对数函数图象及其性质知识点及例题解析.docx
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对数函数图象及其性质知识点及例题解析
对数函数图象及其性质知识点及例题解析（总9页）
对数函数的图象及性质例题解析
题型一判断对数函数
【例1】函数f（x）＝（a2－a＋1）log（a＋1）x是对数函数，则实数a＝__________．
解析：
由a2－a＋1＝1，解得a＝0,1．又a＋1＞0，且a＋1≠1，∴a＝1．
【例1－1】下列函数中是对数函数的为__________．
（1）y＝loga
（a＞0，且a≠1）；
（2）y＝log2x＋2；（3）y＝8log2（x＋1）；
（4）y＝logx6（x＞0，且x≠1）；（5）y＝log6x．
解析：
序号
是否
理由
（1）
×
真数是
，不是自变量x
（2）
×
对数式后加2
（3）
×
真数为x＋1，不是x，且系数为8，不是1
（4）
×
底数是自变量x，不是常数
（5）
√
底数是6，真数是x
题型二底数对图象的影响
【例2】如图所示的曲线是对数函数y＝logax的图象．已知a从
，
，
，
中取值，则相应曲线C1，C2，C3，C4的a值依次为（ ）
A．
，
，
，
B．
，
，
，
C．
，
，
，
D．
，
，
，
解析：
由底数对对数函数图象的影响这一性质可知，C4的底数＜C3的底数＜C2的底数＜C1的底数．故相应于曲线C1，C2，C3，C4的底数依次是
，
，
，
．答案：
A
点技巧作直线y＝1，它与各曲线的交点的横坐标就是各对数的底数，由此判断各底数的大小．
题型三对数型函数的定义域的求解
（1）对数函数的定义域为（0，＋∞）．
（2）在求对数型函数的定义域时，要考虑到真数大于0，底数大于0，且不等于1．
若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等，在解答问题时需要保证各个方面都有意义．
（3）求函数的定义域应满足以下原则：
①分式中分母不等于零；
②偶次根式中被开方数大于或等于零；
③指数为零的幂的底数不等于零；
④对数的底数大于零且不等于1；
⑤对数的真数大于零，如果在一个函数中数条并存，求交集．
【例3】求下列函数的定义域．
（1）y＝log5（1－x）；
（2）y＝log（2x－1）（5x－4）；（3）
．
分析：
利用对数函数y＝logax（a＞0，且a≠1）的定义求解．
解：
（1）要使函数有意义，则1－x＞0，解得x＜1，故函数y＝log5（1－x）的定义域是{x|x＜1}．
（2）要使函数有意义，则
解得x＞
且x≠1，
故函数y＝log（2x－1）（5x－4）的定义域是
（1，＋∞）．
（3）要使函数有意义，则
解得
＜x≤1，
故函数
的定义域是
．
题型四对数型函数的值域的求解
方法一、充分利用函数的单调性和图象是求函数值域的常用方法．
方法二、对于形如y＝logaf（x）（a＞0，且a≠1）的复合函数，其值域的求解步骤如下：
①分解成y＝logau，u＝f（x）这两个函数；
②求f（x）的定义域；
③求u的取值范围；
④利用y＝logau的单调性求解．
方法三、对于函数y＝f（logax）（a＞0，且a≠1），可利用换元法，设logax＝t，则函数f（t）（t
R）的值域就是函数f（logax）（a＞0，且a≠1）的值域．
注意：
（1）若对数函数的底数是含字母的代数式（或单独一个字母），要考查其单调性，就必须对底数进行分类讨论．
（2）求对数函数的值域时，一定要注意定义域对它的影响．当对数函数中含有参数时，有时需讨论参数的取值范围．
【例4】求下列函数的值域：
（1）y＝log2（x2＋4）；
（2）y＝
．
解：
（1）∵x2＋4≥4，∴log2（x2＋4）≥log24＝2．
∴函数y＝log2（x2＋4）的值域为[2，＋∞）．
