初中数学12345模型.docx

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初中数学12345模型

初中数学-12345模型

数学解题五境界

第一个境界：

正确解题．很多同学以为如果一道题目做错，订正一下，知道哪里错了，怎么做，就行了，其实这只是最低境界．

第二个境界：

一题多解．我们要养成的良好习惯是，不要满足于用一种做法和思路解题．一道题目做

完之后想一想还有没有其它方法，哪种方法更简单．对于最后的结果，是不是可以有其它的合理解释．

第三个境界：

多题一解．完成一道题目的分析后，尝试推而广之，或把其中的数字换成字母，或把一

些条件做一些改变，从这道题目延伸出去，探究与此相关的一类题目．

第四个境界：

发现定理．到了这个境界，可以自己发现一些结论或定理、规律。

这些结论、定理规律都是解题的有用工具。

解题高手都有自己的定理库．

第五个境界：

自己编题．解题的最高境界是能够编题。

不是所有的老师都具备编题的能力。

解题高手

拿到一道题目，会知道出题者的意图，会发现出题者的陷阱。

即便出题者粗心出现了一个错误，他也能够很快地纠正纠偏．

刘俊勇：

如果没有真正消化吸收为自己的东西，过一段时间就忘却了，真正弄清楚更重要，远胜于蜻蜓点水式浏览一遍．

一方面重视技巧，尤其是考试技巧学习技巧，另一方面回归数学本质，回归教育意义当我们听到一个技巧的时候，除了拿来使用之外，还需要去体会专家在思考、总结过程的数学思考，这个我觉得更加重要和有意义。

因为专家的本意也正是立足于思想的交流，而不是一招一式的传递，在本地方

的一些小型的培训中，我注意到活动中最最怕的就是坐在下面教师一直把自己当成听众、容器，同时，相当一部教师的都有简单的拿来主义和简单怀疑主义倾向，这个也特别可怕数学是思维的体操，没有绝技想拿冠军是不可能的。

以教材为主对大部分学生适用，但在我们这光靠教材

的知识点，中考想考满分概率为零。

学灵魂在于积累、创新、规纳而不是照搬的模仿和接受，要有自己数

学大格局，适合自己的就是最好的！

版块一引入问题

1．如图1-1，在3×3的网格中标出了∠1和∠2，则∠1＋∠2＝

图1-1图1-2

2．如图1-2，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD是BC边上的高，BD＝3，DC＝2，则AD的长为．

版块二“123”+“45”的来源

一般化结论：

若α+β=45︒则有

tanα=a-1，

a+1

tanβ=1（a>1），

a

当a=3时，则得到tanα=2tanβ=1（了解）

235

当a=2时，则得到tanα=1tanβ=1（重要）

23

当a=5时，则得到tanα=2tanβ=3（了解）;

257

当a=4时，则得到tanα=1tanβ=3（次重要）

45

【例1】（济南市中考题）如图2-1，∠AOB是放置在正方形网络中的一个角，则cos∠AOB的值是．

图2-1

【例2】（2015湖北十堰）如图2-2，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在AB，AD上，若CE=3，且∠ECF=45°，则CF的长为（）

A．2B．3C．510

3

图2-2

倍角与半角构造

D．105

3

当出现等腰三角形或翻折的背景问题时，解决策略“顶角⇔底角⇔顶角”解题依据“90︒

1

－顶角＝底角”．

2

如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC．

⑴若tan∠BCA=2，则tan∠BAC=．⑵若tan∠BAC=4，则tan∠ABC=．

3

【例3】如图2-3，已知正方形ABCD中，E为BC上一点．将正方形折叠起来，使点A和点E重合，

折痕为MN．若tan∠AEN=1，DC＋CE＝10．

3

⑴求△ANE的面积；⑵求sin∠ENB的值．

图2-3

【例4】如图2-4，已知正方形ABCD的边长为

，对角线AC、BD交于点O，点E在BC上，且CE=2BE，

过B点作BF⊥AE于点F，连接OF，则线段OF的长度为。

图2-4

【例5】（2011•武汉）如图2-5，PA为⊙O的切线，A为切点，过A作OP的垂线AB，垂足为点C，交⊙O于点B，延长BO与⊙O交于点D，与PA的延长线交于点E．

