香农采样定理.docx

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香农采样定理

采样定理，又称香农采样定理，奈奎斯特采样定理，是信息论，特别是通讯与信号处理学科中的一个重要基本结论.E.T.Whittaker（1915年发表的统计理论）,克劳德•香农与HarryNyquist都对它作出了重要贡献。

另外,V.A.Kotelnikov也对这个定理做了重要贡献。

采样是将一个信号（即时间或空间上的连续函数）转换成一个数值序列（即时间或空间上的离散函数）。

采样定理指出，

如果信号是带限的，并且采样频率高于信号带宽的一倍，那么，原来的连续信号可以从采样样本中完全重建出来。

带限信号变换的快慢受到它的最高频率分量的限制，也就是说它的离散时刻采样表现信号细节的能力是有限的。

采样定理是指，如果信号带宽小于奈奎斯特频率（即采样频率的二分之一），那么此时这些离散的采样点能够完全表示原信号。

高于或处于奈奎斯特频率的频率分量会导致混叠现象。

大多数应用都要求避免混叠，混叠问题的严重程度与这些混叠频率分量的相对强度有关。

采样简介

从信号处理的角度来看，此采样定理描述了两个过程：

其一是采样，这一过程将连续时间信号转换为离散时间信号；其二是信号的重建，这一过程离散信号还原成连续信号。

连续信号在时间（或空间）上以某种方式变化着，而采样过程则是在时间（或空间）上，以T为单位间隔来测量连续信号的值。

T称为采样间隔。

在实际中，如果信号是时间的函数，通常他们的采样间隔都很小，一般在毫秒、微秒的量级。

采样过程产生一系列的数字，称为样本。

样本代表了原来地信号。

每一个样本都对应着测量这一样本的特定时间点，而采样间隔的倒数，1/T即为采样频率，fs，其单位为样本/秒，即赫兹（hertz）。

信号的重建是对样本进行插值的过程，即，从离散的样本x[n]中，用数学的

方法确定连续信号x（t）。

从采样定理中，我们可以得出以下结论：

如果已知信号的最高频率fH，采样定理给出了保证完全重建信号的最低采样频率。

这一最低采样频率称为临界频率或奈奎斯特频率，通常表

示为fN

.相反，如果已知采样频率，采样定理给出了保证完全重建信号所允许的最咼信号频率。

以上两种情况都说明，被采样的信号必须是带限的，即信号中高于某一给定值的频率成分必须是零，或至少非常接近于零，这样在重建信号中这些频率成分的影响可忽略不计。

在第一种情况下，被采样信号的频

率成分已知，比如声音信号，由人类发出的声音信号中，频率超过5kHz

的成分通常非常小，因此以10kHz的频率来采样这样的音频信号就足够了。

在第二种情况下，我们得假设信号中频率高于米样频率一半的频率成分可忽略不计。

这通常是用一个低通滤波器来实现的。

混叠

如果不能满足上述采样条件，采样后信号的频率就会重叠，即高于采样频率一半的频率成分将被重建成低于采样频率一半的信号。

这种频谱的重叠导致的失真称为混叠，而重建出来的信号称为原信号的混叠替身，因为这两个信号有同样的样本值。

一个频率正好是采样频率一半的弦波信号，通常会混叠成另一相同频率的波弦信号，但它的相位和振幅改变了

以下两种措施可避免混叠的发生:

1.提高采样频率，使之达到最高信号频率的两倍以上；

2.引入低通滤波器或提高低通滤波器的参数；该低通滤波器通常称为抗混叠滤波器

抗混叠滤波器可限制信号的带宽，使之满足采样定理的条件。

从理论上来说，这是可行的，但是在实际情况中是不可能做到的。

因为滤波器不可能完全滤除奈奎斯特频率之上的信号，所以，采样定理要求的带宽之外总有一些“小的”能量。

不过抗混叠滤波器可使这些能量足够小，以至可忽略不计。

减采样

当一个信号被减采样时，必须满足采样定理以避免混叠。

为了满足采样定理的要求，信号在进行减采样操作前，必须通过一个具有适当截止频率的低通滤波器。

这个用于避免混叠的低通滤波器，称为抗混叠滤波器。

［编辑］參考資料

«E.T.Whittaker,"OntheFunctionsWhichareRepresentedbytheExpansionsoftheInterpolationTheory,"Proc.RoyalSoc.Edinburgh,Sec.A,vol.35,pp.181-194,1915

«H.Nyquist,"Certaintopicsintelegraphtransmissiontheory,"Trans.AIEE,vol.47,pp.617-644,Apr.1928.

