高三数学一轮专题复习解三角形 专项练习解析版.docx
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高三数学一轮专题复习解三角形专项练习解析版
专题八《解三角形》专项练习
一.选择题(共8小题)
1.△ABC中,c,b=1,∠B,则△ABC的形状一定为( )
A.等腰直角三角形
B.直角三角形
C.等边三角形
D.等腰三角形或直角三角形
【解答】解:
△ABC中,因为,
由正弦定理,可得sinC,
故C或,
当C时,A,△ABC为直角三角形;
当C时,A,△ABC为等腰三角形;
综上,△ABC的形状一定为等腰三角形或直角三角形.
故选:
D.
2.在△ABC中,若AB,BC=4,,则△ABC的面积S=( )
A.3B.3C.6D.4
【解答】解:
∵AB,BC=4,,
∴由余弦定理AB2=AC2+BC2﹣2AC•BC•cosC,可得:
37=AC2+16﹣2×AC×4×(),整理可得:
AC2+4AC﹣21=0,
∴解得AC=3,或﹣7(舍去),
∴S△ABCAC•BC•sinC3.
故选:
A.
3.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知bsinAacosB=2bc,则A=( )
A.B.C.D.
【解答】解:
∵bsinAacosB=2bc,
∴由正弦定理可得:
sinBsinAsinAcosB=2sinBsinC,
∴sinBsinAsinAcosB=2sinBsinC=2sinB(sinAcosB+cosAsinB),
∴sinBsinA=2sinBcosAsinB,
又∵sinB≠0,
∴sinAcosA=2,
∴2sin(A)=2,可得A2kπ,k∈Z,
又A∈(0,π),
∴A.
故选:
C.
4.设a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边.已知cosC,bsinC=5csinA,则( )
A.5B.C.3D.
【解答】解:
∵bsinC=5csinA,
∴由正弦定理可得bc=5ca,即b=5a,
∵cosC,
∴由余弦定理可得:
c2=a2+25a2﹣2a•5a•18a2,
∴解得3.
故选:
C.
5.秦九韶是我国南宋时期的数学家,他的成就代表了中世纪世界数学发展的主流与最高水平.他在著作(数书九章)中叙述了已知三角形的三条边长a,b,c,求三角形面积的方法.其求法是:
“以小斜幂并大斜幂减中斜幂,余半之,自乘于上,以小斜幂乘大斜幂减上,余四约之,为实.一为从隅,开平方得积.”若把以上这段文字写成公式,即为.已知△ABC的三条边长为a=5,b=7,c=8,其面积为( )
A.10B.12C.D.
【解答】解:
将a=5,b=7,c=8代入中,得:
10.
故选:
C.
6.在△ABC中,BC=1,ccosA+acosC=2bcosB,△ABC的面积S,则AC等于( )
A.B.4C.3D.
【解答】解:
2bcosB=ccosA+acosC,
由正弦定理,得2sinBcosB=sinCcosA+sinAcosC,
∴2sinBcosB=sinB,
又sinB≠0,∴cosB,
∴B.
∵△ABC的面积SAB•BC•sinBAB×1,解得:
AB=4,
∴AC.
故选:
A.
7.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且BC边上的高为,则最大值为( )
A.2B.C.2D.4
【解答】解:
由已知可得:
a,可得2bcsinA=a2=b2+c2﹣2bccosA,
∴2sinA+2cosA=2sin2,当且仅当A时取等号.
故选:
C.
8.在锐角△ABC中,若,且sinC+cosC=2,则a+b的取值范围是( )
A.(6,2]B.(0,4]C.(2,4]D.(6,4]
【解答】解:
由sinC+cosC=2sin(C)=2,得C2kπ,k∈Z,
∵C∈(0,),∴C.
由正弦定理知,,
由余弦定理知,cosA,
∵,∴,化简整理得,b(c)=0,
∵b≠0,∴c,
由正弦定理,有4,∴a=4sinA,b=4sinB,
∵锐角△ABC,且C,∴A∈(0,),B∈(0,),解得A∈(,),
∴a+b=4(sinA+sinB)=4[sinA+sin()]=4(sinAcosAsinA)=4sin(A),
∵A∈(,),∴A∈(,),sin(A)∈(,1],
∴a+b的取值范围为(6,4].
故选:
D.
二.多选题(共4小题)
9.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,下列说法正确的有( )
A.a:
b:
c=sinA:
sinB:
sinCB.若sin2A=sin2B,则a=b
C.若sinA>sinB,则A>BD.
【解答】解:
对于A,由正弦定理,可得:
a:
b:
c=2RsinA:
2RsinB:
2RsinC=sinA:
sinB:
sinC,故正确;
对于B,由sin2A=sin2B,可得A=B,或2A+2B=π,即A=B,或A+B,∴a=b,或a2+b2=c2,故B错误;
对于C,在△ABC中,由正弦定理可得sinA>sinB⇔a>b⇔A>B,因此A>B是sinA>sinB的充要条件,正确;
对于D,由正弦定理,可得右边2R=左边,故正确.
故选:
ACD.
10.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(a+b):
(a+c):
(b+c)=9:
10:
11,则下
列结论正确的是( )
A.sinA:
sinB:
sinC=4:
5:
6
B.△ABC是钝角三角形
C.△ABC的最大内角是最小内角的2倍
D.若c=6,则△ABC外接圆半径为
【解答】解:
(a+b):
(a+c):
(b+c)=9:
10:
11,可设a+b=9t,a+c=10t,b+c=11t,
解得a=4t,b=5t,c=6t,t>0,
可得sinA:
sinB:
sinC=a:
b:
c=4:
5:
6,故A正确;
由c为最大边,可得cosC0,即C为锐角,故B错误;
由cosA,由cos2A=2cos2A﹣1=21cosC,
由2A,C∈(0,π),可得2A=C,故C正确;
若c=6,可得2R,△ABC外接圆半径为,故D正确.
