高中数学新人教版必修3教案第2章 212 系统抽样 含答案.docx
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高中数学新人教版必修3教案第2章212系统抽样含答案
2.1.2 系统抽样
1．记住系统抽样的方法和步骤．（重点）
2．会用系统抽样从总体中抽取样本．（难点）
3．能用系统抽样解决实际问题．（易错易混点）
[基础·初探]
教材整理1 系统抽样的概念
阅读教材P58上半部分内容，完成下列问题．
先将总体中的个体逐一编号，然后按号码顺序以一定的间隔k进行抽取，先从第一个间隔中随机地抽取一个号码，然后按此间隔逐个抽取即得到所需样本．
某影院有40排座位，每排有46个座位，一个报告会上坐满了听众，会后留下座号为20的所有听众进行座谈，这是运用了（ ）
A．抽签法 B．随机数表法
C．系统抽样法D．放回抽样法
【解析】 此抽样方法将座位分成40组，每组46个个体，会后留下座号为20的相当于第一组抽20号，以后各组抽取20＋46n，符合系统抽样特点．
【答案】 C
教材整理2 系统抽样的步骤
阅读教材P58下半部分内容，完成下列问题．
一般地，假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，我们可以按下列步骤进行系统抽样：
1．判断（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）总体个数较多时可以用系统抽样．（ ）
（2）系统抽样的过程中，每个个体被抽到的概率不相等．（ ）
（3）用系统抽样从N个个体中抽取一个容量为n的样本，要平均分成n段，每段各有
个号码．（ ）
【答案】
（1）√
（2）× （3）×
2．有20个同学，编号为1～20，现在从中抽取4人的作文卷进行调查，用系统抽样方法确定所抽的编号为（ ）
A．5,10,15,20B．2,6,10,14
C．2,4,6,8D．5,8,11,14
【解析】 将20分成4个组，每组5个号，间隔等距离为5.
【答案】 A
3．已知标有1～20号的小球20个，按下面方法抽样（按从小号到大号排序）：
（1）以编号2为起点，采用系统抽样抽取4个球，则这4个球的编号的平均值为________；
（2）以编号3为起点，采用系统抽样抽取4个球，则这4个球的编号的平均值为________．
【解析】 这20个小球分4组，每组5个，
（1）若以2号为起点，则另外三个球的编号依次为7,12,17，这4球编号平均值为
＝9.5.
（2）若以3号为起点，则另外三个球的编号依次为8,13,18，这4球编号平均值为
＝10.5.
【答案】
（1）9.5
（2）10.5
[小组合作型]
系统抽样的概念
（1）某商场欲通过检查部分发票及销售记录来快速估计每月的销售金额，采用如下方法：
从某本发票的存根中随机抽一张，如15号，然后按顺序将65号，115号，165号，…，发票上的销售金额组成一个调查样本．这种抽取样本的方法是（ ）
A．抽签法 B．随机数法
C．系统抽样法D．以上都不对
（2）为了解1200名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑采用系统抽样，则分段的间隔k＝________.
【精彩点拨】 解决此类问题的关键是根据系统抽样的概念及特征，抓住系统抽样适用的条件作出判断．
【尝试解答】
（1）上述抽样方法是将发票平均分成若干组，每组50张，从第一组抽出了15号，以后各组抽15＋50n（n∈N*）号，符合系统抽样的特点．
（2）根据样本容量为30，将1200名学生分为30段，每段人数即间隔k＝
＝40.
【答案】
（1）C
（2）40
判断一个抽样是否为系统抽样：
1首先看是否在抽样前知道总体是由什么组成，多少个个体，2再看是否将总体分成几个均衡的部分，并在每一个部分中进行简单随机抽样，3最后看是否等距抽样.
[再练一题]
1．下列抽样问题中最适合用系统抽样法抽样的是（ ）
A．从全班48名学生中随机抽取8人参加一项活动
B．一个城市有210家百货商店，其中大型商店20家，中型商店40家，小型商店150家．为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为21的样本
C．从参加模拟考试的1200名高中生中随机抽取100人分析试题作答情况
D．从参加模拟考试的1200名高中生中随机抽取10人了解某些情况
【解析】 A．总体容量较小，样本容量也较小，可采用抽签法；B.总体中的个体有明显的层次不适宜用系统抽样法；C.总体容量较大，样本容量也较大，可用系统抽样法；D.若总体容量较大，样本容量较小时可用随机数表法．
【答案】 C
系统抽样的方案设计
某校高中三年级的295名学生已经编号为1,2，…，295，为了了解学生的学习情况，要按1∶5的比例抽取一个样本，请用系统抽样的方法进行抽取，并写出过程．
【精彩点拨】 按1∶5的比例确定样本容量，再按系统抽样的步骤进行，关键是确定第1段的编号．
【尝试解答】 按照1∶5的比例抽取样本，则样本容量为
×295＝59.
