世纪金榜高考数学文科全国通用一轮总复习练习42平面向量的基本定理含答案解析.docx
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世纪金榜高考数学文科全国通用一轮总复习练习42平面向量的基本定理含答案解析
课时提升作业二十六
平面向量的基本定理及向量坐标运算
（25分钟 50分）
一、选择题（每小题5分,共35分）
1.（2014·北京高考）已知向量a=（2,4）,b=（-1,1）,则2a-b= （ ）
A.（5,7）B.（5,9）C.（3,7）D.（3,9）
【解析】选A.2a-b=2（2,4）-（-1,1）=（5,7）.
2.在△ABC中,已知A（2,1）,B（0,2）,
=（1,-2）,则向量
= （ ）
A.（0,0）B.（2,2）
C.（-1,-1）D.（-3,-3）
【解析】选C.因为A（2,1）,B（0,2）,
所以
=（-2,1）.
又因为
=（1,-2）,
所以
=
+
=（-2,1）+（1,-2）=（-1,-1）.
【一题多解】选C.本题还可采用如下解法:
设C（x,y）,则
=（x,y-2）=（1,-2）,
所以x=1,y=0,即C（1,0）.
因为A（2,1）,所以
=（1,0）-（2,1）=（-1,-1）.
3.若向量a=（2,1）,b=（-2,3）,则以下向量中与向量2a+b共线的是 （ ）
A.（-5,2）B.（4,10）C.（10,4）D.（1,2）
【解析】选B.因为向量a=（2,1）,b=（-2,3）,所以2a+b=（2,5）.
又（4,10）=2（2,5）=2（2a+b）,所以B项与2a+b共线.
【加固训练】设向量a=（2,x-1）,b=（x+1,4）,则“x=3”是“a∥b”的 （ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.由a∥b,得8-（x-1）（x+1）=0,即x2-9=0.解得x=±3.所以x=3时,a∥b,而a∥b时,x还可以等于-3.故“x=3”是“a∥b”的充分不必要条件.
4.已知a=（1,1）,b=（-1,2）,c=（5,-1）,则c可用a与b表示为 （ ）
A.a+bB.2a+3bC.3a-2bD.2a-3b
【解题提示】用验证法.根据坐标运算逐一验证即可.
【解析】选C.因为a=（1,1）,b=（-1,2）,c=（5,-1）,
所以a+b=（0,3）≠c,
2a+3b=2（1,1）+3（-1,2）=（-1,8）≠c,
3a-2b=3（1,1）-2（-1,2）=（5,-1）=c,2a-3b=2（1,1）-3（-1,2）=（5,-4）≠c.
故选C.
【一题多解】解答本题还可采用如下解法.
选C.设c=xa+yb,
因为a=（1,1）,b=（-1,2）,c=（5,-1）,
所以
解得x=3,y=-2,
所以c=3a-2b.
5.（2016·淄博模拟）在△ABC中,点P在BC上,且
=2
点Q是AC的中点,若
=（4,3）,
=（1,5）,则
= （ ）
A.（-2,7）B.（-6,21）
C.（2,-7）D.（6,-21）
【解析】选B.由条件知,
=2
-
=2（1,5）-（4,3）=（-2,7）,
因为
=2
=（-4,14）,所以
=
+
=（-6,21）.
6.（2016·潍坊模拟）△ABC中,三内角A,B,C所对边长分别为a,b,c,若向量m=（a+c,b）,n=（b-a,c-a）,且m∥n,则角C的大小为 （ ）
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.由m∥n知（a+c）（c-a）-b（b-a）=0,
即a2+b2-c2=ab,又cosC=
=
.
0.
7.（2016·西安模拟）在△ABC中,点D在线段BC的延长线上,且
=3
点O在线段CD上（与点C,D不重合）,若
=x
+（1-x）
则x的取值范围是 （ ）
A.
B.
C.
D.
【解题指示】结合图形利用共线向量定理把x转化成参数（已知范围）的函数.
【解析】选D.如图.
依题意,设
=λ
其中1<λ<
则有
=
+
=
+λ
=
+λ（
-
）=（1-λ）
+λ
.
又
=x
+（1-x）
且
不共线,于是有x=1-λ∈
即x的取值范围是
.
【一题多解】本题还可采用如下解法:
选D.特殊情况法:
当点O在C处时,
=
又
=x
+（1-x）
所以x=0;
当点O在D处时,
=
=
+
=
+
=
+
（
-
）=-
+
又
=x
+（1-x）
所以x=-
.
结合选项易知选D.
二、填空题（每小题5分,共15分）
8.（2016·烟台模拟）已知向量a=（2,3）,b=（-1,2）,若ma+nb与a-2b共线,
则
= .
【解析】ma+nb=（2m,3m）+（-n,2n）=（2m-n,3m+2n）,a-2b=（2,3）-（-2,4）=（4,-1）.
由于ma+nb与a-2b共线,则有
=
.
所以n-2m=12m+8n,所以
=-
.
答案:
-
【加固训练】设O是坐标原点,已知
=（k,12）,
=（10,k）,
=（4,5）,若A,B,C三点共线,则实数k的值为 .