«V.A.KoteInikov,"Onthecarryingcapacityoftheetherandwireintelecommunications,"MaterialfortheFirstAll-UnionConferenceonQuestionsofCommunication,Izd.Red.Upr.SvyaziRKKA,Moscow,1933（Russian）.

«C.E.Shannon"Communicationinthepreseneeofnoise"Proc.InstituteofRadioEngineers,vol.37,no.1,pp.10-21,Jan.1949.

光学基础知识：

摄影镜头调制传输函数MTF解读

镜头是摄影师和摄影爱好者投资最高的设备之一，也是决定拍摄质量的最重要的因素。

因此，镜头的质量，历来受到极大的重视。

我们当然会很关心摄影镜头的测量方法。

摄影的最终产品是照片，所以，根据拍摄照片的质量来评价镜头质量，这是我们最先想到的，也是最基本的测试镜头的方法。

实拍照片评价镜头质量的优点是结果直截了当，根据效果判断，比较放心。

不过决定照片质量的客观因素很多，而一张照片的“好”与“坏”又需要人的主观判断，很难通过测量得出客观的定量结果。

大量的事实表明，影响拍摄质量最重要的因素是镜头的分辨率和反差。

反差大小可以通过仪器很容易测量，而分辨率就不那么容易了！

现在我们经常采用拍摄标准分辨率板的方法测量镜头的分辨率。

将拍摄了标准分辨率板的底片放到显微镜下人工判读，看最高能够分辩多少线条密度。

分辨率的单位是线对/毫米

（lp/mm），一黑一白两条线算是一个线对，每毫米能够分辩出的线对数就是分辨率的数值。

由于这种方法还是要受到胶片分辨率的客观影响和人工判读的主观影响，所以并不是最准确最理想的方法。

现在，让我们从另一个角度出发，将镜头看作一个信息传递系统：

被拍摄景物反射出来的光线是它的输入信息，而胶片上的成像就是它的输出信息。

一个优

秀的镜头意味着它的输出的像忠实的再现了输入方景物的特性。

喜欢音响的朋友都知道，高保真放大器的输出，应当准确地再现输入信号（图1）。

当输入端输入频率变化而幅度不变的正弦信号时，输出正弦波信号幅度的变化反映了放大器的

类似的方法也可以用来描述镜头的特性。

由数学证明可知，任何周期性图形都可以分解成亮度按正弦变化的图形的叠加，而任何非周期图形又可以看作是周期图形片断的组合。

因此，研究镜头对正弦变化的图形的反映，就可以研究镜头的性能！

亮度按正弦变化的周期图形叫做“正弦光栅”。

为了描述正弦光栅的线条密度，我们引入了“空间频率”的概念。

一般正弦波的频率指单位时间（每秒钟）正弦波的周期数，对应的，正弦光栅的空间频率就是单位长度（每毫米）的亮度按照正弦变化的图形的周期数。

典型的正弦光栅如图3所示。

相邻的两个最大值的距离是正弦光栅的空间周期，单位是毫米。

空间周期的倒数就是空间频率（SpatialFrequency），单位是线对/毫米（lp/mm,linepairs/mm）。

正弦光栅最亮处与最暗处的差别，反映了图形的反差（对比度）。

设最大亮度为Imax，最小亮度为Imin，我们用调制度（Modulation）表示反差的大小。

调制度M定义如下：

M=（Imax－Imin）/（Imax＋Imin）

很明显，调制度介于0和1之间。

调制度越大，意味着反差越大。

当最大亮度与最小亮度完全相等时，反差完全消失，这时的调制度等于0。

我们将正弦光栅置于镜头前方、在镜头成像处测量像的调制度，发现当光栅空间频率很低时，像的调制度几乎等于正弦光栅的调制度；随着空间频率的提高，像的调制度逐渐单调下降；空间频率高到一定程度，像的调制度逐渐降低到0、完全失去了反差！