抽样步骤是：
（1）编号：
按现有的号码；
（2）确定分段间隔k＝5，把295名同学分成59组，每组5人，第1组是编号为1～5的5名学生，第2组是编号为6～10的5名学生，依次下去，第59组是编号为291～295的5名学生；
（3）采用简单随机抽样的方法，从第一组5名学生中抽出一名学生，不妨设编号为l（1≤l≤5）；
（4）那么抽取的学生编号为l＋5k（k＝0,1,2，…，58），得到59个个体作为样本，如当l＝3时的样本编号为3,8,13，…，288,293.
当总体容量能被样本容量整除时，分段间隔k＝
；当用系统抽样抽取样本时，通常是将起始数s加上间隔k得到第2个个体编号s＋k，再加k得到第3个个体编号s＋2k，依次进行下去，直到获取整个样本.
[再练一题]
2．某班共有52人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本．已知3号、29号、42号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的学号是（ ）
A．10B．11
C．12D．16
【解析】 分段间隔k＝
＝13，可推出另一个同学的学号为16，故选D.
【答案】 D
[探究共研型]
系统抽样的特点
探究1 系统抽样有哪些特点？
【提示】
（1）系统抽样适用于总体容量较大，且个体之间无明显差异的情况；
（2）剔除多余的个体及第1段抽样用简单随机抽样的方法；
（3）系统抽样是等可能抽样，每个个体被抽到的可能性相等．
探究2 怎样判断一种抽样是否为系统抽样？
【提示】 判断一种抽样是否为系统抽样，关键有两点：
（1）是否在抽样前知道总体是由什么构成的，抽样的方法能否保证每个个体被抽到的机会均等；
（2）是否能将总体分成几个均衡的部分，在每个部分中是否能进行简单随机抽样．
探究3 在系统抽样中，N不一定能被n整除，那么系统抽样还公平吗？
【提示】 在系统抽样中，
（1）若N能被n整除，则将比值
作为分段间隔k.由于起始编号的抽取采用简单随机抽样的方法，因此每个个体被抽取的可能性是一样的．
（2）若N不能被n整除，则用简单随机抽样的方法从总体中剔除几个个体，使得总体中剩余的个体数能被n整除，再确定样本．因此每个个体被抽取的可能性还是一样的．
所以，系统抽样是公平的．
为了了解参加某种知识竞赛的1003名学生的成绩，抽取一个容量为50的样本，选用什么抽样方法比较恰当？
简述抽样过程．
【精彩点拨】
→
→
→
→
→
→
【尝试解答】
（1）随机地将这1003个个体编号为1,2,3，…，1003；
（2）利用简单随机抽样，先从总体中随机剔除3个个体，剩下的个体数1000能被样本容量50整除，然后将1000个个体重新编号为1,2,3，…，1000；
（3）将总体按编号顺序均分成50组，每组包括20个个体；
（4）在编号为1,2,3，…，20的第一组个体中，利用简单随机抽样抽取一个号码，比如是18；
（5）以18为起始号码，每间隔20抽取一个号码，这样得到一个容量为50的样本：
18,38,58，…，978,998.
当总体容量不能被样本容量整除时，可以先从总体中随机剔除几个个体，但要注意的是剔除过程必须是随机的，也就是总体中的每个个体被剔除的机会均等.剔除几个个体后使总体中剩余的个体数能被样本容量整除.
[再练一题]
3．从某厂生产的802辆轿车中抽取80辆测试某项性能．请用系统抽样方法进行抽样，并写出抽样过程．
【解】 第一步，先从802辆轿车中剔除2辆轿车（剔除方法可用随机数法）；
第二步，将余下的800辆轿车编号为1,2，…，800，并均匀分成80段，每段含k＝
＝10个个体；
第三步，从第1段即1,2，…，10这10个编号中，用简单随机抽样的方法抽取一个号（如5）作为起始号；
第四步，从5开始，再将编号为15,25，…，795的个体抽出，得到一个容量为80的样本．
1．为了了解参加某次知识竞赛的1252名学生的成绩，决定采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，那么从总体中应随机剔除的个体数目为（ ）
A．2 B．3
C．4 D．5
【解析】 因为1252＝50×25＋2，所以应随机剔除2个个体，故选A.