【解析】由题意得
=
-
=（k-4,7）,
=
-
=（6,k-5）,
所以（k-4）（k-5）=6×7,
k-4=7或k-4=-6,
即k=11或k=-2.
答案:
11或-2
9.（2016·枣庄模拟）在平面直角坐标系中,O为坐标原点,且满足
=
+
则
= .
【解题提示】利用已知条件转化为向量
的关系,确定点C位置后可解.
【解析】由已知得,3
=2
+
即
-
=2（
-
）,
即
=2
.如图所示:
故C为BA的靠A点的三等分点,因而
=
.
答案:
【一题多解】本题还可采用如下解法:
=
+
=
+
+
=
+
=
所以
=
.
答案:
10.已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为（1,0）,（0,1）,（2,1）,则其第四个顶点的坐标为 .
【解题提示】根据顶点的顺序分类讨论.
【解析】设A（1,0）,B（0,1）,C（2,1）,第四个顶点D（x,y）,
由题意,该平行四边形四个顶点的顺序不确定,讨论如下:
①若平行四边形为ABCD,则
=
.
因为
=（-1,1）,
=（2-x,1-y）,
所以
解得
即D（3,0）;
②若平行四边形为ABDC,则
=
.
因为
=（-1,1）,
=（x-2,y-1）,
所以
解得
即D（1,2）;
③若平行四边形为ACBD,则
=
.
因为
=（1,1）,
=（-x,1-y）,
所以
解得
即D（-1,0）.
答案:
（3,0）或（1,2）或（-1,0）
（20分钟 40分）
1.（5分）设e1,e2是平面内一组基向量,且a=e1+2e2,b=-e1+e2,若e1+e2=xa+yb,则x+2y= （ ）
A.
B.-
C.1D.0
【解析】选D.因为e1+e2=xa+yb.
a=e1+2e2,b=-e1+e2,
所以e1+e2=x（e1+2e2）+y（-e1+e2）
=（x-y）e1+（2x+y）e2.
由平面向量基本定理,得
所以
故x+2y=
+2×
=0.
2.（5分）已知A（7,1）、B（1,4）,直线y=
ax与线段AB交于C,且
=2
则实数a等于 .
【解题提示】设出点C坐标,利用
=2
得C点坐标后,代入直线方程可解a.
【解析】设C（x,y）,则
=（x-7,y-1）,
=（1-x,4-y）.
因为
=2
所以
解得
所以C（3,3）.
又C点在直线y=
ax上,
故3=
a,得a=2.
答案:
2
【加固训练】（2016·九江模拟）P={a|a=（-1,1）+m（1,2）,m∈R},Q={b|b=（1,-2）+
n（2,3）,n∈R}是两个向量集合,则P∩Q等于 .
【解析】P中,a=（-1+m,1+2m）,
Q中,b=（1+2n,-2+3n）.
则
得
此时a=b=（-13,-23）.
答案:
{（-13,-23）}
3.（5分）（2016·济宁模拟）设
=（1,-2）,
=（a,-1）,
=（-b,0）,a>0,b>0,O为坐标原点,若A,B,C三点共线,则
+
的最小值为 .
【解析】
=
-
=（a-1,1）,
=
-
=（-b-1,2）.因为A,B,C三点共线,所以
∥
.
所以2（a-1）-（-b-1）=0,所以2a+b=1.
所以
+
=
（2a+b）
=4+
+
≥4+2
=8.当且仅当
=
即b=
a=
时取等号.所以
+
的最小值是8.
答案:
8
4.（12分）已知a=（1,0）,b=（2,1）,
（1）当k为何值时,ka-b与a+2b共线.
（2）若
=2a+3b,
=a+mb,且A,B,C三点共线,求m的值.
【解析】
（1）ka-b=k（1,0）-（2,1）=（k-2,-1）,
a+2b=（1,0）+2（2,1）=（5,2）.
因为ka-b与a+2b共线,
所以2（k-2）-（-1）×5=0,
即2k-4+5=0,得k=-
.
（2）因为A,B,C三点共线,所以
∥
.所以存在实数λ,使得2a+3b=λ（a+mb）=λa+λmb,
又a与b不共线,
所以
解得m=
.
【加固训练】在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知向量a=（2,1）,A（1,0）,
B（cosθ,t）,
（1）若t=-
θ∈（0,π）,a∥
求θ的值.
（2）若a∥
求y=cos2θ-cosθ+t2的最小值.
【解析】
（1）因为
=（cosθ-1,t）,
又a∥
所以2t-cosθ+1=0.
所以cosθ-1=2t.
因为t=-
所以cosθ=
.
又因为θ∈（0,π）,所以θ=
.
（2）由
（1）可知t=
所以y=cos2θ-cosθ+
=
cos2θ-
cosθ+
=
+
=
-
所以当cosθ=
时,ymin=-
.
5.（13分）已知三点A（a,0）,B（0,b）,C（2,2）,其中a>0,b>0.
（1）若O是坐标原点,且四边形OACB
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