北京西城区高考一模试题数学文.docx

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北京西城区高考一模试题数学文

北京市西城区2010年抽样测试

高三数学试卷（文科）

本试卷分第I卷和第Ⅱ卷两部分，第I卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。

第I卷（选择题共40分）

一、选择题：

本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出

符合题目要求的一项．

1．设集合，下列结论正确的是

A．B．

C．D．

2．下面四个点中，在平面区域内的点是

A．B．

C．D．

3．设等差数列的前项和为，则等于

A．10B．12

C．15D．30

4．若，则下列结论正确的是

A．B．

C．D．

5．甲乙两名运动员在某项测试中的6次成绩如茎叶图所示，，至z分别表示甲乙两名

运动员这项测试成绩的平均数，，分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有

A．

B．

C．

D．

6．阅读右面程度框图，运行相应的程序，输出

的结果为

A．

B．

C．

D．

7．已知双曲线的左顶点为，右焦点为，为双曲线右支上一点，则的最小值为

A．B．

C．1D．0

8．如图，平面平面，=直线，A，C是内

不同的两点，是内不同的两点，且A，B，C

D直线，M，N分别是线段AB，CD的中点。

下列判断正确的是

A．当时，M，N两点不可能重合

B．当时，线段AB，CD在平面上

正投影的长度不可能相等

C．M，N两点可能重合，但此时直线AC与不可能相交

D．当AB与CD相交，直线AC平行于时，直线BD可以与相交

第II卷（非选择题共110分）

二、填空题：

本大题共6小题，每小题5分，共30分。

9．是虚数单位，=。

10．在边长为1的正方形ABCD内任取一点P，则点P到点A的距离小于1的概率为

。

11．已知，，的夹角为，则=。

12．已知，若，则。

13．在中，为钝角，，则角C=，=。

14．设函数的定义域为D，若存在非零数使得对于任意

有且，则称为M上的高调函数。

现给出下列命题：

①函数为R上的1高调函数；

②函数为R上的高调函数

③如果定义域为的函数为上高调函数，那么实数的取值范围是

其中正确的命题是。

（写出所有正确命题的序号）

三、解答题：

本大题共6小题，共80分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

15．（本小题满分12分）

一个盒子中装有4张卡片，每张卡片上写有1个数字，数字分别是1、2、3、4。

现从盒子中随机抽取卡片．

（I）若一次抽取3张卡片，求3张卡片上数字之和大于7的概率；

（II）若第一次抽1张卡片，放回后再抽取1张卡片，求两次抽取中至少一次抽到数字3的概率．

16．（本小题满分12分）

已知为锐角，且。

（I）求的值；

（II）求的值。

17．（本小题满分14分）

如图1，在三棱锥中，PA平面ABC，ACBC，D为侧棱PC上一点，

它的正（主）视图和侧（左）视图如图2所示．

（I）证明：

AD平面PBC；

（II）求三棱锥DABC的体积；

（III）在ACB的平分线上确定一点Q，使得PQ∥平面ABD，并求此时PQ的长

18．（本小题满分14分）

椭圆的离心率为，且过点。

（I）求椭圆C的方程；设直线与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，若直角三角形，求的值。

19．（本小题满分14分）

设数列为等比数列，数列满足=，，已知，其中。

求数列的首项和公比；

（I）当时，求；

（II）设为数列的前项和，若对于任意的正整数，都有，求实数的取值范围。

20．（本小题满分14分）

已知函数其中。

（I）若函数存在零点，求实数的取值范围；

（II）当时，求函数的单调区间；并确定此时是否存在最小值，如果存在，求出最小值，如果存在，请说明理由。

参考答案

一、选择题：

本大题共8小题，每小题5分，共40分.

1．C2．B3．C4．D5．B6．D7．A8．C

二、填空题：

本大题共6小题，每小题5分，共30分.

9．10．11．12．13．150°；14．②③

注：

两个空的填空题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分.

14题②③选对一个命题得两分，选出错误的命题即得零分.

三、解答题（本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.）

15．（本小题满分13分）

解：

（I）设A表示事件“抽取3张卡片上的数字之和大于7”，

任取三张卡片，三张卡片上的数字全部可能的结果是（1、2、3），（1、2、4），（1、3、4），（2、3、4）.………………………………………………………………2分

其中数字之和大于7的是（1、3、4），（2、3、4），……………………4分

所以………………………………………………………………6分

（II）设B表示事件“至少一次抽到3”，

第一次抽1张，放回后再抽取一张卡片的基本结果有：

（1、1）（1、2）（1、3）（1、4）（2、1）（2、2）（2、3）（2、4）（3、1）（3、2）（3、3）（3、4）（4、1）（4、2）（4、3）（4、4），其16个基本结果.………………………………………………8分

事件B包含的基本结果有（1、3）（2、3）（3、1）（3、2）（3、3）（3、4）（4、3），其7个基本结果.…………………………………………………………8分

所以所求事件的概率为……………………………………………12分

16．解：

（I）………………………………………………2分

所以

所以………………………………………………………………5分

（II）

……………………8分

因为

………………………………………………………10分

又为锐角，所以，

所以……………………………………12分

17．解：

（I）因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC，

又AC⊥BC，所以BC⊥平面PAC，………………2分

所以BC⊥AD.………………………………………3分

由三视图可得，在△PAC中，PA=AC=4，D为PC中点，

所以AD⊥PC，………………………………………2分

所以AD⊥平面PBC，……………………………5分

（II）由三视图可得BC=4，

由（I）知∠ADC=90°，BC⊥平面PAC，

又三棱锥D—ABC的体积即为三棱锥B—ADC的体积，…………7分

所以，所求三棱锥的体积…………9分

（III）取AB的中点O，连接CO并延长至Q，使得CQ=2CO，点Q即为所求.

因为O为CQ中点，所以PQ∥OD，

因为PQ平面ABD，OD平面ABD，

所以PQ∥平面ABD，……………………………………………………12分

连接AQ，BQ，四边形ACBQ的对角线互相平分，

所以ACBQ为平行四边形，所以AQ=4，又PA⊥平面ABC，

所以在直角△PAQ中，

……………………………………………14分

18．解：

（II）已知…………………………………………3分

所以，

又

所以椭圆C的方程为………………………………5分

（II）联立

消去y得………………………………6分

………………7分

设A，B两点的坐标分别为

（i）当∠AOB为直角时，

则，…………………………8分

因为∠AOB为直角，所以，…………9分

所以

所以……………………11分

（ii）当∠OAB或∠OBA为直角时，不妨设∠OAB为直角，

由直线l的斜率为1，可得直线OA的斜率为－1，

所以，………………………………………………12分

又…………………………………………………………13分

所以

………………………………14分

依题意

经检验，所求m值均符合题意，综上，

19．解：

（I）由已知…………………………2分

…………4分

所以数列……………………………………5分

（II）当

………………………①，

……………………②，…………6分

②－①得，…………………………7分

所以

……………………9分

（III）……………………10分

因为

注意到，当n为奇数时

所以最大值为，最小值为……………………12分

对于任意的正整数n都有，

所以

即所求实数m的取值范围是…………………………14分

20．解：

（I）设有零点，

所以…………………………3分

（II）…………5分

令

因为

……………………7分

此时，存在最小值.………………………………………………8分

的极小值为……………………………………9分

根据的单调性，在区间上的最小值为m，…………10分

解=0，得的零点为，

结合，

可得在区间…………………………11分

因为

并且

即………………………………………………………………13分

综上，在区间上的最小值为m，m<0，

所以，当m<0时存在最小值，最小值为m.…………………………14分