正弦信号通过镜头后，它的调制度的变化是正弦信号空间频率的函数，这个函数称为调制传递函数MTF（ModulationTransferFunction）。

对于原来调制度为M的正弦光栅，如果经过镜头到达像平面的像的调制度为M'，则MTF函数值

为：

MTF值=M'/M

可以看出，MTF值必定介于0和1之间，并且越接近1、镜头的性能越好！

如果镜头的MTF值等于1，镜头输出的调制度完全反映了输入正弦光栅的反差；而如果输入的正弦光栅的调制度是1，则输出图像的调制度正好等于MTF值！

所以，MTF函数代表了镜头在一定空间频率下的反差。

MTF综合反映了镜头的反差和分辨率特性，MTF是用仪器测量的，因而可以完全排除胶片等客观因素的影响和人工判读的主观因素影响，是目前最为客观最为准确的镜头评价方法。

MTF值不但受镜头像差影响，还要受到空间频率、光圈和像场大小三个变量的影响，所以一般绘制二维的MTF曲线时都是固定空间频率、光圈和像场三个变量中的两个、剩余一个作为横坐标，并且以MTF值作为纵坐标。

镜头是以光轴为中心的中心对称结构，像场中心各个方向的MTF值是相同的。

但是受到镜头像散的影响，在偏离中心的位置，沿切线方向的线条与沿径向方向的线条的MTF值往往是不同的！

我们将平行于直径的线条产生的MTF曲线称为弧矢曲线，标为S（sagittal），而将平行于切线的线条产生的MTF曲线称为子午曲线，标为M（meridional）。

这样，我们绘制的MTF曲线一般有两条：

空间频率很低时，MTF值趋于一个接近于1的固定值。

这个值实际就是镜头对大面积色块的反差，反映了镜头固有的反差值。

随着空间频率增高，MTF

值逐渐下降，直到趋于0。

人眼对反差为0.05的影像尚能分辩，而当反差低于0.02时就完全不能察觉了。

所以一般选定MTF值为0.03时的空间频率作为镜头的目视分辨率。

这样，通过MTF曲线的绘制，镜头的反差和目视分辨率就都成为可测量的了！

图5是MTF值随空间频率变化的情况，我们称之为“频幅曲线”。

图中，根据低频时的MTF值和MTF等于0.03时的空间频率，可以方便的得出镜头的反差和目视分辨率。

图6是三只不同镜头的MTF频幅曲线对比，曲线A（红色）低频端MTF值很高反映出它有很高的反差，而高频端MTF值较高反映出它的分辨率也不错，是一只综合性能较高的镜头。

曲线B（蓝色）在空间频率较低时表现出很高的MTF值，说明它有较好的反差；而在空间频率较高时MTF值很低，表明它的分辨率较差。

曲线C（绿色）在空间频率较低时MTF值并不高，说明它的反差较差；而在空间频率很高时它的MTF值下降较少，表明它的分辨率较高。

一般的，我们

可以比较MTF曲线下部包围的空间来大致判断镜头质量,MTF曲线包围的空间

大量产品测量的实际应用中，为了简化测量，往往只测出特定条件下像场中

特定点的MTF值，作为评价镜头的基本标准。

只要在特定条件下测量的MTF

值大于标准，就可以认为镜头是合格的。

我国国家标准GB9917-88中规定了摄影镜头在特定空间频率下评价成像质量的MTF标准，如下列表1、表2所示

表1135相机（36mm*24mm）摄影镜头的MTF标准

轴上0.60.3

全开

0.707y0.30.15

注：

y为0.5倍对角线长度。

表2120相机（56mm*54mm）摄影镜头的MTF标准

轴上0.550.3

注：

3为半视场角

在特定条件下测量的MTF值只要大于等于国家标准即为合格!