故选:
ACD.
11.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且,下列四个命题中正确的是( )
A.△ABC为直角三角形
B.△ABC的面积为
C.
D.△ABC的周长为
【解答】解:
由正弦定理可得2,即b=2c,
因为A=2C,所以sinA=sin2C=2sinCcosC,
所以由正弦定理可得a=2ccosC,
由余弦定理可得a=2c•,可得2=2c•,
解得c2,可得c或(舍去),
所以b=2c,
对于A,因为a=2,b,c,
所以b2=a2+c2,可得B=90°,△ABC为直角三角形,故正确;
对于B,因为B=90°,
所以S△ABCac2,故正确;
对于C,因为B=90°,
所以C为锐角,可得cosC>0,故错误;
对于D,△ABC的周长为a+b+c=2,故正确.
故选:
ABD.
12.在△ABC中,,角B的平分线BD交AC于点D,且BD=3,则下列说法正确的是( )
A.若BC=6,则△ABC的面积为
B.若,
C.若BC=3BD,则
D.AB+BC的最小值为
【解答】解:
因为BD为B的平分线,B,
所以∠ABD=∠CBD,
对于A:
若BC=6,在△BCD中,由余弦定理得:
CD2=BD2+BC2﹣2BD•BC•cos9+36﹣18=27,
∴CD2+BD2=BC2,
∴BD⊥AC,
∴△ABC为等腰三角形,
∴AB=BC=6,
∴S△ABCAB×BC×sin9,故A正确;
对于B:
若∠C,在△ABD中,∠A,∠ABD,
由正弦定理得,
∴AD,故B正确;
对于C:
若BC=3BD,可得BC=9,
在△BCD中,由余弦定理得:
CD2=BD2+BC2﹣2BD•BC•cos9+81﹣2×3×963,∴CD,
由正弦定理得,∴sinC,
∴sinA=sin(C),
在△ABC中,由正弦定理得,
∴AC,∴AD,
∴,故C错误;
对于D:
设∠A=θ,则∠C−θ,∠BDCθ,
因为,所以,
,
故,
所以AB+BC,
令t,
所以AB+BC.
故AB+BC有最小值8时,为,故D错误.
故选:
AB.
三.填空题(共4小题)
13.已知△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,,则b= .
【解答】解:
∵,
∴sinB,sinA,
∴由正弦定理,可得:
b.
故答案为:
.
14.在△ABC中,内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若a=2,b=3,C=2A,则cos2C= .
【解答】解:
因为C=2A,所以B=π﹣A﹣C=π﹣3A,
由正弦定理可得,
因为sin3A=sin(A+2A)=sinAcos2A+cosAsin2A
=sinA(1﹣2sin2A)+2cos2AsinA
=sinA(1﹣2sin2A)+2(1﹣sin2A)sinA
=3sinA﹣4sin3A,
则,
因为C=2A∈(0,π),所以A∈(0,)
解得sinA,
故cos2A=1﹣2sin2A=1﹣2×()2,
则cos2C=cos4A=2cos22A﹣1=21,
故答案为:
.
15.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a2+b2+ab=c2,且△ABC的面积为,则ab最小值为 48 .
【解答】解:
∵a2+b2+ab=c2,
∴由余弦定理有,,
∴在△ABC中,,
∵△ABC的面积为,
∴,∴ab=4c,
∴a2+b2+ab=c2,
∴,
∴ab≥48,当且仅当a=b=4时取等号,
∴ab的最小值为48.
故答案为:
48.
16.如图所示,在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25m的建筑物CD,为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ,在山坡的A处测得∠DAC=15°,沿山坡前进50m到达B处,又测得∠DBC=45°,根据以上数据可得cosθ= 1 .
【解答】解:
∵∠DAC=15°,∠DBC=45°,∴∠ADB=30°,
在△ADB中,由正弦定理得:
,∴BD25(),
在△DBC中,CD=25,∠DBC=45°,BD=25(),由正弦定理,∴sin∠DCB,
∴sin(θ),∴cosθ.
故答案为:
.
四.解答题(共6小题)
17.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos2(A)+cosA.
(1)求A;
(2)若b﹣ca,证明:
△ABC是直角三角形.
【解答】解:
(1)∵cos2(A)+cosA=sin2A+cosA=1﹣cos2A+cosA,
∴cos2A﹣cosA0,解得cosA,
∵A∈(0,π),
∴A;
(2)证明:
∵b﹣ca,A,
∴由正弦定理可得sinB﹣sinCsinA,
∴sinB﹣sin(B)=sinBcosBsinBsinBcosB=sin(B),
∵B,B∈(,),
∴B,可得B,可得△ABC是直角三角形,得证.
18.已知△ABC的内角A,B,C所对边分别为a,b,c,b=2,4+c2﹣a2=﹣2c.
(1)求A的值;
(2)从①a=2sinB,②B两个条件中选一个作为已知条件,求sinC的值.
【解答】解:
(1)由b=2,4+c2﹣a2=﹣2c,得:
,
又因为0<A<π,
所以.………(6分)
(2)选择①作为已知条件.
在△ABC中,由,以及正弦定理,
得,解得,
由,得B为锐角,
所以,
因为在△ABC中,A+B+C=π,所以,所以.………(12分)
选择②作为已知条件,
因为在△ABC中,A+B+C=π,所以,所以.………(12分)
19.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,C=2B.
(1)求证:
bcosA=(2b