小学数学奥数基础教程三年级目30讲全.docx
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小学数学奥数基础教程三年级目30讲全
小学奥数基础教程（三年级）
第1讲加减法的巧算
第2讲横式数字谜
（一）
第3讲竖式数字谜
（一）
第4讲竖式数字谜
（二）
第5讲找规律
（一）
第6讲找规律
（二）
第7讲加减法应用题
第8讲乘除法应用题
第9讲平均数
第10讲植树问题
第11讲巧数图形
第12讲巧求周长
第13讲火柴棍游戏
（一）
第14讲火柴棍游戏
（二）
第15讲趣题巧解
第16讲数阵图
（一）
第17讲数阵图
（二）
第18讲能被2，5整除的数的特征
第19讲能被3整除的数的特征
第20讲乘、除法的运算律和性质
第21讲乘法中的巧算
第22讲横式数字谜
（二）
第23讲竖式数字谜（三）
第24讲和倍应用题
第25讲差倍应用题
第26讲和差应用题
第27讲巧用矩形面积公式
第28讲一笔画
（一）
第29讲一笔画
（二）
第30讲包含与排除
第2讲横式数字谜
（一）
在一个数学式子（横式或竖式）中擦去部分数字，或用字母、文字来代替部分数字的不完整的算式或竖式，叫做数字谜题目。
解数字谜题就是求出这些被擦去的数或用字母、文字代替的数的数值。
例如，求算式324+□=528中□所代表的数。
根据“加数=和-另一个加数”知，
□=582-324＝258。
又如，求右竖式中字母A，B所代表的数字。
显然个位数相减时必须借位，所以，由12-B＝5知，B＝12-5＝7；由A-1＝3知，A＝3＋1＝4。
解数字谜问题既能增强数字运用能力，又能加深对运算的理解，还是培养和提高分析问题能力的有效方法。
这一讲介绍简单的算式（横式）数字谜的解法。
解横式数字谜，首先要熟知下面的运算规则：
（1）一个加数+另一个加数=和；
（2）被减数-减数=差；
（3）被乘数×乘数=积；
（4）被除数÷除数=商。
由它们推演还可以得到以下运算规则：
由
（1），得和-一个加数=另一个加数；
其次，要熟悉数字运算和拆分。
例如，8可用加法拆分为
8＝0＋8＝1＋7＝2＋6＝3＋5＝4＋4；
24可用乘法拆分为
24＝1×24=2×12＝3×8＝4×6（两个数之积）
=1×2×12＝2×2×6=…（三个数之积）
=1×2×2×6＝2×2×2×3=…（四个数之积）
例1下列算式中，□，○，△，☆，*各代表什么数？
（1）□+5＝13-6；
（2）28-○＝15＋7；
（3）3×△=54；（4）☆÷3＝87；
（5）56÷*＝7。
解：
（1）由加法运算规则知，□=13-6-5＝2；
（2）由减法运算规则知，○＝28-（15＋7）＝6；
（3）由乘法运算规则知，△＝54÷3＝18；
（4）由除法运算规则知，☆=87×3＝261；
（5）由除法运算规则知，*＝56÷7＝8。
例2下列算式中，□，○，△，☆各代表什么数？
（1）□+□+□=48；
（2）○＋○＋6＝21-○；
（3）5×△-18÷6＝12；
（4）6×3-45÷☆＝13。
解：
（1）□表示一个数，根据乘法的意义知，
□+□+□=□×3，
故□=48÷3＝16。
（2）先把左端（○＋○＋6）看成一个数，就有
（○＋○＋6）＋○＝21，
○×3＝21-6，
○＝15÷3＝5。
（3）把5×△，18÷6分别看成一个数，得到
5×△=12＋18÷6，
5×△=15，
△=15÷5＝3。
（4）把6×3，45÷☆分别看成一个数，得到
45÷☆＝6×3-13，
45÷☆＝5，
☆＝45÷5＝9。
例3
（1）满足58＜12×□＜71的整数□等于几？
（2）180是由哪四个不同的且大于1的数字相乘得到的？
试把这四个数按从小到大的次序填在下式的□里。
180=□×□×□×□。
（3）若数□，△满足
□×△=48和□÷△=3，
则□，△各等于多少？
分析与解：
（1）因为
58÷12＝4……10，71÷12＝5……11，