⑴求证：

PB为⊙O的切线；

⑵若tan∠ABE=

，求sin∠E．

图2-5

【例6】如图2-6，正方形ABCD中，点P是BC的中点，把△PAB沿着PA翻折得到△PAE,过C作

CF⊥DE交DE延长线于点F，若CF=2，则DF=．

图2-6

（2002•盐城）已知：

如图2-7，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，E为AC

上一点，点G在BE上，连接DG并延长交AE于F，若∠FGE＝45°．

⑴求证：

BD•BC＝BG•BE；⑵求证：

AG⊥BE；⑶若E为AC的中点，求EF：

FD的值．

【例7】（江苏省竞赛题）如图2-8，等腰Rt△ABC中，∠C=90︒，D为BC中点，将△ABC折叠，使

A点与D点重合，若EF为折痕，则sin∠BED的值为．

图2-8

【例8】（全国初中数学联赛试题）如图2-9，在正方形ABCD中，N是DC的中点，M是AD上异于D的

点，且∠NMB=∠MBC，则有tan∠ABM

图2-9

=．

【例9】（天津市竞赛试题）如图2-10，在梯形ABCD中，AD//BC，AD⊥CD，BC＝CD＝2AD，E是CD

上一点，∠ABE＝450，则tan∠AEB的值等于（）

A．3B．2C．5D．3

22

图2-10

【例10】如图2-11，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，BC=2AD，点E在对角线AC上，且AE=AB,连接

BE，tan∠ABE=2．若∠DAC=60°，CD=，则线段BE的长为．

图2-11

【例11】（2010•上海）如图2-12，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．半径为1的圆A与边AB相交于点D，与边AC相交于点E，连接DE并延长，与线段BC的延长线交于点P．

⑴若CE=2，BD=BC，求∠BPD的正切值；

⑵若tan∠BPD=

，设CE=x，△ABC的周长为y，求y关于x的函数关系式．

图2-12

【例12】如图2-13，在平面坐标系中，点A（3，0）,B（0，4）,点C在x轴的负半轴上，且∠OAB=2∠BCO，求点C的坐标．

图2-13

【例13】如图2-14，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线交直线BC于点E，交直线AB与点F，若AB=4，BE=3，则BF的长为．

图2-14

【例14】如图2-15，在矩形ABCD中，AB=10，BC=20，若在BC、BD上分别取一点M、N，使得MN+NC

的值最小，则这个最小值为．

图2-15

【例15】如图12-16，将矩形ABCD沿BE折叠，使得点C落在点G处，若DE=1，CE=2，BC=6，则AF

的长为．

图2-16

版块三12345拓展

若定义符号“2”表示正切值为2的锐角，其余类似，则

⑴．"2"+"1"=90︒,"3"+"1"=90︒；

23

⑵．"1"+"1"=45︒,"2"+"3"=135︒；

23

⑶．2="1"+45︒,"3"="1"45︒；

32

⑷．"1"+"1"="4","1"+"1"="3"；

223334

【例16】（202年泰州市中考题）如图3-7，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、

D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则tan∠APD的值是．

图3-7

【例17】如图3-8，二次函数y=x2-2x-3，D（,0），在第四象限的抛物线上存在点P，使线段AP与直线CD的夹角为45°，求点P的坐标．

图2-8

【例18】如图3-20，在边长为2正方形ABCD中，边CD上有一个动点，将△ADE沿AE翻折得△AEF，

连接BD，分别交AE、AF于点M，O，作∠BAF角平分线AN交BD于点N，若BN=3,则OE=．

图3-20

【例19】（盘锦2015）如图3-9-⑴，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3交x轴于A（﹣，0）和

B（5，0）两点，交y轴于点C，点D是线段OB上一动点，连接CD，将线段CD绕点D

顺时针旋转90°得到线段DE，过点E作直线l⊥x轴于H，过点C作CF⊥l于F．

⑴求抛物线解析式；y=-3（x+1）（x-5）

5

⑵如图3-9⑵，当点F恰好在抛物线上时，求线段OD的长；

⑶在⑵的条件下：

①连接DF，求tan∠FDE的值；

②试探究在直线l上，是否存在点G，使∠EDG=45°？

若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

版块四于特讲（解）题

20.如图，在正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上,DE=1DC，连接AE，将△ADE沿AE翻折，点