【答案】 A
2．为了了解某地参加计算机水平测试的5008名学生的成绩，从中抽取了200名学生的成绩进行统计分析，运用系统抽样方法抽取样本时，每组的容量为（ ）
A．24B．25
C．26D．28
【解析】 因为5008＝200×25＋8，所以选B.
【答案】 B
3．要从160名学生中抽取容量为20的样本，用系统抽样法将160名学生从1～160编号．按编号顺序平均分成20组（1～8号，9～16号，…，153～160号），若第16组应抽出的号码为125，则第一组中按此抽签方法确定的号码是
（ ）
A．7B．5
C．4D．3
【解析】 由系统抽样知第一组确定的号码是125－15×8＝5.
【答案】 B
4．在一个个体数目为2003的总体中，利用系统抽样抽取一个容量为100的样本，则总体中每个个体被抽到的机会为_________．
【解析】 因为采用系统抽样的方法从个体数目为2003的总体中抽取一个样本容量为100的样本，每个个体被抽到的可能性都相等，于是每个个体被抽到的机会都是
.
【答案】
5．中秋节，相关部门对某食品厂生产的303盒中秋月
饼进行质量检验，需要从中抽取10盒，请用系统抽样的方法完成对此样本的抽取．
【解】
（1）将303盒月饼用随机的方式编号；
（2）从总体中用简单随机抽样的方式剔除3盒月饼，将剩下的月饼重新用000～299编号，并等距分成10段；
（3）在第一段000,001,002，…，029这三十个编号中用简单随机抽样确定起始号码l；
（4）将编号为l，l＋30，l＋2×30，l＋3×30，…，l＋9×30的个体抽出，组成样本．
学业分层测评（十） 系统抽样
（建议用时：
45分钟）
[学业达标]
一、选择题
1．为了检查某城市汽车尾气排放执行情况，在该城市的主要干道上抽取车牌末尾数字为5的汽车检查，这种抽样方法为（ ）
A．抽签法 B．随机数表法
C．系统抽样法D．其他抽样
【解析】 根据系统抽样的概念可知，这种抽样方法是系统抽样．
【答案】 C
2．中央电视台“动画城节目”为了对本周的热心小观众给予奖励，要从已确定编号的一万名小观众中抽出十名幸运小观众．现采用系统抽样的方法抽取，每段容量为（ ）
A．10B．100
C．1000D．10000
【解析】 将10000个个体平均分成10段，每段取一个，故每段容量为1000.
【答案】 C
3．系统抽样又称为等距抽样，从N个个体中抽取n个个体为样本，抽样间距为k＝
（取整数部分），从第一段1,2，…，k个号码中随机抽取一个号码i0，则i0＋k，…，i0＋（n－1）k号码均被抽取构成样本，所以每个个体被抽取的可能性是（ ）
A．相等的B．不相等的
C．与i0有关D．与编号有关
【解析】 系统抽样是公平的，所以每个个体被抽到的可能性都相等，与i0编号无关，故选A.
【答案】 A
4．从编号为1～50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚进行发射实验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是（ ）
A．5,10,15,20,25B．3,13,23,33,43
C．1,2,3,4,5D．2,4,8,16,32
【解析】 据题意从50枚中抽取5枚，故分段间隔k＝
＝10，故只有B符合条件．
【答案】 B
5．从2004名学生中选取50名组成参观团，若采用下面的方法选取：
先利用简单随机抽样从2004人中剔除4人，剩下的2000人再按系统抽样的方法进行，则每人入选的机会（ ）
A．不全相等B．均不相等
C．都相等D．无法确定
【解析】 系统抽样是等可能的，每人入选的机率均为
.
【答案】 C
二、填空题
6．下列抽样中不是系统抽样的是________．
①从标有1～15号的15个球中，任选3个作样本，按从小号到大号排序，随机选起点i0（1≤i0≤5），以后选i0＋5，i0＋10号入选；
②工厂生产的产品，用传送带将产品送入包装车间前，检验人员从传送带上每隔五分钟抽一件产品进行检验；
③进行某一市场调查，规定在商场门口随机抽一个人进行询问调查，直到调查到事先规定的调查人数为止；
④在报告厅对与会听众进行调查，通知每排（每排人数相等）座位号为14的观众留下来座谈．
【解析】 选项③不是系统抽样，因事先不知道总体，抽样方法不能保证每个个体等可能入选，其余3个间隔都相同，符合系统抽样的特征．
【答案】 ③
7．某班有学生48人，现用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知座位号分别为6,30,42的同学都在样本中，那么样本中另一位同学的座位号应该是________.
【解析】 由题意，分段间隔k＝
＝12，所以6应该在第一组，所以第二组为6＋12＝18.