并且□为整数，所以，只有□=5才满足原式。
（2）拆分180为四个整数的乘积有很多种方法，如
180＝1×4×5×90＝1×2×3×30＝…
但拆分成四个“大于1”的数字的乘积，范围就缩小了，如
180＝2×2×5×9＝2×3×5×6＝…
若再限制拆分成四个“不同的”数字的乘积，范围又缩小了。
按从小到大的次序排列只有下面一种：
180＝2×3×5×6。
所以填的四个数字依次为2，3，5，6。
（3）首先，由□÷△=3知，□＞△，因此，在把48拆分为两数的乘积时，有
48＝48×1＝24×2＝16×3＝12×4＝8×6，
其中，只有48＝12×4中，12÷4=3，因此
□=12，△=4。
这道题还可以这样解：
由□÷△=3知，□=△×3。
把□×△=48中的□换成△×3，就有
（△×3）×△＝48，
于是得到△×△=48÷3＝16。
因为16＝4×4，所以△=4。
再把□=△×3中的△换成4，就有
□=△×3=4×3=12。
这是一种“代换”的思想，它在今后的数学学习中应用十分广泛。
下面，我们再结合例题讲一类“填运算符号”问题。
例4在等号左端的两个数中间添加上运算符号，使下列各式成立：
（1）4444＝24；
（2）55555=6。
解：
（1）因为4＋4＋4＋4＜24，所以必须填一个“×”。
4×4＝16，剩下的两个4只需凑成8，因此，有如下一些填法：
4×4＋4＋4＝24；
4＋4×4＋4＝24；
4＋4＋4×4＝24。
（2）因为5+1=6，等号左端有五个5，除一个5外，另外四个5凑成1，至少要有一个“÷”，有如下填法：
5÷5+5-5+5＝6；
5＋5÷5＋5-5＝6；
5＋5×5÷5÷5=6；
5＋5÷5×5÷5＝6。
由例4看出，填运算符号的问题一般会有多个解。
这些填法都是通过对问题的综合观察、分析和试算得到的，如果只是盲目地“试算”，那么就可能走很多弯路。
例5在下式的两数中间添上四则运算符号，使等式成立：
823＝33。
分析与解：
首先考察右端“33”，它有四种填法：
3+3＝6；3-3＝0；
3×3＝9；3÷3=1。
再考察左端“823”，因为只有一个奇数3，所以要想得到奇数，3的前面只能填“＋”或“-”，要想得到偶数，3的前面只能填“×”。
经试算，只有两种符合题意的填法：
8-2＋3＝3×3；8÷2-3＝3÷3。
填运算符号可加深对四则运算的理解和认识，也是培养分析能力的好内容。
练习2
1.在下列各式中，□分别代表什么数？
□+16＝35；47-□=12；□-3＝15；
4×□=36；□÷4=15；84÷□=4。
2.在下列各式中，□，○，△，☆各代表什么数？
（□+350）÷3=200；（54-○）×4＝0；
360-△×7＝10；4×9-☆÷5=1。
3.在下列各式中，□，○，△各代表什么数？
150-□-□=□；
○×○＝○＋○；
△×9＋2×△=22。
4.120是由哪四个不同的一位数字相乘得到的？
试把这四个数字按从小到大的次序填在下式的□里：
120＝□×□×□×□。
5.若数□，△同时满足
□×△=36和□-△=5，
则□，△各等于多少？
6.在两数中间添加运算符号，使下列等式成立：
（1）55555＝3；
（2）1234＝1。
7.在下列各式的□内填上合适的运算符号，使等式成立：
12□4□4=10□3。
8.在下列各式的□内填上合适的运算符号，使等式成立：
123□45□67□89＝100；
123□45□67□8□9＝100；
123□4□5□67□89＝100；
123□4□5□6□7□8□9＝100；
12□3□4□5□67□8□9＝100；
1□23□4□56□7□8□9＝100；
12□3□4□5□6□7□89＝100。
答案与提示 练习2
1.略。
2.□=250，○=54，△=50，☆=175。
3.□=50，○=0或2，△=2。
4.1×3×5×8或1×4×5×6或2×3×4×5。
5.□=9，△=4。
6.
