高中数学教案学案离散型随机变量的均值与方差含习题答案与解析doc.docx

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高中数学教案学案离散型随机变量的均值与方差含习题答案与解析doc

高中数学教案学案离散型随机变量的均值与方差

学习目标：

1.理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念.2.能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题．

1．离散型随机变量的均值与方差

若离散型随机变量X的分布列为

X

x1

x2

…

xi

…

xn

P

p1

p2

…

pi

…

pn

（1）均值

称E（X）＝____________________________________为随机变量X的均值或___________，它反映了离散型随机变量取值的____________．

（2）方差

称D（X）＝__________________________为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E（X）的______________，其________________________为随机变量X的标准差．

2．均值与方差的性质

（1）E（aX＋b）＝____________.

（2）D（aX＋b）＝____________.（a，b为实数）

3．两点分布与二项分布的均值、方差

（1）若X服从两点分布，则E（X）＝____，D（X）＝_____________________________.

（2）若X～B（n，p），则E（X）＝______，D（X）＝____________.

1．若随机变量X的分布列如下表，则E（X）等于（　　）

X

0

1

2

3

4

5

P

2x

3x

7x

2x

3x

x

A.

B.

C.

D.

2．（2011·菏泽调研）已知随机变量X服从二项分布，且E（X）＝2.4，D（X）＝1.44，则二项分布的参数n，p的值为（　　）

A．n＝4，p＝0.6B．n＝6，p＝0.4

C．n＝8，p＝0.3D．n＝24，p＝0.1

3．（2010·全国）某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需要再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为（　　）

A．100B．200C．300D．400

4．（2011·浙江）某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为

，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的，记X为该毕业生得到面试的公司个数．若P（X＝0）＝

，则随机变量X的数学期望E（X）＝________.

5．（2011·杭州月考）随机变量ξ的分布列如下：

ξ

－1

0

1

P

a

b

c

其中a，b，c成等差数列．若E（ξ）＝

，则D（ξ）＝________.

考点一　离散型随机变量的期望与方差

例1

　袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个（n＝1,2,3,4）．现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号．

（1）求ξ的分布列、期望和方差；

（2）若η＝aξ＋b，E（η）＝1，D（η）＝11，试求a，b的值．

举一反三1　编号1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的个数是X.

（1）求随机变量X的分布列；

（2）求随机变量X的数学期望和方差．

考点二　二项分布的期望与方差

例2

　（2011·黄山模拟）A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验．每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效．若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组．设每只小白鼠服用A有效的概率为

，服用B有效的概率为

.

（1）求一个试验组为甲类组的概率；

（2）观察3个试验组，用ξ表示这3个试验组中甲类组的个数，求ξ的分布列和数学期望．

举一反三2　某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是

，遇到红灯时停留的时间都是2min.

（1）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；

（2）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间ξ的分布列及期望．

考点三　离散型随机变量期望与方差的应用

例3

　购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10000元的赔偿金．假定在一年度内有10000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10000元的概率为1－

.

（1）求一投保人在一年度内出险的概率p；

（2）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：

元）．

举一反三3　因冰雪灾害，某柑桔基地果林严重受损，为此有关专家提出两种拯救果树的方案，每种方案都需分两年实施．若实施方案一，预计第一年可以使柑桔产量恢复到灾前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别是0.3、0.3、0.4；第二年可以使柑桔产量为第一年产量的1.25倍、1.0倍的概率分别是0.5、0.5.若实施方案二，预计第一年可以使柑桔产量达到灾前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分别是0.2、0.3、0.5；第二年可以使柑桔产量为第一年产量的1.2倍、1.0倍的概率分别是0.4、0.6.实施每种方案第一年与第二年相互独立，令ξi（i＝1,2）表示方案i实施两年后柑桔产量达到灾前产量的倍数．

（1）写出ξ1、ξ2的分布列；

（2）实施哪种方案，两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大？

（3）不管哪种方案，如果实施两年后柑桔产量达不到、恰好达到、超过灾前产量，预计利润分别为10万元、15万元、20万元．问实施哪种方案的平均利润更大？

1．若η＝aξ＋b，则E（η）＝aE（ξ）＋b，D（η）＝a2D（ξ）．

2．若ξ～B（n，p），则E（ξ）＝np，D（ξ）＝np（1－p）．

3．求离散型随机变量的期望与方差的常用方法有：

（1）已知随机变量的分布列求它的期望、方差和标准差，可直接按定义（公式）求解；

（2）已知随机变量ξ的期望、方差，求ξ的线性函数η＝aξ＋b的期望、方差和标准差，可直接用ξ的期望、方差的性质求解；（3）如能分析所给随机变量，是服从常用的分布（如两点分布、二项分布等），可直接利用它们的期望、方差公式求解．