表3给出日本照相机光学仪器检测协会JCII于1976年颁布的MTF值对135照相机镜头进行简易评价标准。

注：

d为画幅对角线长度。

以上标准其实只规定了合格镜头MTF的最低限度，专业摄影人员和摄影爱好者对摄影镜头质量有着更高的要求。

为此，许多厂家公布了自己摄影镜头的MTF曲线供用户参考，有些独立测量机构也对市场上各种镜头的MTF进行了测试，公布了测试结果的MTF曲线。

为了便于了解镜头像场内的特性，这些曲线大多采用到像场中心的距离作为横坐标，我们称之为“场幅曲线”

图7是佳能公司公布的标准镜头EF50mm/F1.4USM的MTF曲线。

图中共有8条曲线，横坐标是测量点到像场中心的距离，单位是毫米。

纵坐标是MTF值。

粗线是空间频率为10线对/毫米的结果，细线是30线对/毫米的；黑色曲线是最大光圈（对于这个镜头是F1.4）的，蓝色曲线是光圈F8（—般是最佳光圈）的；实线是S曲线（弧矢曲线），虚线是M曲线（子午曲线）。

从图7的蓝色线条我们可以看出，代表反差的低频粗线很高，接近于1，说

明该镜头在F8的最佳光圈有着非常好的反差。

代表分辨率的细线也在0.86以

上，说明此光圈下分辨率极优。

蓝色曲线直到距离中心18毫米左右依然平直、

仅在边缘略有下降，说明该镜头像场内整个有着一致的特性，边角分辨率略有一点下降。

实线与虚线距离很近，反映出该镜头像散也很小。

黑色曲线反映出在

1.4的大光圈条件下，无论是反差（粗线）还是分辨率（细线）都有明显的下降，而且边缘下降更为厉害。

50mm

图7佳能EF50/1.4USM标准镜头的MTF曲线

表4图7的图例

这种MTF的“场幅曲线”是厂家或第三方提供的MTF曲线最常见的形式，通过对它的分析，可以了解镜头的主要光学特性，对镜头成像质量有全面综合了解。

一般的MTF图提供两组不同空间频率的场幅曲线，分别代表反差和分辨率：

低频选在MTF频幅曲线水平部分，反映镜头的反差特性；高频选在MTF频幅曲线下降比较陡峭的部分，反映镜头的分辨率特性。

现在将分析MTF曲线基本要领列举如下：

1、MTF曲线越高越好，越高说明镜头光学质量越好。

综合反差和分辨率来看，MTF曲线以下包含面积越大越好。

2、MTF曲线越平直越好，越平直越说明边缘与中间一致性好。

边缘严重下降说明边角反差与分辨率较低。

3、S曲线与M曲线越接近越好，两者距离较小反映出镜头像散较小。

4、低频（10线对/mm）曲线代表镜头反差特性。

这条曲线越高反映镜头反差大。

5、高频（30线对/mm）曲线代表镜头分辨率特性。

这条曲线越高反映镜头分辨率越高。

6、F8的曲线反映了镜头理想条件下的最佳性能。

这是任何严格的摄影师都非常看重的性能。

7、最大光圈的曲线反映了在镜头边界条件下至少应当达到的性能。

当你在金钱与超大口径之间折衷时，你必须将这个性能当作重要的考虑因素。

下面列出分析MTF曲线时应当注意的一些事情，这是初学者最容易出现的问题。

1、不要将不同焦距的镜头做横向对比。

长焦镜头像场的边缘只相当于广角镜头中心附近位置，因此对比长焦镜头边缘的MTF值，会得出广角镜头都是很差镜头的错误结论。

广角镜头尤其是超广角镜头边缘MTF值下降很多是正常的现象，对于这类镜头，我们必须对像场边缘的MTF值相当宽容。

2、不要将超大光圈（F1.4或F2.0）的镜头与普通镜头做横向对比。

普通镜头的“最大”光圈要比超大光圈镜头小一两挡或者更多，两者的“最大光圈”完全不可比！