（1）5-5÷5-5÷5=3；
（2）1×2＋3-4=1。
7.12÷4＋4=10-3或12＋4÷4=10＋3。
8.123-45-67＋89＝100；
123＋45－67＋8－9＝100；
123＋4－5＋67－89＝100；
123－4－5－6－7＋8－9＝100；
12＋3－4＋5＋67＋8＋9＝100；
1＋23－4＋56＋7＋8＋9=100；
12-3-4＋5-6＋7＋89＝100。
第3讲竖式数字谜
（一）
这一讲主要讲加、减法竖式的数字谜问题。
解加、减法数字谜问题的基本功，在于掌握好上一讲中介绍的运算规则
（1）
（2）及其推演的变形规则，另外还要掌握数的加、减的“拆分”。
关键是通过综合观察、分析，找出解题的“突破口”。
题目不同，分析的方法不同，其“突破口”也就不同。
这需要通过不断的“学”和“练”，逐步积累知识和经验，总结提高解题能力。
例1在右边的竖式中，A，B，C，D各代表什么数字？
解：
显然，C=5，D=1（因两个数
字之和只能进一位）。
由于A＋4＋1即A＋5的个位数为3，且必进一位（因为4＞3），所以A＋5=13，从而A＝13-5=8。
同理，由7＋B＋1=12，即B＋8＝12，得到B＝
12-8＝4。
故所求的A=8，B=4，C=5，D=1。
例2求下面各竖式中两个加数的各个数位上的数字之和：
分析与解：
（1）由于和的个位数字是9，两个加数的个位数字之和不大于9＋9＝18，所以两个加数的个位上的两个方框里的数字之和只能是9。
（这是“突破口”）
再由两个加数的个位数之和未进位，因而两个加数的十位数字之和就是14。
故这两个加数的四个数字之和是9＋14=23。
（2）由于和的最高两位数是19，而任何两个一位数相加的和都不超过18，因此，两个加数的个位数相加后必进一位。
（这是“突破口”，与
（1）不同）
这样，两个加数的个位数字相加之和是15，十位数字相加之和是18。
所求的两个加数的四个数字之和是15＋18＝33。
注意：
（1）
（2）两题虽然题型相同，但两题的“突破口”不同。
（1）是从和的个位着手分析，
（2）是从和的最高两位着手分析。
例3在下面的竖式中，A，B，C，D，E各代表什么数？
分析与解：
解减法竖式数字谜，与解加法竖式数字谜的分析方法一样，所不同的是“减法”。
首先，从个位减起（因已知差的个位是5）。
4＜5，要使差的个位为5，必须退位，于是，由14-D＝5知，D=14-5＝9。
（这是“突破口”）
再考察十位数字相减：
由B-1-0＜9知，也要在百位上退位，于是有10＋B-1-0＝9，从而B＝0。
百位减法中，显然E=9。
千位减法中，由10＋A-1-3＝7知，A＝1。
万位减法中，由9-1-C＝0知，C＝8。
所以，A＝1，B＝0，C＝8，D＝9，E＝9。
例4在下面的竖式中，“车”、“马”、“炮”各代表一个不同的数字。
请把这个文字式写成符合题意的数字式。
分析与解：
例3是从个位着手分析，而这里就只能从首位着手分析。
由一个四位数减去一个三位数的差是三位数知，“炮”＝1。
被减数与减数的百位数相同，其相减又是退位相减，所以，“马”＝9。
至此，我们已得到下式：
由上式知，个位上的运算也是退位减法，由11-“车”=9得到“车”＝2。
因此，符合题意的数字式为：
例5在右边的竖式中，“巧，填，式，谜”分别代表不同的数字，它们各等于多少？
解：
由（4×谜）的个位数是0知，“谜”＝0或5。
当“谜”＝0时，（3×式）的个位数是0，推知“式”＝0，与“谜”≠“式”矛盾。