3

D落在点F处，点O是对角线BD的中点，连接OF并延长OF交CD于点G，连接BF，BG，则△BFG

的周长是．

DK=BG=2

DF=FG=DG,DF=FG=4,

DCCKDK62

DF=610,FG=210,BF=

55

2FH=

2DF=125,

5

C=12（

+10）．

△BFG5

CG=2,HG=3,

BG=2,BH=3

FH=35,FJ=6,FG=210

C=12（

+10）

555

△BFG5

我打算从四个方面讲解．临时拉了一个提纲：

一、角的拓展

“12345”主要是研究特殊角的大小．大家可以思考，你在这个图形，能够获得哪些角的大小？

图

（1）

图

（1）显然∠1与∠2两个角的正切值为1/3,

由"1"+"1"="3",因此可得∠1＋∠2正切值为3/4

334

从而可得∠BAF正切值为4/3（这是基于两个角互余，正切值互为倒数）；

不要以为这是高中知识．实际上就是同一个直角三角形中两个互余锐角的事情．

图

（2）

图

（2）由"1"+"1"="4"

223

，因此可得∠BAF（即顶角）一半的正切值为1/2．

从而可得∠ABF的正切值为2,由（

"2"+"1"=90︒），因此∠FBC的正切值为1/2

2

要知道，这些知识，写得慢，对于会的人，在头脑中盘算极快．本身，你要学会口算，自然得掌握一些基本功．

没有这样的基本功，你第一次听这样的讲座是非常累人的．

二、适度几何．

既然是几何问题，就尽可能挖掘其中的几何性质．

就这个图形中，有哪些几何性质可值得挖掘呢？

图（3）图（4）图（5）图（3）：

由于△ABM∽△EDM，因此MB＝2MD

由此可得MB＝2MD，进一步可得MO＝MD，即M是OD的中点．MB=3MD图（4）由于翻折，因此DN＝NF，且DF⊥AE．因此AE∥OG

图（5）考虑AE与DF垂直关系，且∠DAE的正切值为1/3．这样又可以得到一大片角的信息．

∠FDG的正切值为1/3，∠DGF的正切值为3

最最关健的还得到一个重要的几何信息：

E、G是边CD的三等分点！

图（6）如此一来，大家注意了没有：

OG与BG相当于光反射．

这是由于∠OGD与∠BGC的正切值均为3．

图（6）

镜面为CD,满足光反射，通常反向延长，得到在一条直线上．由上立马得到GB＝GP，这一点非常关键．因此要求△BFG的周长，就只要求BF＋FP的长．由此简化了原问题．

三、“2316模型”

其实，“12345”这些问题，在哈尔滨地区研究得最多．他们甚至研究到“2316模型”我也是刚刚不久，在与刘俊勇老师共同揣摩下，才自认为有点熟悉了所谓“2316模型”

所谓的“2316”模型，是指两个基本图形：

模型1．231；模型2．236

大家有没有注意，∠B＋∠C＝45°，就是纪博士今天讲解的内容．

对于“231模型”，仅仅了解这一点还是不够的．还要了解外围大三角形三边长之间的关系．而这并不是一件困难的事情．

即三边之比为5:

5:

，当然可以进一步约分．所谓的“236模型”是指这个图形．这里就不展开了．

四、发起总攻！

图（7）请大家看这个图形，△FBP就是标准的“231模型”．

图（7）

这是由于∠FBP的正切值为1/2，∠FPB的正切值为1/3．下面发起总攻！

BP＝12，占5份，一份是多少？

当然是12/5．在这种情况下，BF＋FP是多少份？

当然是“根10＋根5”份了，那么BF＋FP是多

少呢？

当然也就是△BFG周长＝BF＋FP＝12（

5

+5）！

21.已知一次函数的图像经过A（-2，-1）、B（1，3）两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D,求一次函数解析式，求tan∠OCD的值,求∠AOB的度数．

22.已知△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，点D是腰CA上一动点，过点C作CE垂直BD的延长线，垂足为E，