（2）设u＝3＋2x－x2，则u＝－（x－1）2＋4≤4．∵u＞0，∴0＜u≤4．
又y＝
在（0，＋∞）上为减函数，∴
≥－2．
∴函数y＝
的值域为[－2，＋∞）．
【例4－1】已知f（x）＝2＋log3x，x
[1,3]，求y＝[f（x）]2＋f（x2）的最大值及相应的x的值．
分析：
先确定y＝[f（x）]2＋f（x2）的定义域，然后转化成关于log3x的一个一元二次函数，利用一元二次函数求最值．
解：
∵f（x）＝2＋log3x，x
[1,3]，
∴y＝[f（x）]2＋f（x2）＝（log3x）2＋6log3x＋6且定义域为[1,3]．
令t＝log3x（x
[1,3]）．
∵t＝log3x在区间[1,3]上是增函数，∴0≤t≤1．
从而要求y＝[f（x）]2＋f（x2）在区间[1,3]上的最大值，只需求y＝t2＋6t＋6在区间[0,1]上的最大值即可．∵y＝t2＋6t＋6在[－3，＋∞）上是增函数，
∴当t＝1，即x＝3时，ymax＝1＋6＋6＝13．
综上可知，当x＝3时，y＝[f（x）]2＋f（x2）的最大值为13．
题型五对数函数的图象变换及定点问题
（1）与对数函数有关的函数图象过定点问题
对数函数y＝logax（a＞0，且a≠1）过定点（1,0），即对任意的a＞0，且a≠1都有loga1＝0．
这是解决与对数函数有关的函数图象问题的关键．
对于函数y＝b＋klogaf（x）（k，b均为常数，且k≠0），令f（x）＝1，解方程得x＝m，则该函数恒过定点（m，b）．方程f（x）＝0的解的个数等于该函数图象恒过定点的个数．
（2）对数函数的图象变换的问题
①函数y＝logax（a＞0，且a≠1）
函数y＝loga（x＋b）（a＞0，且a≠1）
②函数y＝logax（a＞0，且a≠1）
函数y＝logax＋b（a＞0，且a≠1）
③函数y＝logax（a＞0，且a≠1）
函数y＝loga|x|（a＞0，且a≠1）
④函数y＝logax（a＞0，且a≠1）
函数y＝|logax|（a＞0，且a≠1）
【例5】若函数y＝loga（x＋b）＋c（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点（3,2），则实数b，c的值分别为__________．
解析：
∵函数的图象恒过定点（3,2），
∴将（3,2）代入y＝loga（x＋b）＋c（a＞0，且a≠1），得2＝loga（3＋b）＋c．
又∵当a＞0，且a≠1时，loga1＝0恒成立，
∴c＝2．∴loga（3＋b）＝0．
∴b＝－2．答案：
－2,2
【例5－1】作出函数y＝|log2（x＋1）|＋2的图象．
解：
（第一步）作函数y＝log2x的图象，如图①；
（第二步）将函数y＝log2x的图象沿x轴向左平移1个单位长度，得函数y＝log2（x＋1）的图象，如图②；
（第三步）将函数y＝log2（x＋1）在x轴下方的图象作关于x轴的对称变换，得函数y＝|log2（x＋1）|的图象，如图③；
（第四步）将函数y＝|log2（x＋1）|的图象，沿y轴方向向上平移2个单位长度，便得到所求函数的图象，如图④．
题型六利用对数函数的单调性比较大小
两个对数式的大小比较有以下几种情况：
（1）底数相同，真数不同．
（2）底数不同，真数相同．
（3）底数不同，真数也不同．（4）对于多个对数式的大小比较
注意：
对于含有参数的两个对数值的大小比较，要注意对底数是否大于1进行分类讨论．
【例6】比较下列各组中两个值的大小．
（1），log32；
（2）log23，；（3）logaπ，．
分析：
（1）构造函数y＝log3x，利用其单调性比较；
（2）分别比较与0的大小；（3）分类讨论底数的取值范围．
解：
（1）因为函数y＝log3x在（0，＋∞）上是增函数，所以f＜f
（2）．所以＜log32．
（2）因为log23＞log21＝0，＜＝0，所以log23＞．