当“谜”＝5时，个位向十位进2。
由（3×式+2）的个位数是0知，“式”＝6，且十位要向百位进2。
由（2×填+2）的个位数是0，且不能向千位进2知，“填”＝4。
最后推知，“巧”＝1。
所以“巧”＝1，“填”＝4，“式”=6，“谜”＝5。
练习3
1.在下列各竖式的□中填上适当的数字，使竖式成立：
2.下列各竖式中，□里的数字被遮盖住了，求各竖式中被盖住的各数字的和：
3.在下列各竖式的□中填入合适的数字，使竖式成立：
4.下式中不同的汉字代表1～9中不同的数字，相同的汉字代表相同的数字。
这个竖式的和是多少？
5.在下列各竖式的□中填入合适的数字，使竖式成立：
答案与提示练习3
1.
（1）764＋265=1029；
（2）981＋959=1940；（3）99＋903＝1002；（4）98＋97＋923＝1118。
2.
（1）28；
（2）75。
3.
（1）23004-18501＝4503；
（2）1056-989＝67；（3）24883-16789=8094；（4）9123-7684=1439。
4.987654321。
5.提示：
先解上层数谜，再解下层数谜。
第4讲竖式数字谜
（二）
本讲只限于乘数、除数是一位数的乘、除法竖式数字谜问题。
掌握好乘、除法的基本运算规则（第2讲的公式（3）（4）及推演出的变形式子）是解乘、除法竖式谜的基础。
根据题目结构形式，通过综合观察、分析，找出“突破口”是解题的关键。
例1在左下乘法竖式的□中填入合适的数字，使竖式成立。
分析与解：
由于积的个位数是5，所以在乘数和被乘数的个位数中，一个是5，另一个是奇数。
因为乘积大于被乘数的7倍，所以乘数是大于7的奇数，即只能是9（这是问题的“突破口”），被乘数的个位数是5。
因为7×9＜70＜8×9，所以，被乘数的百位数字只能是7。
至此，求出被乘数是785，乘数是9（见右上式）。
例2在右边乘法竖式的□里填入合适的数字，使竖式成立。
分析与解：
由于乘积的数字不全，特别是不知道乘积的个位数，我们只能从最高位入手分析。
乘积的最高两位数是2□，被乘数的最高位是3，由
可以确定乘数的大致范围，乘数只可能是6，7，8，9。
到底是哪一个呢？
我们只能逐一进行试算：
（1）若乘数为6，则积的个位填2，并向十位进4，此时，乘数6与被乘数的十位上的数字相乘之积的个位数只能是5（因4+5=9）。
这样一来，被乘数的十位上就无数可填了。
这说明乘数不能是6。
（2）若乘数为7，则积的个位填9，并向十位进4。
与
（1）分析相同，为使积的十位是9，被乘数的十位只能填5，从而积的百位填4。
得到符合题意的填法如右式。
（3）若乘数为8，则积的个位填6，并向十位进5。
为使积的十位是9，被乘数的十位只能填3或8。
当被乘数的十位填3时，得到符合题意的填法如右式。
当被乘数的十位填8时，积的最高两位为3，不合题意。
（4）若乘数为9，则积的个位填3，并向十位进6。
为使积的十位是9，被乘数的十位只能填7。
而此时，积的最高两位是3
，不合题意。
综上知，符合题意的填法有上面两种。
除法竖式数字谜问题的解法与乘法情形类似。
例3在左下边除法竖式的□中填入适当的数，使竖式成立。
分析与解：
由48÷8=6即8×6=48知，商的百位填6，且被除数的千位、百位分别填4，8。
又显然，被除数的十位填1。
由
1□=商的个位×8
知，两位数1□能被8除尽，只有16÷8=2，推知被除数的个位填6，商的个位填2。
填法如右上式。
例3是从最高位数入手分析而得出解的。
例4在右边除法竖式的□中填入合适的数字。
