范围是( )
(A)[2,+∞)(B)(2,+∞)
(C)(-∞,0)(D)(-∞,0]
A 解析:
M={x|x2-2x<0}={x|0<x<2},因为M⊆N,所以a≥2.
12.设集合A={3,log2(a-2)},B={a,a+b},若A∩B={1},则b的值为( )
(A)-3(B)3(C)1(D)-1
A 解析:
当A∩B={1}时,
log2(a-2)=1,a-2=2,a=4,
又∵a+b=1,b=-3.故选A.
13.设全集U=R,集合M={x|y=lg(x2-1)},N={x|0<x<2},则N∩(∁UM)=( )
(A){x|-2≤x<1}(B){x|0<x≤1}
(C){x|-1≤x≤1}(D){x|x<1}
B 解析:
M={x|x<-1或x>1},∁UM={x|-1≤x≤1},N∩(∁UM)={x|0<x≤1},故选B.
14.已知集合A={x|x3-3x2+2x=0},B={1,m}.若A∩B=B,则实数m的值是( )
(A)0(B)0或2
(C)2(D)0或1或2
B 解析:
A={x|x3-3x2+2x=0}={0,1,2},又因为A∩B=B可得B⊆A,所以m可取值为0或2,故选B.
15.设集合A={x||2x-3|≤7},B={x|m+1≤x≤2m-1},若A∪B=A,则实数m的取值范围是________.
解析:
由A中的不等式解得:
-7≤2x-3≤7,解得:
-2≤x≤5,即A=[-2,5];当B=∅时,m+1>2m-1,即m<2,当B≠∅时,∵B=[m+1,2m-1],A∪B=A,
∴
,解得:
2≤m≤3,综上,m的取值范围为(-∞,3].
答案:
(-∞,3]
16.某校高三
(1)班50个学生选择选修模块课程,他们在A,B,C三个模块中进行选择,且至少需要选择1个模块,具体模块选择的情况如下表:
模块
模块选择的学生人数
模块
模块选择的
学生人数
A
28
A与B
11
B
26
A与C
12
C
26
B与C
13
则三个模块都选择的学生人数是________.
解析:
设三个模块都选择的学生人数为x,
则各部分人数如图所示,
则有(1+x)+(5+x)+(2+x)+(12-x)+(13-x)+(11-x)+x=50,
解得x=6.
答案:
6