（3）当a＞1时，函数y＝logax在定义域上是增函数，则有logaπ＞；
当0＜a＜1时，函数y＝logax在定义域上是减函数，
则有logaπ＜．
综上所得，当a＞1时，logaπ＞；
当0＜a＜1时，logaπ＜．
【例6－1】若a2＞b＞a＞1，试比较
，
，logba，logab的大小．
分析：
利用对数函数的单调性或图象进行判断．
解：
∵b＞a＞1，∴0＜
＜1．∴
＜0，logab＞logaa＝1，logb1＜logba＜logbb，
即0＜logba＜1．
由于1＜
＜b，∴0＜
＜1．由logba－
＝
，
∵a2＞b＞1，∴
＞1．∴
＞0，即logba＞
．
∴logab＞logba＞
＞
．
题型七利用对数函数的单调性解不等式
常见的对数不等式有三种类型：
①形如logaf（x）＞logag（x）的不等式，借助函数y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论．
②形如logaf（x）＞b的不等式，应将b化为以a为对数的对数式的形式，再借助函数y＝logax的单调性求解．
③形如logaf（x）＞logbg（x）的不等式，基本方法是将不等式两边化为同底的两个对数值，利用对数函数的单调性来脱去对数符号，同时应保证真数大于零，取交集作为不等式的解集．
④形如f（logax）＞0的不等式，可用换元法（令t＝logax），先解f（t）＞0，得到t的取值范围．然后再解x的范围．
【例7】解下列不等式：
（1）
；
（2）logx（2x＋1）＞logx（3－x）．
解：
（1）由已知，得
解得0＜x＜2．故原不等式的解集是{x|0＜x＜2}．
（2）当x＞1时，有
解得1＜x＜3；
当0＜x＜1时，有
解得0＜x＜
．
所以原不等式的解集是
．
【例7－1】若
＜1，求a的取值范围．
解：
∵
＜1，∴－1＜
＜1，即
．
（1）∵当a＞1时，y＝logax为增函数，
∴
．∴a＞
，结合a＞1，可知a＞
．
（2）∵当0＜a＜1时，y＝logax为减函数，∴
．
∴a＜
，结合0＜a＜1，知0＜a＜
．
∴a的取值范围是
．
题型八对数型函数单调性的讨论
（1）解决与对数函数有关的函数的单调性问题的关键：
一是看底数是否大于1，当底数未明确给出时，则应对底数a是否大于1进行讨论；
二是运用复合法来判断其单调性；三是注意其定义域．
（2）关于形如y＝logaf（x）一类函数的单调性，有以下结论：
函数y＝logaf（x）的单调性与u＝f（x）（f（x）＞0）的单调性，当a＞1时相同，当0＜a＜1时相反．
【例8】求函数y＝log2（3－2x）的单调区间．
分析：
首先确定函数的定义域，函数y＝log2（3－2x）是由对数函数y＝log2u和一次函数u＝3－2x复合而成，求其单调区间或值域时，应从函数u＝3－2x的单调性、值域入手，并结合函数y＝log2u的单调性考虑．
解：
由3－2x＞0，解得函数y＝log2（3－2x）的定义域是
．
设u＝3－2x，x
，
∵u＝3－2x在
上是减函数，且y＝log2u在（0，＋∞）上单调递增，
∴函数y＝log2（3－2x）在
上是减函数．
∴函数y＝log2（3－2x）的单调减区间是
．
【例8-1】求函数y＝loga（a－ax）的单调区间．
解：
（1）若a＞1，则函数y＝logat递增，且函数t＝a－ax递减．
又∵a－ax＞0，即ax＜a，
∴x＜1．∴函数y＝loga（a－ax）在（－∞，1）上递减．
（2）若0＜a＜1，则函数y＝logat递减，且函数t＝a－ax递增．
又∵a－ax＞0，即ax＜a，∴x＞1．
∴函数y＝loga（a－ax）在（1，＋∞）上递减．
综上所述，函数y＝loga（a－ax）在其
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