使竖式成立。
分析与解：
从已知的几个数入手分析。
首先，由于余数是5，推知除数＞5，且被除数个位填5。
由于商4时是除尽了的，所以，被除数的十位应填2，且由于3×4=12，8×4=32，推知，除数必为3或8。
由于已经知道除数＞5，故除数=8。
（这是关键！
）
从8×4=32知，被除数的百位应填3，且商的百位应填0。
从除数为8，第一步除法又出现了4，8×8=64，8×3=24，这说明商的千位只能填8或3。
试算知，8和3都可以。
所以，此题有下面两种填法。
练习4
1.在下列各竖式的□里填上合适的数：
2.在右式中，“我”、“爱”、“数”、“学”分别代表什么数时，乘法竖式成立？
3.“我”、“们”、“爱”、“祖”、“国”各代表一个不同的数字，它
们各等于多少时，右边的乘法竖式成立？
4.在下列各除法竖式的□里填上合适的数，使竖式成立：
5.在下式的□里填上合适的数。
答案与提示 练习4
1.
（1）7865×7＝55055；
（2）2379×8=19032或7379×8=59032。
2.“我”＝5，“爱”=1，“数”=7，“学”=2。
3.“我”、“们”、“爱”、“祖”、“国”分别代表8，7，9，1，2。
4.
（1）5607×7=801；
（2）822÷3=274。
5.
第5讲找规律
（一）
这一讲我们先介绍什么是“数列”，然后讲如何发现和寻找“数列”的规律。
按一定次序排列的一列数就叫数列。
例如，
（1）1，2，3，4，5，6，…
（2）1，2，4，8，16，32；
（3）1，0，0，1，0，0，1，…
（4）1，1，2，3，5，8，13。
一个数列中从左至右的第n个数，称为这个数列的第n项。
如，数列
（1）的第3项是3，数列
（2）的第3项是4。
一般地，我们将数列的第n项记作an。
数列中的数可以是有限多个，如数列
（2）（4），也可以是无限多个，如数列
（1）（3）。
许多数列中的数是按一定规律排列的，我们这一讲就是讲如何发现这些规律。
数列
（1）是按照自然数从小到大的次序排列的，也叫做自然数数列，其规律是：
后项=前项+1，或第n项an＝n。
数列
（2）的规律是：
后项=前项×2，或第n项
数列（3）的规律是：
“1，0，0”周而复始地出现。
数列（4）的规律是：
从第三项起，每项等于它前面两项的和，即
a3=1+1=2，a4=1+2=3，a5=2+3＝5，
a6=3+5=8，a7=5+8=13。
常见的较简单的数列规律有这样几类：
第一类是数列各项只与它的项数有关，或只与它的前一项有关。
例如数列
（1）
（2）。
第二类是前后几项为一组，以组为单元找关系才可找到规律。
例如数列（3）（4）。
第三类是数列本身要与其他数列对比才能发现其规律。
这类情形稍为复杂些，我们用后面的例3、例4来作一些说明。
例1找出下列各数列的规律，并按其规律在（）内填上合适的数：
（1）4，7，10，13，（），…
（2）84，72，60，（），（）；
（3）2，6，18，（），（），…
（4）625，125，25，（），（）；
（5）1，4，9，16，（），…
（6）2，6，12，20，（），（），…
解：
通过对已知的几个数的前后两项的观察、分析，可发现
（1）的规律是：
前项+3=后项。
所以应填16。
（2）的规律是：
前项-12=后项。
所以应填48，36。
（3）的规律是：
前项×3=后项。
所以应填54，162。
（4）的规律是：
前项÷5=后项。
所以应填5，1。
（5）的规律是：
数列各项依次为