【答案】 18
8．已知某商场新进3000袋奶粉，为检查其三聚氰胺是否达标，现采用系统抽样的方法从中抽取150袋检查，若第1组抽出的号码是11，则第61组抽出的号码为________．
【解析】 分段间隔是
＝20，由于第1组抽出的号码为11，则第61组抽出的号码为11＋（61－1）×20＝1211.
【答案】 1211
三、解答题
9．为了了解某地区今年高一学生期末考试数学成绩，拟从参加考试的15000名学生的数学成绩中抽取容量为150的样本．请写出用系统抽样抽取的过程．
【解】
（1）对全体学生的数学成绩进行编号：
1,2,3，…，15000.
（2）分段：
由于样本容量与总体容量的比是1∶100，我们将总体平均分为150个部分，其中每一部分含100个个体．
（3）在第一部分，即1号到100号用简单随机抽样抽取一个号码，比如是56.
（4）以56作为起始数，然后顺次抽取156,256,356，…，14956，这样就得到一个样本容量为150的样本．
10．某校有2008名学生，从中抽取20人参加体检，试用系统抽样进行具体实施．
【解】
（1）将每个人随机编一个号由0001至2008；
（2）利用随机数表法找到8个号将这8名学生剔除；
（3）将剩余的2000名学生重新随机编号0001至2000；
（4）分段，取间隔k＝
＝100，将总体平均分为20段，每段含100个学生；
（5）从第一段即为0001号到0100号中随机抽取一个号l；
（6）按编号将l,100＋l,200＋l，…，1900＋l共20个号码选出，这20个号码所对应的学生组成样本．
[能力提升]
1．从2016名学生中选取50名学生参加数学竞赛，若采用下面方法选取：
先用简单随机抽样从2016人中剔除16人，剩下的2000人再按系统抽样的方法抽取50人，则在2016人中，每个人入选的机会（ ）
A．都相等，且为
B．不全相等
C．均不相等D．都相等，且为
【解析】 因为在系统抽样中，若所给的总体个数不能被样本容量整除，则要先剔除几个个体，本题要先剔除16人，然后再分组，在剔除过程中，每个个体被剔除的机会相等，所以每个个体被抽到包括两个过程，一是不被剔除，二是被选中，这两个过程是相互独立的，所以，每个人入选的机会都相等，且为
.
【答案】 A
2．将参加夏令营的600名学生编号为：
001,002，…，600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为（ ）
A．26,16,8 B．25,17,8
C．25,16,9D．24,17,9
【解析】 依题意及系统抽样的意义可知，将这600名学生按编号依次分成50组，每组有12名学生，第k（k∈N*）组抽中的号码是3＋12（k－1）．
令3＋12（k－1）≤300得k≤
，因此第Ⅰ营区被抽中的人数是25；
令300＜3＋12（k－1）≤495，得
＜k≤42，因此第Ⅱ营区被抽中的人数是42－25＝17.
从而第Ⅲ营区被抽中的人数是50－42＝8.
【答案】 B
3．采用系统抽样从含有8000个个体的总体（编号为0000,0001，…，7999）中抽取一个容量为50的样本，则最后一段的编号为________，已知最后一个入样编号是7894，则开头5个入样编号是________．
【解析】 因为8000÷50＝160，所以最后一段的编号为编号的最后160个编号．
从7840到7999共160个编号，从7840到7894共55个数，所以从0000到第55个编号应为0054，然后逐个加上160，得0214,0374,0534,0694.
【答案】 7840～7999 0054,0214,0374,0534,0694
4．下面给出某村委调查本村各户收入情况所作的抽样，阅读并回答问题：
本村人口：
1200人，户数300，每户平均人口数4人；
应抽户数：
30户；
抽样间隔：
＝40；
确定随机数字：
取一张人民币，编码的后两位数为12；
确定第一样本户：
编码的后两位数为12的户为第一样本户；
确定第二样本户：
12＋40＝52,52号为第二样本户；
……
（1）该村委采用了何种抽样方法？
（2）抽样过程中存在哪些问题，并修改．
（3）何处是用简单随机抽样．
【解】
（1）系统抽样．
（2）本题是对某村各户进行抽样，而不是对某村人口抽样，抽样间隔为：
＝10，其他步骤相应改为：
取一张人民币，编码的后两位数为02（或其他00～09中的一个），确定第一样本户：
编号为02的户为第一样本户；确定第二样本户：
02＋10＝12,12号为第二样本户，….
（3）确定随机数字用的是简单随机抽样即为取一张人民币，编码的后两位数为02.
（）
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