向量复习知识总结及相关题型研究.docx

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向量复习知识总结及相关题型研究

向量知识点归纳与常见题型总结

向量知识点归纳

1．与向量概念有关的问题

⑴向量不同于数量，数量是只有大小的量（称标量），而向量既有大小又有方向；数量可以比较大小，而向量不能比较大小，只有它的模才能比较大小.记号“

＞

”错了，而|

|＞|

|才有意义.

⑵有些向量与起点有关，有些向量与起点无关.由于一切向量有其共性（大小和方向），故我们只研究与起点无关的向量（既自由向量）.当遇到与起点有关向量时，可平移向量.

⑶平行向量（既共线向量）不一定相等，但相等向量一定是平行向量，既向量平行是向量相等的必要条件.

⑷单位向量是模为1的向量，其坐标表示为（

）,其中

、

满足

＝1（可用（cos

sin

）（0≤

≤2π）表示）.特别：

表示与

同向的单位向量。

例如：

向量

所在直线过

的内心（是

的角平分线所在直线）；

例1.O是平面上一个定点，A、B、C不共线，P满足

则点P的轨迹一定通过三角形的内心。

（变式）已知非零向量

与

满足（

+

）·

=0且

·

=

则△ABC为（）

A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形（06陕西）

⑸

的长度为0，是有方向的，并且方向是任意的，实数0仅仅是一个无方向的实数.

⑹有向线段是向量的一种表示方法，并不是说向量就是有向线段.

（7）相反向量（长度相等方向相反的向量叫做相反向量。

的相反向量是－

。

）

2．与向量运算有关的问题

⑴向量与向量相加，其和仍是一个向量.（三角形法则和平行四边形法则）

①当两个向量

和

不共线时，

的方向与

、

都不相同，且|

|＜|

|＋|

|；

②当两个向量

和

共线且同向时，

、

、

的方向都相同，且

；

③当向量

和

反向时，若|

|＞|

|，

与

方向相同，且|

|=|

|-|

|；

若|

|＜|

|时,

与

方向相同，且|

＋

|=|

|-|

|.

⑵向量与向量相减，其差仍是一个向量.向量减法的实质是加法的逆运算.

三角形法则适用于首尾相接的向量求和；平行四边形法则适用于共起点的向量求和。

例2：

P是三角形ABC内任一点，若

，则P一定在（）

A、

内部B、AC边所在的直线上C、AB边上D、BC边上

例3、若

，则△ABC是：

A.Rt△B.锐角△C.钝角△D.等腰Rt△

例4、已知向量

，求

的最大值。

分析：

通过向量的坐标运算，转化为函数（这里是三角）的最值问题，是通法。

解：

原式=

=

。

当且仅当

时，

有最大值

评析：

其实此类问题运用一个重要的向量不等式“

”就显得简洁明快。

原式

=

，但要注意等号成立的条件（向量同向）。

⑶围成一周（首尾相接）的向量（有向线段表示）的和为零向量.如，

（在△ABC中）

.（□ABCD中）

⑷判定两向量共线

共线向量定理对空间任意两个向量a、b（b≠0），a∥b

存在实数λ使a=λb．

⑸数量积的7个重要性质

①两向量的夹角为0≤

≤π..

<2>

（∵

=90°，

<3>在实数运算中

=0

=0或b=0.而在向量运算中

=

=

或

=

是错误的，故

或

是

=0的充分而不必要条件.

④当

与

同向时

=

（

=0,cos

=1）;

当

与

反向时，

=-

（

=π,cos

=-1），即

∥

的另一个充要条件是

.

当

为锐角时，

＞0，且

（

不同向）；

当

为钝角时，

＜0，且

（

不反向），

例5.如已知

，

，如果

与

的夹角为锐角，则

的取值范围是______（答：

或

且

）；

例6、已知

为相互垂直的单位向量，

，

。

且

与

的夹角为锐角，求实数

的取值范围。

分析：

由数量积的定义易得“

”，但要注意问题的等价性。

解：

由

与

的夹角为锐角，得

有

而当

即两向量同向共线时，有

得

此时其夹角不为锐角。

故

.

<5>

。

（因

）

<6>数量积不适合乘法结合律.如

（因为

与

共线，而

与

共线）

<7>数量积的消去律不成立.若

、

、

是非零向量且

并不能得到

这是因为向量不能作除数，即

是无意义的.

（6）向量b在

方向上的投影︱b︱cos

＝

（7）

和

是平面一组基底,则该平面任一向量

（

唯一）特别：

.

＝

则

是三点P、A、B共线的充要条件.注意：

起点相同，系数和是1。

基底一定不共线（三点共线的判断）

例7、已知等差数列｛an｝的前n项和为

，若

，且A、B、C三点共线（该直线不过点O），则S200＝（）

A．50B.51C.100D.101

例8下列条件中，能确定三点

不共线的是：

A．

B．

C．

D．

（8）①重心：

在

中，

为

的重心，

为

的重心；

例、设平面向量

、

、

的和

。

如果向量

、

、

，满足

，且

顺时针旋转

后与

同向，其中

，则（D）（06河南高考）

A．

B

C．

D．

②内心：

向量所在直线过

的内心

；（的角分线所在直线）

例、若

为

的边

的中点，

所在平面内有一点

，满足

，设

，则

的值为___（答：

2）；

例、若点

是

的外心，且

，则内角

为____（答：

）；

（9）线段的定比分公式P分

的比为

则

=

＞0内分;

＜0且

≠-1外分.