（1）如图

（1），若BD是AC的中线，求的值BD；

（2）如图

（2）若AD=1AC,求BD的

CEnCE

值．

23（2016•常州一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx-7与y轴交于点C，与x轴交于点B，抛物线y=ax2+bx+14a经过B、C两点，与x轴的正半轴交于另一点A，且OA：

OC＝2：

7．

（1）求抛物线的解析式；y=-1x2+9x-7

22

（2）点D为线段CB上一点，点P在对称轴右侧抛物线上，PD＝PB，当tan∠PDB＝2，求P点的坐标；

（3）在

（2）的条件下，点Q（7，m）在第四象限内，点R在对称轴右侧抛物线上，若以点P、D、

Q、

R为顶点的四边形为平行四边形，求点Q、R的坐标．

24．（2015•南通）已知抛物线y=x2-2mx+m2+m-1

m是常数）的顶点为P，直线l：

y＝x−1

⑴求证：

点P在直线l上；

⑵当m＝−3时，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，与直线l的另一个交点为Q，M是x

轴下方抛物线上的一点，∠ACM＝∠PAQ（如图），求点M的坐标；

⑶若以抛物线和直线l的两个交点及坐标原点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的m的值．

25．（2016新疆建设兵团第23题）如图，抛物线y=ax2+bx-3（a≠0）的顶点为E，该抛物线与x轴交于A、

B两点，与y轴交于点C，且BO=OC=3AO，直线y=-1x+1与y轴交于点D．

3

⑴求抛物线解析式；

⑵证明△DBO≌△EBC；

⑶在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC是等腰三角形？

若存在，请直接写出符合条件的P点坐标，若不存在，请说明理由．

刷子（吴小平）分享：

如图所示，作边长为3、4、5的直角三角形的内心O，过点O作三边的垂线，则有:

tan∠OAD=1,tan∠OBD=1,而∠OAD+∠OBD=45︒；

32

tan∠AOD=3,tan∠BOD=2,而∠AOD+∠BOD=135︒；

tan∠OAD=tan∠OAE=1,而tan∠BAC=3’

34

tan∠OBD=tan∠OBF=1,而tan∠ABC=4．

23

1.如图⑴，在△ABC中，∠ABC=90°，BC=BA，D是AC上一点，CE垂直BD，AF⊥BD．

⑴当CE=2BE，则DE:

CE的值为；

⑵如图⑵，过CD的中点作MN⊥AC分别交BC、CE于点N、O，若MO=NO=2，则△ABC的面积为．

2.如图，AB=AC,M为BC的中点，AM=BC，∠ABD=45°，∠DCB=90°，若AD=2015，那么BC的长为．

3.如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（-1,0）、（0,2），点C在第一象限，∠ABC=135°，

AC交y轴于点D，CD=3AD,反比例函数y=k的图像经过点C，则k的值为．

x

4.如图，正方形ABCD的边长为，对角线AC、BD交于点O，Q是BC延长线上一点,AQ交BD于点E，交CD点P，OQ交CD点E，若EF∥AC，则OF的长为．

5.如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标为（5,3），M的半径为，一束光线从点A（0,2）出发，

经过x轴上点P反射后，恰好与M相切，则点P的坐标为．

6.

如图，抛物线y=-x2+7x+2与直线y=1x+2交于C、D两点，其中点C在y轴上，点P是y轴右侧

22

抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交CD于点F,若存在点P，使得∠PCF=45°，则点P的坐标为．

7.如图，直线y=1x-2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=x2+bx+c过A、B两点，点C是

2

抛物线上一点，满足∠ABC=45°，则点C的坐标为．

8.如图，在△ABC中，BC=30，CA=40，AB=50，D、E是△ABC内两点，满足AD平分∠CAB，BE平分

∠CBA，DE∥AB，且DE=10，则△CDE的面积为

9.如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在BC上，连接AD，若∠CAD=∠B，tan∠DAB=3，BD=2,

4

则线段AC的长为．

10.如图，抛物线y=-x2+4x+5与x轴交于A、B两点，直线y=-3x+3与y轴交于点C，与x轴交于

4

点D，点P是第一象限的抛物线上一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD与点E,设点P的横坐标为m，若点E'是点E关于直线PC的对称点，是否存在点P使点E'落点落在y轴上？

若存在，请求出相应的点P坐标；若不存在，请说明理由．