更何况有些超大光圈镜头在设计时，还要为了照顾最大光圈时的效果而对其它性能做一点折衷！

因此，必须对超大光圈镜头最大光圈的MTF有所宽容。

3、不要将变焦镜头与定焦镜头横向对比。

与定焦镜头相比，变焦镜头结构复杂得多、设计时所要兼顾的因素也要多得多，因此有的特性不如定焦镜头是正常现象。

比如，S曲线和M曲线，对于变焦镜头来说，就不如定焦镜头那么近。

4、质优价高的高档镜头与普通廉价的经济型镜头也是不能直接对比的。

选购经济型镜头一般主要注重最优光圈（F8）的MTF特性，对最大光圈的效果心知肚明即可。

特别要注意的是：

经济型中长焦变焦镜头长焦端，即使F8时的“最佳光圈”，与优质镜头相比也有较大差异，选购时必须充分注意。

如果除了一般家庭摄影之外还想搞一些创作，购买这一类镜头需要三思而行。

总之，我们不能绝对的去看待MTF曲线，而是要根据我们的需求、成本、方便性等等诸因素综合考虑。

切忌在分析镜头MTF曲线时绝对化、一刀切，从而将我们引入歧途。

计算解像力的软件摄像头解像力/分辨率测试

相较过去运用肉眼检视测试图表，判断影像好坏的标准，太过于依赖人的主观意识。

但在传统时代，由于各国应用光学技术差距颇大，即使不用太过精细的检测也可以清楚的分别光学设备的良窳。

然而，现今各国之间技术交流频繁，昨日在美国研发出来的新科技，明日就可能在中国大陆、日本或台湾得到相对的应用。

技术的进步和交流拉近了各国甚至是各厂之间光学设备的差距，品质的好坏可以说是以『毫釐』来计算。

在这种情况下，依然仰赖人的主观感觉是不科学

（Mr.OH!

并非否定人的价值，少数光学业界的菁英，或者称为师傅级的手工高手，今日依然可以打造电脑设计所不能制作出的精品），在标准化的价值观下，

将测试程序和评鉴测试结果电脑化，实为立足业界标准之路。

日本CIPAISO12233标准解像力测试软件HYRes3.1

以解像力测试来说，日系和美系的标准同样根植于ISO12233之上。

可是

在应用上却有显着的不同，东西方文明本就存在着差异，何者好用耐用，其实也是因人而异的问题。

首先介绍日系的解像力检测软件HYRes3.1，这套软件是

CIPA日本相机工业协会制订的检测标准，协同Olympus公司共同开发，使

用上如同日本的产品一样，相当简单且一目了然。

HYRes3.1运作原理依据MTF，而非SFR;程式介面分成切割区（Trim）与测量区（Measure）两大部分，使用时须切割下解像力尺（如红框），电脑会自动检查尺上的临界点，再经由换算得出解像力线数。

程式和运作都非常简单，符合日式风范，不过，这种作法也有极限存在，本站推出2005年年鉴第

62页-Canon1DsMKII因其解像力本身已经超过ISO12233的临界点所以无法导出结果。

IMATEST1.2.5美系SFR解像力测试软件

美系的测试软件Imatest需要付费购买（$59美元），相对其功能也较为齐全

不同日本解像力软件『一翻两瞪眼』的快速设计，美系的解像力计算大多以SFR为基础，相对提供的资讯也更为完整复杂。

Imatest是近期以来发表相当不错的数字影像测试软件，涵盖了SFR、色彩、噪音以及兼用于印表机、扫描器等进行完整测试内容。

系统建立于知名的数学运算平台Matalab，可靠性相当

高，制图内容相当有深度，但对于一般网友来说可能稍嫌复杂了些。

这套软件并非提供给大众免费使用，『评估版』允许你有20张的测试环境，之后必须上网

註册，售价59美元。