六年级数学二元一次方程组.docx

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六年级数学二元一次方程组

二元一次方程组

教学目标：

1、灵活运用代入消元法和加减消元法解解二元一次方程组。

2、会用二元一次方程组解决数学实际问题。

3、培养学生分析问题解决问题的能力，训练学生运用多种方法解题的能力，加强学生的数学逻辑思维。

教学重点：

1、灵活运用代入消元法和加减消元法解解二元一次方程组。

2、会用二元一次方程组解决实际问题。

 教学难点：

会用二元一次方程组解决实际问题。

 教学过程：

一、旧知铺垫，引入新知 

幻灯：

古老的“鸡兔同笼问题” “今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足。

问鸡、兔各几何？

” 

师：

同学们还记得有关鸡兔同笼的数学问题吗？

（记得）我们是用什么方法来解决这类问题的呢？

生：

假设法。

师：

除了假设法，还有其他的方法吗？

生：

用一元一次方程。

师：

很好，同学们说的都很正确。

今天我们就一起先来看一个中国古代的算术问题：

鸡兔同笼（PPT课件展示问题）。

用你们刚刚说到的两种方法来解答（学生自主完成，展示完成情况）

算术方法：

假设都是鸡一元一次方程：

设鸡有x只，则列方程得

35×2=70（条）2x+4（35-x）=94

94-70=24（条）2x+140-4x=94

4-2=2（条）2x=46

兔子的只数：

24÷2=12（只）鸡的只数：

x=23

鸡的只数：

35-12=23（只）兔子的只数：

24÷2=12（只）

师：

同学们非常棒！

除了这两种方法外，还有其他方法吗？

今天这节课我们就一起来探究。

（板书课题）

二、思维探索

（一）出示例1

展示例题：

例1：

今有鸡兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问鸡兔各几何？

师：

分析刚刚的数学问题，问题中要求什么呢？

生：

鸡和兔的只数各有几只。

（若学生想不到，教师要引导学生，要求的是两个未知数，能否设两个未知数列方程求解呢？

让学生自己设未知数，列方程）

师：

问题中要求两个未知量，我们不妨设这两个量分别为x和y，那我们可以得到哪些等量关系呢？

生：

鸡的只数+兔的只数=35只，可以得到x+y=35。

生：

鸡脚的只数+兔脚的只数=94只，则2x+4y=94。

师：

很正确。

则我们可以得到关于x和y的二元一次方程组。

x+y=35……①

2x+4y=94……②

师：

在上面的问题中，鸡、兔的只数必须同时满足①②两个方程。

把①②两个二元一次方程结合在一起，用花括号来连接。

我们也给它起个名字，叫什么好呢？

结合学生的回答，教师板书

定义：

含有两个未知数，并且未知数的指数都是1的方程，叫做二元一次方程。

把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。

师：

观察分析这个方程组，该怎样计算呢？

下面我们一起来研究一下二元一次方程组的解决方法。

（二）出示例2

展示例题：

例题2：

用代入消元法解方程组。

ｘ+ｙ＝7　……①　　

5ｘ＋6y＝39……②

师：

同学们知道什么是代入消元法吗？

（学生尝试回答教师总结）

生：

就是把①变为用x表示y，或者用y表示x：

ｘ=7-y；ｙ＝7-x；代入到②中。

总结：

将其中一个方程的某个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程，这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法。