一、选择题（每小题5分，共25分）

1．（2011·福州质检）已知某一随机变量ξ的概率分布列如下，且E（ξ）＝6.3，则a的值为（　　）

ξ

4

a

9

P

0.5

0.1

b

A.5B．6C．7D．8

2．设ξ～B（n，p），若有E（ξ）＝12，D（ξ）＝4，则n、p的值分别为（　　）

A．18，

B．16，

C．20，

D．15，

3．随机变量X的分布列为

X

1

2

4

P

0.4

0.3

0.3

则E（5X＋4）等于（　　）

A．15B．11C．2.2D．2.3

4．设掷1枚骰子的点数为ξ，则（　　）

A．E（ξ）＝3.5，D（ξ）＝3.52B．E（ξ）＝3.5，D（ξ）＝

C．E（ξ）＝3.5，D（ξ）＝3.5D．E（ξ）＝3.5，D（ξ）＝

5．（2011·成都调研）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的对称轴在y轴的左侧，其中a、b、c∈{－3，－2，－1,0,1,2,3}，在这些抛物线中，记随机变量ξ为“|a－b|的取值”，则ξ的数学期望E（ξ）为（　　）

A.

B.

C.

D.

二、填空题（每小题4分，共12分）

6．（2011·上海）马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下表：

x

1

2

3

P（ξ＝x）

？

！

？

请小牛同学计算ξ的数学期望．尽管“！

”处完全无法看清，且两个“？

”处字迹模糊，但能断定这两个“？

”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E（ξ）＝____________.

7．（2011·泰安模拟）设离散型随机变量X的可能取值为1,2,3,4.P（X＝k）＝ak＋b（k＝1,2,3,4）．又X的均值E（X）＝3，则a＋b＝________.

8．两封信随机投入A、B、C三个空邮箱，则A邮箱的信件数X的数学期望E（X）＝________.

三、解答题（共38分）

9．（12分）（2011·江西）某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一次测试，以便确定工资级别．公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料．若4杯都选对，则月工资定为3500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2800元；否则月工资定为2100元．令X表示此人选对A饮料的杯数．假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．

（1）求X的分布列；

（2）求此员工月工资的期望．

10．（12分）（2011·山东）红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A、乙对B、丙对C各一盘．已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6,0.5，0.5.假设各盘比赛结果相互独立．

（1）求红队至少两名队员获胜的概率；

（2）用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望E（ξ）．

11．（14分）现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资十万元，一年后利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为

、

、

；已知乙项目的利润与产品价格的调整有关，在每次调整中，价格下降的概率都是p（0

（1）求ξ1、ξ2的概率分布和数学期望E（ξ1）、E（ξ2）；

（2）当E（ξ1）

教案学案68　离散型随机变量的均值与方差

1．

（1）x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn　数学期望　平均水平　

（2）

（xi－E（X））2pi　平均偏离程度　算术平方根

　2.

（1）aE（X）＋b　

（2）a2D（X）

3．

（1）p　p（1－p）　

（2）np　np（1－p）

1．C　2.B　3.B

4.

解析　由题意知P（X＝0）＝

（1－p）2＝

，∴p＝

.

随机变量X的分布列为：

X

0

1

2

3

P

E（X）＝0×

＋1×

＋2×

＋3×

＝

.

5.

课堂活动区

例1

　解题思路　要求期望，需先求出分布列，要求分布列，需先求随机变量取每个值的概率，而求概率离不开常见事件概率的计算方法．第

（2）小题注意性质E（aξ＋b）＝aE（ξ）＋b，D（aξ＋b）＝a2D（ξ）的应用．

解　

（1）ξ的分布列为

ξ

0

1

2

3

4

P

∴E（ξ）＝0×

＋1×

＋2×

＋3×

＋4×

＝1.5.

D（ξ）＝（0－1.5）2×

＋（1－1.5）2×

＋（2－1.5）2×

＋（3－1.5）2×

＋（4－1.5）2×

＝2.75.

（2）由D（η）＝a2D（ξ）