＝

;若λ＝1则

＝

（

+

）;设P（x,y）,P1（x1,y1）,P2（x2,y2）

则

;当p为中点有

说明：

特别注意各点的顺序，分子是起点至分点，分母是分点至终点，不能改变顺序和分子分母的位置。

例、已知A（4，-3），B（-2，6），点P在直线AB上，且

，则P点的坐标是（）（2，0），（6，-6）

（10）、点

按

平移得

则

＝

或

函数

按

平移得函数方程为：

说明：

（1）向量按向量平移，前后不变；

（11）：

已知

过

的直线与

交于点

则

分

所成的比是

若用此结论,以下两题将变得很简单.

例、已知有向线段

的起点P和终点Q的坐标分别是

，若直线

的方程是

，直线

与

的延长线相交,则

的取值范围是________.

解:

由

得

因为直线

与

的延长线相交,故

解得

变式:

已知点A（2,-1）,B（5,3）.若直线

与线段

相交,求

的范围.

提示:

由

得:

及直线过端点得

锐角三角形中有：

钝角三角形中有（C是钝角）：

例：

定义在R上的偶函数

，且在

上是减函数，

是锐角三角形的两个角，则（）

A、

B、

C、

D、

（12）向量的平行与垂直设a=

b=

，且b

0，则

a∥b

b=λa

.a

b（a

0）

a·b=0

.

向量常考题型与解题技巧

1、平面向量的综合问题

一般来说，夹角问题总是从数量积入手，长度问题则从模的运算性质开始（一般需先平方），而共线，共点问题多由数乘向量处理。

例．设平面向量

，若存在不同时为0的两个实数

及实数

，使

。

（1）求函数关系式

；

（2）若函数

在

是单调函数，求

的取值范围。

分析：

由数量积的坐标运算，不难得出

的解析式，含参数必引起讨论，运用“整体思想”可简化计算；

在

是单调函数，等价于“

或

在

上恒成立”。

解：

（1）

，

，又

即

由此得：

（2）

，又

是单调函数，

若

是增函数，则

，恒有

，

若

是减函数，则

，恒有

，这样的

不存在

综上

.

例、在

ABC中，

，

，又E点在BC边上，且满足3

，以A、B为焦点的双曲线经过C、E两点.求此双曲线的方程.

分析：

遇到的首要问题即“建系”和“向量语言”的解读。

深刻理解向量运算的几何意义，就显得万分重要了。

解:

以线段AB的中点O为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，

∴A（-1，0），B（1，0）

作CD⊥AB于D，由已知

，∴|

|cosA=

，即|

|=

，同理又∵

，∴|

|=

，

设双曲线的方程为

（a>0,b>0）,C（-

h）,E（x1,y1）

又∵3

，∴

又∵E、C两点在双曲线上，

∴

解答：

a2=

b2=

∴双曲线的方程为：

7x2-

=1.

例、（8分）已知

ABCD的顶点A（0，-9），B（2，6），C（4，5），求第四个顶点D的坐标．

解法一：

设D坐标为（x,y），对角线AC与BD的交点为O

∵点O为A、C中点，易得O（

），即O（2,-2）

又∵点O为B、D中点，则

，解得

，故D坐标为（2,－10）

解法二：

设D坐标为（x,y），依题意得，

而

，

，则

，

解得解得

，故D坐标为（2,－10）

二、向量问题的坐标解法

向量的坐标表示是将几何问题代数化，用坐标法解决向量问题思路清晰，操作简单方便，下举例说明。

例.设O在△ABC的内部且满足

，则△ABC的面积与△AOC的面积之比为（）

A.2B.

C.3D.

解：

如图1建立坐标系。

图1

设A（0，0），B（a，b），C（c，0），O（x，y），则

因为

即

所以

从而

例.四边形ABCD中，若

，求

。

解：

如图2建立坐标系。

图2

设

，则

代入已知条件得：

即

所以

例.设P为△ABC所在平面内一点，求

取最小值时P点的位置。

解：

设

则

（其中m为常数）

所以，当

即P为△ABC的重心时，

取得最小值。

例P为△ABC所在平面内一点。

求证：

证明：

如图3建立坐标系。

图3

设

，则

从而

三、平面向量数量积的六大热点问题

1、平行问题

这类题主要考查向量平行的充要条件：

若向量

，且

，则

。

2、垂直问题

这类问题主要考查两向量垂直的充要条件：

若向量

，则

。

3、求模问题

若

则

，或

，对于求模有时还运用平方法。

4、求夹角问题求夹角可用

解决。

5、求数量积

例.（2004浙江）已知平面上三点A、B、C满足

，则

的值等于___________。

解法1：

运用定义

以上三式相加，得所求为

解法2：

整体处理

由

即

得

，故填

。

解法3：

挖掘隐含

。

由平面上三点A，B，C构成以B为直角顶点的直角三角形，知

故

6、交汇问题

是指向量与立几、解几、数列、三角等的交汇题，创新题。

例.

（1）（2005上海）直角坐标平面xoy中，若定点A（1，2）与动点P（x，y）满足

，则点P的轨迹方程是___________________。

（2）（2005湖南）已知直线

与圆

相交于A、B两点，且

，则

___________。

解：

（1）由

，有

，即

故应填

（2）先由圆的几何性质，求得两向量的夹角是120°，则

故填

。

评注：

第

（2）小题关键是运用几