师：

将y=7-x代入到方程②中：

5x＋6（7－ｘ）　＝39　……③

将x=7-y代入到方程②中：

5（7-y）＋6y　＝39　……③

同学们还记得一元一次方程的解法吗？

现在我们每个小组计算一个方程（两种代入方式分组计算），计算完成后说一下你们方程组的解，比较一下，答案会是一样的吗？

生：

是一样的。

（分析讲解完成后要求教师在黑板书板书整个的规范书写过程，并给学生强调，后面每一个例题都是这样要求）

小结：

1、代入消元法：

就是把一个方程中的未知数x用含另一个未知数y的式子来表示，代入到另一个方程中，这样就消去了未知数x，然后解出y，最后再求出x。

例题2：

用代入消元法解方程组。

2ｘ＋4ｙ＝16　……①　　　　

4ｘ＋9ｙ＝34　……②　　　

师：

观察分析，这个方程组和我们前面一个方程组有什么不一样的呢？

生：

x或y前面的系数都不是为1的。

师：

观察的非常仔细。

这题不能明显看出x和y的关系，我们可以尝试化简一下：

①式可以两边都除以2得到ｘ＋2ｙ＝8……③，这个时候x前面的系数就为1了，接下来的过程大家会做了吗？

生：

将这个式子③式变形为：

x=8-2y……④。

师：

很好。

现在我们可以将④式代入②式计算即可。

（学生自主完成，教师完整板书过程，检查学生的书写格式的正确性）

　（三）出示例3

展示例题：

例题3：

用加减消元法解方程组。

2ｘ-ｙ＝7　……①　　　　

3ｘ＋ｙ＝13　……②　

师：

观察分析，这个题用代入消元来解答，同学们应该都能很快求出方程的解来。

那么除了代入消元法外，还有别的方法吗？

这个题要求我们用加减消元法解方程组，什么叫做加减消元法呢？

所谓加减消元，就是把方程组中两个方程相加或相减，达到消去其中一个未知数的目的，是吗？

（是）

师：

再认真观察一下这两个方程，你还能发现什么呢？

（可以提示学生观察一下字母前面的数）

生：

y前面一个是正号，一个是负号，并且系数都是1。

师：

回答正确。

如果我们将两个方程相加，会发生什么呢？

生：

y可以抵消了。

师：

对，这样就可以达到我们消元的目的了，自己动手算一算吧。

（教师引导，学生自己尝试完成）

小结：

2、加减消元法：

就是把方程组中两个方程相加或相减，从而消去一个未知数。

展示例题：

例题3：

用加减消元法解方程组。

3ｘ+2ｙ＝18　……①　　　　

3ｘ＋ｙ＝15　……②　

师：

观察分析，你发现了什么？

生：

x前面的系数是相同的。

师：

非常好。

这个题目我们可以用什么方法求方程组的解呢？

生：

加减消元法。

生：

代入消元法。

师：

说的都是正确的。

因为x前面的系数是相同的，两个式子做减法，可以消去x，运用加减消元法求出方程的解；而②式y前面的系数是为1的，可以将②式转化为：

y=15-3x，用代入消元法计算。

（学生分为两组，一组使用一种方法计算，比一比，看谁先完成）

要求：

教师完整板书两种计算方法，格式规范

三、综合运用

展示例题：

例题4：

用加减消元法解方程组。

师：

观察题目，这个方程组用哪种方法好呢？

好，为什么好，不好，又是为什么呢？

谁能说一说？

生：

用代入消元法计算，因为系数都不是为1的，所以会得到一个分数形式，不利于计算，所以我觉得代入消元法解这个问题可能会比较复杂一些，所以我会选择加减消元法。

师：

说的非常好，你是一个很有想法的学生。

大家都同意他的想法吗？

（同意）既然同学们都同意这个想法，那么运用加减消元来解这个方程组，可是我们可以发现无论是x还是y，他们前面的系数都是不一样的，如何实现抵消呢？

是不是与我们前面两个方程组有不同的地方。

怎么样使某个未知数前面的数相等呢？

生：

可以用等式的性质。

师：

嗯，很好，怎么用呢？

生：

将两个方程组进行变形，使得某一个字母前面的数变为相同的。

师：

嗯，看来同学们都有自己的想法了，自己尝试试一试吧！

（学生先尝试变形，教师引导）

①×2，得：

2x+2y=10③

师：

好的，现在我们是不是把方程组都变成了这样的形式了，还有不有不同意见的？

①×4，得：

4x+4y=20……③

师：

很好。

现在我们尝试用加减消元试一试吧！

（学生自我完成后面的过程，分小组进行，比较计算结果）

第二题小题学生独立完成，指名演板，师评价小结

小结：

当方程组中两方程不具备直接相加减消元的特点时，则可用等式性质来改变方程组中方程的形式，即得到与原方程组同解的且某未知数前面的数相同的新的方程组，从而为加减消元法解方程组创造条件．

四、拓展训练

例5：

传说九头鸟有九头一尾，九尾鸟有九尾一头。

今有头580个，尾900个，问两种鸟各有多少只？

师：

分析问题，你发现了什么？

生：

问题中还是要求两个未知量。

师：

既然还是求两个量的值，我们还是可以用二元一次方程组来解决对吗？

（对）谁能帮我们找出问题中的两个等量关系呢？

生：

总头数=九头鸟数目×9+九尾鸟数目。

生：

总尾数=九头鸟数目+九尾鸟数目×9。

师：

非常好。

则我们可以设A存煤量为x,B为y，可以得到关于x和y的二元一次方程组为：

9x+y=580……①

x+9y=900……②

师：

观察分析这个方程组，用什么方法计算比较简便呢？

生：

代入消元法。

师：

自己尝试算一下吧！

一定不要忘了把所求的值代入到原问题中进行检验（学生自主完成计算过程）

②×9，得：

9x+81y=8100③

③－①,得：

81y-y=8100-580

80y=7520

y=94

将y=94代入①式得：

x=900-94×9=54

板书：

列二元一次方程组解应用题的一般步骤：

设：

设两个未知数表示问题中的未知量。

列：

找等量关系，列出方程组。

解：

解方程组，求出未知数的值。

验：

检验所求的值是否正确和符合题意。

答：

写出答案，作答。

例6：

妈妈给李红10元6角，让她买3千克香蕉和2千克苹果。

结果她把买的数量颠倒了，因而多花了0.7元，问香蕉和苹果每千克多少元？

师：

分析问题，找出问题中的等量关系呢？

把买的数量颠倒了是什么意思？

生：

3千克香蕉的钱数+2千克苹果的钱数=10.6元。

生：

2千克苹果的钱数+3千克香蕉的钱数=10.6+0.7元。

师：

非常好。

自己尝试设未知数，列出方程组并求解，告诉老师你们的结果。

（学生自主完成解答过程，请学生代表板书）

例7：

一条路从甲地到乙地是下坡，从乙地到丙地是平路，一人骑车以每小时12千米的速度下坡，而以每小时9千米的速度通过平地到丙地，共用了55分钟；回来时以每小时8千米的速度行至乙地，又以每小时4千米的速度行到甲地，共用了1.5小时。

问从甲地到丙地共有多少千米？

师：

题中的等量关系容易找到吗？

我们可以画图分析。

师：

现在你能找到等量关系吗？

生：

甲到乙下坡时间+乙到丙时间=55分钟

丙到乙时间+乙到甲上坡时间=1.5小时

师：

我们能尝试设未知数，列出方程组吗？

提示学生注意统一单位

生：

设甲到乙的路程为xkm,乙到丙的路程为ykm

（或写成分数形式）

师：

大家会解这样的方程组吗？

提示学生将方程两边同时乘分母的最小公倍数可去掉分母。

五、课堂小结