1=1×1，4=2×2，9=3×3，16=4×4，
所以应填5×5=25。
（6）的规律是：
数列各项依次为
2=1×2，6=2×3，12=3×4，20=4×5，
所以，应填5×6=30，6×7=42。
说明：
本例中各数列的每一项都只与它的项数有关，因此an可以用n来表示。
各数列的第n项分别可以表示为
（1）an＝3n+1；
（2）an＝96-12n；
（3）an＝2×3n-1；（4）an＝55-n；（5）an＝n2；（6）an＝n（n+1）。
这样表示的好处在于，如果求第100项等于几，那么不用一项一项地计算，直接就可以算出来，比如数列
（1）的第100项等于3×100+1=301。
本例中，数列
（2）（4）只有5项，当然没有必要计算大于5的项数了。
例2找出下列各数列的规律，并按其规律在（）内填上合适的数：
（1）1，2，2，3，3，4，（），（）；
（2）（），（），10，5，12，6，14，7；
（3）3，7，10，17，27，（）；
（4）1，2，2，4，8，32，（）。
解：
通过对各数列已知的几个数的观察分析可得其规律。
（1）把数列每两项分为一组，1，2，2，3，3，4，不难发现其规律是：
前一组每个数加1得到后一组数，所以应填4，5。
（2）把后面已知的六个数分成三组：
10，5，12，6，14，7，每组中两数的商都是2，且由5，6，7的次序知，应填8，4。
（3）这个数列的规律是：
前面两项的和等于后面一项，故应填（17+27=）44。
（4）这个数列的规律是：
前面两项的乘积等于后面一项，故应填（8×32=）256。
例3找出下列各数列的规律，并按其规律在（）内填上合适的数：
（1）18，20，24，30，（）；
（2）11，12，14，18，26，（）；
（3）2，5，11，23，47，（），（）。
解：
（1）因20-18=2，24-20=4，30-24=6，说明（后项-前项）组成一新数列2，4，6，…其规律是“依次加2”，因为6后面是8，所以，a5-a4=a5-30=8，故
a5=8+30=38。
（2）12-11=1，14-12=2，18-14=4，26-18=8，组成一新数列1，2，4，8，…按此规律，8后面为16。
因此，a6-a5＝a6-26=16，故a6＝16+26=42。
（3）观察数列前、后项的关系，后项=前项×2+1，所以
a6=2a5+1＝2×47+1＝95，
a7＝2a6+1＝2×95+1=191。
例4找出下列各数列的规律，并按其规律在（）内填上合适的数：
（1）12，15，17，30，22，45，（），（）；
（2）2，8，5，6，8，4，（），（）。
解：
（1）数列的第1，3，5，…项组成一个新数列12，17，22，…其规律是“依次加5”，22后面的项就是27；数列的第2，4，6，…项组成一个新数列15，30，45，…其规律是“依次加15”，45后面的项就是60。
故应填27，60。
（2）如
（1）分析，由奇数项组成的新数列2，5，8，…中，8后面的数应为11；由偶数项组成的新数列8，6，4，…中，4后面的数应为2。
故应填11，2。
练习5
按其规律在下列各数列的（）内填数。
1.56，49，42，35，（）。
2.11，15，19，23，（），…
3.3，6，12，24，（）。
4.2，3，5，9，17，（），…
5.1，3，4，7，11，（）。
6.1，3，7，13，
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